广西桂林市第十八中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

桂林十八中2024－2025学年度23级高二上学期开学考试卷 数学 命题：李娟 审题：朱峰磐 注意事项： ①试卷共4页．考试时间120分钟，满分150分； ②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（ ） A. B. C. 与异面 D. 与相交 3. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ） A. B组打分的极差小于A组打分的极差 B. B组打分的中位数为75 C. A组的意见相对一致 D. A组打分的众数为50 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列选项中正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于原点对称 C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是9 D. 的最小值是 11. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________． 13. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 14. 平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为上一点，且，求的面积． 16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率； （2）估计该校的800名男生身高的80%分位数；（保留小数点后一位有效数字） （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求样本空间及事件E的概率． 17. 如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：平面PCD； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 19. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （1）证明：当时，； （2）设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 桂林十八中2024－2025学年度23级高二上学期开学考试卷 数学 命题：李娟 审题：朱峰磐 注意事项： ①试卷共4页．考试时间120分钟，满分150分； ②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1）0.06 （2）179.7 （3），共有15种情况，. 【17题答案】 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，为中点，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在，-1 【19题答案】 【答案】（1） 由题意，得，所以， 所以当时，． （2）存在，“和谐区间”为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $