精品解析：山东省青岛市青岛大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022—2023学年度第二学期期中阶段性调研 八年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C. 其他垃圾 D. 有害垃圾 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，根据中心对称图形的定义即可判定． 【详解】A． 不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的判定，掌握中心对称图形定义是本题的关键． 2. 已知a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. a＋c＞b＋c B. c－a＞c－b C. ac＞bc D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、当a＞b时，则a＋c＞b＋c，正确； B、当a＞b时，－a＜－b，则c－a＜c－b，错误； C、当a＞b，且c＜0时，ac＜bc，错误； D、当a＞b，且c＜0时，，错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 3. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意； B、等式的左右两边不相等，故B不符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C不符合题意； D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意区分因式分解与整式乘法的关系． 4. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于等于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都小于 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于，即每一个内角都大于或等于． 故选：． 5. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出．解题的关键是依据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数 【详解】解：在三角形中，，， ． 由旋转的性质可知： ， ． 又， ． 故选：． 6. 某大型超市从生产基地购进一批水果，总质量为千克，进价元/千克，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，设出必要的未知数，列出不等式．设这种水果的售价在进价的基础上应提高，则售价为，利用“至少获得的利润”列式求解，注意在解出结果后，要考虑实际问题，利用收尾法，不能用四舍五入． 【详解】解：设这种水果的售价在进价的基础上应提高， 则售价为， 根据题意，得：， 解得：， ∵， ∴， 答：这种水果的售价在进价的基础上应提高， 故选：C． 7. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 8. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于. 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据ASA可证，可判断①正确；求出AF＝AH，∠DFG＝∠CHG，DF＝CH，证明，可得FG＝HG，则AG垂直平分FH，可判断②正确；当AF最小时，DF最长，故可得AD⊥BC时，DF的长度最大，可判断③正确；首先可得当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，然后证明，根据进行计算，可判断④正确． 【详解】解：①∵， ∴∠B＝∠C， 由旋转得，∠BAF＝∠HAE，∠B＝∠C＝∠E， ∴（ASA），故①正确； ②连接、， ∵， ∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH， ∵∠AFB＝∠DFG，∠AHE＝∠CHG， ∴∠DFG＝∠CHG， ∵AD＝AB＝AC， ∴DF＝CH， 又∵∠DGF＝∠CGH， ∴（AAS）， ∴FG＝GH， ∴AG垂直平分FH，故②正确； ③∵DF＝AD－AF，AD是定长， ∴AF最小时，DF最长， ∴AD⊥BC时，DF的长度最大，故③正确； ④∵AD＝AE， ∴当点H是DE的中点时，有AH⊥DE， ∵AF＝AH，FG＝GH，AG＝AG， ∴（SSS）， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定等知识，利用全等进行转化是解题的关键． 二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 9. 命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是______． 【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换,找到原命题的题设为等边三角形, 结论为三个内角相等,互换即可． 【详解】解:命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”. 【点睛】本题考查逆命题的概念,解决本题的关键是熟练掌握逆命题的概念,知道题设和结论互换． 10. 如图，直线：与：交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用函数图象解不等式，能够数形结合是解题的关键． 可先对进行变形为，说明直线在直线的上方，根据图像即可判断出的取值范围． 【详解】∵可变形为， ∴直线在直线的上方 根据图像即可判断出的取值范围为 故答案为：． 11. 如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 【答案】(4，3) 【解析】 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系. 12. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 【答案】4 【解析】 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小， ∵BD⊥DC，∠A=90°， ∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°， ∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠C， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴在△ABD和△EBD中 ， ∴DE=AD=4， 即DP的最小值为4． 故答案为：4． 13. 如图，在中，，的平分线交于点，是中点，且，那么的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线性质是解题的关键．根据角平分线的定义得，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：． 14. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数的取值范围，先解不等式组，再根据不等式组有解求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴． 故答案为：． 15. 如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点C的对应点与重合得到，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．解题的关键是证明． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转，得到，……，按此规律进行下去，若点，的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质，可得，，再根据、、……的坐标，根据规律即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． 过点A作，交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将等边绕点A旋转，得到， ∴， ∴， ∴，， 同理，，，，，…， 由此可见，点的坐标为（n为正整数）． 令， 解得， 所以，， 故点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，以及直角三角形的性质，规律问题，根据题意，找到图形变化的规律是解题的关键． 三、作图题 17. （1）解不等式： （2）解不等式组：，并写出其整数解． （3）因式分解； （4）因式分解； 【答案】（1）；（2），整数解为，，0，1，2；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了求不等式和不等式组的解集，因式分解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出整数解即可． （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． （4）整理后用完全平方公式分解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ； （2）， 解不等式①，， 解不等式②，， ， 解集在数轴上表示如下： 的整数解为，，0，1，2． （3）原式 ； （4）原式. 18. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出； （2）将向下平移5个单位长度得到，请画出； （3）和关于点中心对称，请画出 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求， 19. 如图，在和中，，与相交于点F，且，，连接，． （1）求证：； （2）试判断与的数量关系，并说明理由 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用“”证明得，继而知，据此即可得证； （2）根据三角形全等的判定定理证明，再证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：在和中， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理：SSS、SAS、AAS或ASA以及直角三角形的HL以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 20. 某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元． ①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？ ②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元； （2）①进货方案有3种， 方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒， 方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒， 方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒； ②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元． 【解析】 【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案； （2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案； ②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案． 【详解】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元， 根据题意可得，解得， 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元； （2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒， 根据题意可得 ，解得75＜m≤78， ∵m为整数， ∴m的值为76、77、78， ∴进货方案有3种，分别为： 方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒， 方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒， 方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒； ②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m）=5m+1000， ∵5＞0， ∴W随m的增大而增大，且75＜m≤78， ∴当m=78时，W最大，W最大值为1390， 答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键. 21. 如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． （1）如图2，当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； （3）连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】（1） 证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）的面积的最大值为，旋转角 【解析】 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 22. [阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则______． 【答案】（1）9 （2） （3）6 （4） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 由于，所以， 即的最小值为6； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法在因式分解、解方程、求最值问题中的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出t即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，交于点，求出和，分别求出三角形和三角形的面积，则可得出答案． 【小问1详解】 若点在线段的垂直平分线上，则， ，， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 ①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ， ②若， 则是直角三角形， ， ， ， ， ， ∴当或时，是直角三角形； 【小问3详解】 过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：与之间的关系式为． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式等知识，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度第二学期期中阶段性调研 八年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 可回收物 C. 其他垃圾 D. 有害垃圾 2. 已知a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A. a＋c＞b＋c B. c－a＞c－b C. ac＞bc D. 3. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于等于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都小于 5. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 某大型超市从生产基地购进一批水果，总质量为千克，进价元/千克，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 如图，已知中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，交于点，交、于点、，则以下结论： ①； ②连接、，则； ③当时，的长度最大； ④当点是的中点时，四边形的面积等于. 其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分） 9. 命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是______． 10. 如图，直线：与：交于点，则不等式的解集为______． 11. 如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______． 12. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_______． 13. 如图，在中，，的平分线交于点，是中点，且，那么的度数为______． 14. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是______． 15. 如图，四边形中，，连接，将绕点逆时针旋转，点C的对应点与重合得到，若，，则的长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转，得到，……，按此规律进行下去，若点，的坐标为______． 三、作图题 17. （1）解不等式： （2）解不等式组：，并写出其整数解． （3）因式分解； （4）因式分解； 18. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出； （2）将向下平移5个单位长度得到，请画出； （3）和关于点中心对称，请画出 19. 如图，在和中，，与相交于点F，且，，连接，． （1）求证：； （2）试判断与的数量关系，并说明理由 20. 某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． （1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元． ①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？ ②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． （1）如图2，当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； （3）连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 22. [阅读材料]：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． （1）[类比应用]：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； （2）仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； （3）仿照例2的步骤，求的最小值； （4）若，则______． 23. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边以1cm/s的速度运动，动点从点开始沿边以3cm/s的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，点在的垂直平分线上？ （2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）设四边形的面积为，求与之间的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $