精品解析：吉林省第二实验学校高新校区2024-2025学年九年级上学期（六三制）第一次月考数学试题

吉林省第二实验学校2024－2025学年度上学期九年级第一次月考 数学试题（三年制） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，由量角器读数可知，然后代入即可求解，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由量角器读数可知， ∴， 故选：． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 5. 二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，开口向下，二次函数在顶点处取得最大值．根据二次函数最值问题对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、函数值3不是最小值，故本选项错误； B、时有最小值3，故本选项正确； C、时有最大值3，故本选项错误； D、函数有最大值3，故本选项错误． 故选：B． 6. 如图，四边形中，，点M、N分别为线段上的动点，点E、F分别为的中点，则长度的可能为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到最大时，最大，最小时，最小，进而得到的最大值为，再得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴最大时，最大，最小时，最小， ∵N与B重合时，最大， ∴此时， ∴的最大值为， ∵， ∴， ∴， ∴长度的可能为4； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想． 7. 如图，P是内一点，连结P与各顶点，各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且，．若与的面积和为6，则的面积为（ ） A. 108 B. 54 C. 18 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质推出，，根据相似三角形的性质得到，同理，，据此求解于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形是平行四边形， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与的面积和为6， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，根据坐标系中的四个点画出二次函数的图象，根据图象判断经过A、D、C三点的抛物线当时，y的值最大，利用待定系数法求得二次函数的系数即可求解． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会经过A、B、C三点， ∴抛物线经过可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入得 ， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 故选：C． 二、填空题（共6小题） 9. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式变形求解比值即可． 【详解】解：由两边同时除以得， 故答案为：． 10. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长． 【详解】解∶设 ∵与位似，原点是位似中心，且．若， ∴位似比为， ∴， 解得，， ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，则线段BC的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出A点坐标，代入，求出B、C坐标，求差即可． 【详解】解：抛物线与y轴交于点A， 则点A的坐标为（0，3）， 过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C， 则，解得，， 则线段BC的长为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用二次函数的性质求出点的坐标． 13. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上，则； ④若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断；由对称轴可判断；由函数的性质判断；由抛物线的对称性即可判断；解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故正确； ∵对称轴为直线，经过点， ∴抛物线经过另一个点， ∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， 又∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误； 综上，正确， 故答案为：． 三、解答题（共10个小题） 15. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）先移项，再把方程的左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先移项，再把方程左边分解因式，化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴ ， ∴， ∴或， 解得：， 16. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽为6米． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 17. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键． 先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：吉塔的高度约为． 18. 图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，点为线段的中点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在线段上作点，连结，使； （2）在图②中，在线段上作点，连结，使； （3）在图③中，在线段上作点，连结，使． 【答案】（1） 如图，为所求， （2）如图，为所求， （3）如图，为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线和直角三角形斜边中线的性质，解题关键是利用格点作线段中点或垂直的线段． （1）取的中点，由三角形中位线性质可得， （2）过点作，垂足为，连接，则是直角三角形斜边中线，， （3）过点作，垂足为，连接，则是直角三角形斜边中线，， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在矩形中，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为，将此矩形绕点O顺时针旋转得矩形，抛物线经过B，E两点． （1）求此抛物线的函数关系式； （2）将矩形向上平移，使得此抛物线平分线段，则平移的距离为________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得点B的坐标为，结合旋转性质，得，分别代入解析式，解方程组即可求此抛物线的函数关系式． （2）根据题意，得，，设矩形向上平移h个单位，得到新坐标分别为，，其中点坐标为，结合此抛物线平分线段，得到，解方程即可． 本题考查了旋转的性质，待定系数法求解析式，中点坐标公式，平移的性质，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式，平移性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得点B的坐标为，由旋转性质，得，分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，，设矩形向上平移h个单位，得到新坐标分别为，， 其中点坐标为， 又抛物线平分线段， 故， 解得． 故答案为：． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）售价应定为每个元． （2）这两周的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，点M是该抛物线的顶点，将线段绕着点A顺时针旋转得到，取线段中点C，过点C作y轴的垂线，交该抛物线从左到右依次为点D、E，连接、、． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）求的长； （3）直接写出四边形的面积＝______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把A点坐标代入中求出b，从而得到抛物线解析式； （2）先根据旋转的性质得到，，则，所以，接着解方程得，，然后计算出的长； （3）利用配方法得到，则，于是可判断，然后根据梯形的面积公式计算四边形的面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过 ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵C点为线段的中点， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴四边形的面积． 23. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【答案】（1）； （2）没有变化， 理由如下：如图，在正方形和正方形中， ，，， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据正方形的面积求解面积即可； （2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6， ∴，， ∴如图①摆放时，重叠部分的面积是； （2） 略 （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 24. 在中，，点D为边的中点，点M在线段上，且，过点M作，交于点Q，连接． （1）线段的长为______； （2）求出的面积； （3）将以每秒一个单位的速度向右平移，当点M在的内部时，设点M的运动时间为t秒 ①点M到任意两边的距离相等时，求出t的值． ②当被边分成两部分的面积的比为1∶2时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）①5或6或7；②或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可； （2）先求出，解直角三角形得到，再证明，得到，解得到，则由勾股定理得到，再由，即可得到； （3）①根据角平分线的性质可得点M在的角平分线，据此分点M在的三条角平分线，共三种情况讨论求解即可；如图3-4所示，设平移后的点B的对应点为，交于P，过点P作于T，设，解得和，得到，则，再分当时， 当时，两种情况根据三角形面积计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，点D为边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：①点M到任意两边的距离相等， ∴点M在的角平分线上时满足题意， 如图3-1所示，当点M在的角平分线上时，过点G作于H， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，， ∴在中，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 在中，， ∴中，， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点M在的角平分线上时，由三线合一定理可得， ∴； 如图3-3所示，当点M在的角平分线上时，由等腰三角形的对称性可知； 综上所述，t的值为5或6或7； ②如图3-4所示，设平移后的点B的对应点为，交于P，过点P作于T， 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 解得或， ∴， ∴； 当时，则， ∴， 解得或， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2024－2025学年度上学期九年级第一次月考 数学试题（三年制） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 二次函数在时有最小值3，则这个函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形中，，点M、N分别为线段上的动点，点E、F分别为的中点，则长度的可能为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7 7. 如图，P是内一点，连结P与各顶点，各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且，．若与的面积和为6，则的面积为（ ） A. 108 B. 54 C. 18 D. 12 8. 在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（　　） A. B. C. 2 D. 5 二、填空题（共6小题） 9. 已知，则的值为______． 10. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B、C，则线段BC的长为__________． 13. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上，则； ④若点在此抛物线上且，则． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题（共10个小题） 15. 解下列方程： （1）； （2）． 16. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 17. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 18. 图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，点为线段的中点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在线段上作点，连结，使； （2）在图②中，在线段上作点，连结，使； （3）在图③中，在线段上作点，连结，使． 19. 如图，在矩形中，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为，将此矩形绕点O顺时针旋转得矩形，抛物线经过B，E两点． （1）求此抛物线的函数关系式； （2）将矩形向上平移，使得此抛物线平分线段，则平移的距离为________． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 21. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，点M是该抛物线的顶点，将线段绕着点A顺时针旋转得到，取线段中点C，过点C作y轴的垂线，交该抛物线从左到右依次为点D、E，连接、、． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）求的长； （3）直接写出四边形的面积＝______． 23. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 24. 在中，，点D为边的中点，点M在线段上，且，过点M作，交于点Q，连接． （1）线段的长为______； （2）求出的面积； （3）将以每秒一个单位的速度向右平移，当点M在的内部时，设点M的运动时间为t秒 ①点M到任意两边的距离相等时，求出t的值． ②当被边分成两部分的面积的比为1∶2时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $