精品解析：2023年吉林省实验学校中考三模数学试题

2022—2023学年度下学期初三年级质量监测（三） 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共8页，全卷满分120分，考试时间为120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在0，，4， 中，无理数是（　　） A. 0 B. C. 4 D. π 2. 根据测试，某国产品牌首款手机传输的文件只需秒，其中的原数是（　　） A. 2480 B. 24800 C. 0.00248 D. 0.000248 3. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（　　） A. 中 B. 考 C. 胜 D. 利 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点均在上，若，的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，那么的正切值是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：_______． 10. 计算：________． 11. 若一元二次方程无实数根，则a的取值范围是____． 12. 如图，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，点D为A′B的中点，连接AD.则点A的运动路径与线段AD、A′D围成的阴影部分面积是______. 13. 如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆， ，点 在数轴上运动，若过点 且与平行的直线与有公共点，设 ，则的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且 ，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且 的面积为2时，则的值为____． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 17. 列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 18. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点，，． ​ （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，，则四边形 的面积为______． 19. 图①、图②、图③都是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中，过点画一条平分 周长的直线． （2）在图②中，过点画一条平分 面积的射线． （3）在图③中，过点画一条将 周长分成两部分的线段． 20. 农业、工业和服务业统称为“三产”，2022年某市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题． （1）2018—2022年农业产值增长率的中位数是______． （2）若2020年“三产”总值为5200亿元，则2021年服务业产值比2020年约增加多少亿元（结果保留整数）． （3）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由． 21. 在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象． 请解答下列问题： （1）填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟； （2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案． 22. 如图1，在 中，，，点是边的中点，连接， ，以点为顶点作 ，使，． （1）连接，．线段和线段的数量关系为 　 　，直线和直线的位置关系为 ； （2）如图2，当时，设与交于点，求的长度； （3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出的长度． 23. 如图①，在中，，，，动点 从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点 不与点，点重合时，过点 作的垂线交于点，连接 ，以为邻边作平行四边形，当点停止运动时，点 继续运动，设点 的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段 的长． （2）当平行四边形为矩形时，求的值： （3）当将平行四边形的面积分为 或两部分时，求的值； （4）如图②，点为的中点，连接，当直线与 的边平行时，直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点P为抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为时，求m的值． （3）已知点，点，以为邻边作． ①当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年度下学期初三年级质量监测（三） 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共8页，全卷满分120分，考试时间为120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在0，，4， 中，无理数是（　　） A. 0 B. C. 4 D. π 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是无理数，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：0，，4是有理数， 是无理数． 故选：D． 2. 根据测试，某国产品牌首款手机传输的文件只需秒，其中的原数是（　　） A. 2480 B. 24800 C. 0.00248 D. 0.000248 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】由题意得，， ∴的原数是0.00248， 故选：C． 3. 如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是（　　） A. 中 B. 考 C. 胜 D. 利 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，解题关键是掌握“相对的面之间一定相隔一个正方形”．根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形做判断． 【详解】解：原正方体中与“赢”字所在的面相对的面上标的字是“考”． 故选：B． 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 5. 市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作，从而构造直角三角形，应用三角函数即可得出AB． 【详解】如图，过点A作于C， 在中，， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角函数，解题的关键是构造直角三角形得出边角关系． 6. 如图，点均在上，若，的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：与都对，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 7. 如图，在正方形中，是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，那么的正切值是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求正切函数值，折叠的性质及正方形的性质．由折叠可得 ， ，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可． 【详解】解：由折叠可得 ，， 正方形中，是边的中点， ， ， ， 是 的外角， ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点C（3，4），边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA交平行四边形各边如图．若反比例函数的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由图可得， S▱ABCD， 又∵S△FCP=S△DCP且S△AEP=S△AGP， ∴S▱OEPF=S▱BGPD， ∵四边形BCFG的面积为8， ∴S▱CDEO=S▱BCFG=8， 又∵点C的纵坐标是4，则▱CDOE的高是4， ∴OE=CD=， ∴点D的横坐标是5， 即点D的坐标是（5，4）， ∴4=，解得k=20， 故选B． 考点：反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式m即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，正确找出公因式是解答本题的关键． 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 11. 若一元二次方程无实数根，则a的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如图，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，点D为A′B的中点，连接AD.则点A的运动路径与线段AD、A′D围成的阴影部分面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】连接AA′，由旋转的性质可得A′B=AB=4，∠ABA′=60°，即可证明△ABA′是等边三角形，根据点D是A′B的中点可知AD⊥A′B，利用∠ABD的三角函数值可求出BD、AD的长，根据S阴影=S扇形BAA′-S△ABD即可得答案. 【详解】连接AA′， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，AB=4， ∴A′B=AB=4，∠ABA′=60°， ∴△ABA′是等边三角形， ∵点D是A′B的中点， ∴AD⊥A′B， ∴BD=ABcos∠ABD=2，AD=ABsin∠ABD=2， ∴S阴影=S扇形BAA′-S△ABD=-×2×2=. 故答案为 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质及扇形的面积，旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．熟练掌握相关性质及公式是解题关键. 13. 如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆， ，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设 ，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设过点的直线与相切于点，根据等腰直角三角形的性质，求出的长，即可求解， 本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握直线与圆的位置关系． 【详解】解：设过点的直线与相切于点，连接， 则圆的半径 ， ， ∵ ，， ∴， ∴， ， 同理，原点左侧的距离也是，且线段的长度是正数， ∴的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且 ，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且 的面积为2时，则的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．设 ，则，由 的面积为2，得出，即可根据抛物线的对称性得出，，把代入解析式即可求得 ，进一步得到 ． 【详解】解：设 ， ， ， ， 点，的面积为2， ， ， ，， 抛物线为， 把代入得，， 解得 ， ， 故答案为：2． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值．根据平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是　 　． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝； （2）列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率 17. 列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 【答案】每套《三国演义》的价格为80元． 【解析】 【分析】设每套《三国演义》的价格为元，则每套《西游记》的价格为元，根据等量关系“3200元购买《三国演义》的套数=用2400元购买《西游记》套数的2倍”，列方程进行求解即可. 【详解】设每套《三国演义》的价格为元，则每套《西游记》的价格为元， 由题意，得， 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， 所以，原分式方程的解为 ， 答：每套《三国演义》的价格为80元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要进行检验. 18. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点，，． ​ （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，，则四边形 的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2）四边形 的面积为． 【解析】 【分析】（1）证，得，从而得证四边形 为平行四边形，再由线段垂直平分线 性质得，即可由菱形的判定定理得出结论； （2）解直角 求出长，利用菱形性质求出长，即可由菱形的面积公式：菱形面积等于对角线乘积的一半求解． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ∴， ， ， 垂直平分， ， ， 在 和 中， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 平行四边形 是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：，， ， ， 答：四边形 的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，证明三角形全等是解题的关键． 19. 图①、图②、图③都是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中，过点画一条平分周长的直线． （2）在图②中，过点画一条平分面积的射线． （3）在图③中，过点画一条将周长分成两部分的线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一定理、中线性质可得； （2）根据矩形性质、中线性质可得； （3）先求出的周长，再求出将其周长分为时两部分的长，存在两种情况（画出其一即可）：① ， ；②， ，结合平行线分线段成比例定理即可找到符合题意的点． 【小问1详解】 解：在线段中找到中点，连接，直线即为所求； 依图得：是等腰三角形， 是中线，也是高线， ， ， 即符合题意． 【小问2详解】 解：由题意得，四边形是矩形， 、互相平分， 是中点， 射线符合题意． 如图，射线即为所求； 【小问3详解】 解：依题得：，， 的周长， 则将其分成两部分时，一部分长为，一部分长为， ，， 如图，连接，与交于点，连接即可， ，，， ， ， ， 即点符合要求，即为所求． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一、中线平分三角形面积、矩形性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是对相关知识熟练运用． 20. 农业、工业和服务业统称为“三产”，2022年某市“三产”总值增长率在全省排名第一．观察下列两幅统计图，回答问题． （1）2018—2022年农业产值增长率的中位数是______． （2）若2020年“三产”总值为5200亿元，则2021年服务业产值比2020年约增加多少亿元（结果保留整数）． （3）小亮观察折线统计图后认为：这5年中每年服务业产值都比工业产值高．你同意他的说法吗？请结合扇形统计图说明你的理由． 【答案】（1） （2）约亿元 （3）不同意小亮的说法，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，折线统计图，求中位数： （1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求出2020年服务产业的产值，再乘以2021年服务产业的增长率即可得到答案； （3）根据折线统计图阐述理由即可． 【小问1详解】 解：将这五年的农业产值增长率按照从小到大的顺序排列为，处在最中间的 ， ∴中位数为 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（亿元）， ∴2021年服务业产值比2020年约增加96亿元； 【小问3详解】 解：不同意小亮的说法．理由如下： 2020年某市的服务业产值占比是 ，而工业产值占比，说明2020年的服务业产值低于工业产值 21. 在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象． 请解答下列问题： （1）填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟； （2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案． 【答案】（1）300，800 （2）（ ） （3）分钟，分钟，6分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度； （2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围； （3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟， ∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟， ∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟， ∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟， 故答案为：300，800； 【小问2详解】 解：由（1）可知G（6，2 400）， 设直线FG的解析式为， ∵过F（3，0），G（6，2 400）两点， ∴， 解得：， ∴直线FG的解析式为：， 自变量x的取值范围是 ； 【小问3详解】 解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米， ①乙从B地到A地时，两人相距600米， 由题意得：300t＋800t＝600， 解得：； ②乙从A地前往C时，两人相距600米， 由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600， 解得：或6， 答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 22. 如图1，在中，，，点是边的中点，连接， ，以点为顶点作 ，使，． （1）连接，．线段和线段的数量关系为 　 　，直线和直线的位置关系为 ； （2）如图2，当时，设与交于点，求的长度； （3）当E，C，B在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【答案】（1） ， （2）的长度是 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交于点，可证明 ，得 ，，即可推导出，则 ，所以，于是得到问题的答案； （2）由，得，则，由，得，则； （3）分两种情况，一是点，，在同一条直线上，且点在的延长线上，由勾股定理得，，所以；二是点，，在同一条直线上，且点在的延长线上，则，解方程求出符合题意的的值即可． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于点， ，，点是边的中点， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ， 的长度是； 【小问3详解】 解：如图3，，，在同一条直线上，且点在的延长线上， 由（1）得 ，， ， ，， ，， ，， ，， ， 解得或（不符合题意，舍去）； 如图4，，，在同一条直线上，且点在的延长线上， ，， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，的长为或． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大． 23. 如图①，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点，点重合时，过点作的垂线交于点，连接 ，以为邻边作平行四边形，当点停止运动时，点继续运动，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段 的长． （2）当平行四边形为矩形时，求的值： （3）当将平行四边形的面积分为 或两部分时，求的值； （4）如图②，点为的中点，连接，当直线与的边平行时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，分两种情形分别求出 即可； （2）如图① 中，当点落在上时，四边形是矩形．构建方程求解即可； （3）如图①中，当点在上时，设 交于点．如图① 中，当点在线段上，点Q没有到达点B时，设 交于点．点Q没有到达点B时．分别求解即可； （4）分三种情形：如图② 中，当时，延长 交于点，过点作 于点．如图②中，当时，过点作于点．则四边形 是矩形．如图② 中，当时，，分别构建方程求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 当点在上时，． 当点在上时，； 【小问2详解】 解：如图① 中，当点落在上时，四边形是矩形． 由，可得， 解得：； 【小问3详解】 解：如图①中，当点在上时，设 交于点． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴， 当将平行四边形的面积分为 两部分， ∴， ， ， 解得，； 当将平行四边形的面积分为两部分， ∴， ∴， ， ， 解得，，不符合题意舍去； 如图① 中，当点在线段上，Q还没有到达点B时，设 交于点． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴， 当将平行四边形的面积分为 两部分， ， ， 解得，（不符合题意舍去）． 当将平行四边形的面积分为两部分， ， ， 解得：； ∵， ∴符合题意； 当点在线段上，Q到达点B时，正好将四边形的面积平分，不可能分成 或两部分； 综上所述，满足条件的的值为或； 【小问4详解】 解：如图② 中，当时，延长 交于点，过点作 于点． ，， ， ， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．值符合． 如图②中，当时，过点作于点．则四边形 是矩形． ， ， ． 如图② 中，当时，， ， ．（此时值符合． 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点P为抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为时，求m的值． （3）已知点，点，以为邻边作． ①当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为 （2）m的值为1或 （3）①m的取值范围为或；②m的值为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况进行解答即可； （3）①分点在点的上方，且；点在点的下方，且，共两种情况，分别画图进行解答即可； ②分四种情况分别画图进行解答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为直线 ，顶点坐标为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去），； 综上所述，m的值为1或． 【小问3详解】 ①∵抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴， 当点在点的上方，且时，如图1， 则， 解得：， ∴； 当点在点的下方，且时，如图2， 则， 解得：； 综上所述，m的取值范围为或； ②当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小，与抛物线相交时，如图3， 则， 解得：； 当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小，与抛物线相交时， 则， 解得：或（舍去）， ∴； 当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大，与抛物线相交时，如图4， 则， 解得：； 当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大，与抛物线相交时，如图5， 联立得： ， 解得：（舍去）或 ， ∴， 则， 解得：或（舍去）； 综上所述，m的值为或或或． 【点睛】此题是二次函数综合题，用到了二次函数的图象和性质、一元二次方程的解法、待定系数法、平行四边形的性质、解不等式组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $