第一章 预备知识重难点测试卷-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

第一章 预备知识重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·全国·随堂练习）已知全集，，，那么是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 5．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 10．（21-22高一上·全国·单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（　　） A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6} C． ={1,2,4,6} D．={3,5} 11．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 13．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（22-23高一·全国·随堂练习）（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 16．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，，求实数a的值. 18．（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)，：方程有实数根． 19．（24-25高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 预备知识重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系，即可作出判断. 【详解】对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等； 对于B，，显然； 对于C，当时，，所以； 对于D，当时，，所以. 故选：C 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式以及作差法即可求解. 【详解】由题意，则，即，由基本不等式得， 又，即， 所以. 故选：D. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）已知全集，，，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将全集进行化简，依次求出选项中的元素，即可得出答案. 【详解】由题可得，全集 对于选项A，，不符合题意； 对于选项B，，，不符合题意； 对于选项C，，不符合题意； 对于选项D，，符合题意； 故选：D. 4．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素， 故选：C 5．（23-24高一上·北京丰台·期末）若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质可知，即可对A判断；由不等式性质得，即可对B判断，利用特殊值可对C、D判断； 【详解】对A：由，所以，故A错误； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，令，则，故C错误； 对D：由，，令，所以，故D错误. 故选：B. 6．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 8．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】判断两个等式的、关系，利用充分必要条件判断即可. 【详解】，由等价于；若等价于； 所以，则“”是“”的充分必要条件. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABD 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 10．（21-22高一上·全国·单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（　　） A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6} C． ={1,2,4,6} D．={3,5} 【答案】ACD 【分析】根据集全的交并补运算求解. 【详解】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}， ∴={1}，={1,2,3,4,5}. 又={2,4,6}，={3,5,6}， ∴={1,2,4,6}， ={3,5}. 故选：ACD. 11．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由题意得， 当时，， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件，所以 A， 所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性故舍， 所以， 所以， 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）已知集合，则集合中元素的个数为 ． （2）若，则 ． 【答案】 5 【分析】（1）通过分论讨论求解，然后再根据元素的互异性即可求解； （2）通过分两类或进行求解，求解出值后代入集合里面，看元素是否满足互异性即可． 【详解】解析：（1）①当时，，此时的值分别为0，，； ②当时，，此时的值分别为1，0，； ③当时，，此时的值分别为2，1，0． 综上可知，的可能取值为，，0，1，2，共5个， （2）由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，12，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，12，满足集合中元素的互异性，由①②知， 故答案为：;． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（22-23高一·全国·随堂练习）（1）把64写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ （2）把24写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 【答案】（1）当两个正数都取时，它们的和最小；（2）当两个正数都取时，它们的积最大 【分析】由基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）设两正数为，则， 由基本不等式得，， 当且仅当时等号取到， 即当两个正数都取时，它们的和最小，最小为. （2）设两正数为，则， 由基本不等式得， ， 当且仅当时等号取到， 即当两个正数都取时，它们的积最大，最大为. 16．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据解一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. （2）因为不等式等价于， 所以解得或， 所以不等式的解集为或. （3）因为不等式等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. （4）因为不等式等价于， 所以解得， 所以不等式的解集为. 17．（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据补集的定义得出关于a的方程，分类讨论两种情况：且或且，对每一种情况求解a的值，并且代入集合中进行验证得解. 【详解】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 18．（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要不充分条件 (2)既不充分又不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可． （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可． （3）利用矩形的性质判断即可． （4）利用一元二次方程的判别式判断即可． 【详解】（1）∵，但，∴是的必要不充分条件 （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既不充分又不必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要不充分条件． （4），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分不必要条件． 19．（24-25高一·上海·课堂例题）已知关于x的不等式的解集为M． (1)若，求不等式的解集； (2)若M中的一个元素是0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据是不等式的解集，得到，再根据两个不等式的关系求解； （2）将不等式转化为 ，再根据M中的一个元素是0，将x=0代入求解. 【详解】（1）解：因为是不等式的解集， 所以， 不等式，即为， 所以或， 所以不等式的解集是； （2）不等式转化为： ， 因为M中的一个元素是0， 所以， 解得 或 ， 所以实数a的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$