精品解析：贵州省六盘水市六枝特区六校2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题

高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数与导数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集定义即可求出. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，逐一验证A，B，D即可判断A，B，D错误，对选项C，利用作差法即可判断C正确. 【详解】对选项A，取，满足，不满足，故A错误. 对选项B，取，满足，不满足，故B错误. 对选项C，因为，所以，即，故C正确. 对选项D，取，满足，不满足，故D错误. 故选：C 3. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解. 【详解】对于命题，当时，， 当时，，所以命题是真命题； 对于命题，当时，，所以命题是真命题； 故选：A. 4. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 5. 已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 6. 已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可确定两函数的交点在轴上，由可求得；代回验证，结合导数知识可确定为唯一零点，由此可得结论. 【详解】与的定义域均为，，， 与均为定义在上的偶函数， 又与的图象恰有一个交点，交点必在轴上， ，. 当时，设， 令，则或， 令，则，在上单调递增， 又，有唯一解， 与图象有唯一交点，横坐标为，满足题意； 综上所述：. 故选：A. 7. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】 设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数，再由函数单调性定义可得在上单调递减，原不等式等价于，利用单调性即可解得结果. 【详解】将不等式化简可得； 令，可得， 即对任意的，，都有， 所以函数在上单调递减， 则等价于， 即，可得， 又，所以， 所以等价于， 因此可得，解得, 可得x的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形通过构造函数并利用所给函数值以及函数单调性解不等式即可得出结果. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解不等式，充分不必要条件对应的集合是不等式解集的真子集. 【详解】由得，其充分不必要条件对应的集合为的真子集即可. 故选：BC 10. 已知函数下列命题正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则为奇函数 C. 若只有一个零点，则的取值范围为 D. 若在上单调递减，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可. 【详解】当时， 时，， 时，，所以的值域不为，A错误. 若时，图象如图， 由图可知为奇函数，B正确. 当时， 时，， 时，，有两个零点， 当时， 时，，只有一个零点， 当时， 时，， 时，， 时，， 只有一个零点， 所以，若只有一个零点，则的取值范围为，C正确. 若在上单调递减，则时，在上单调递减，则有，即的取值范围为，D正确. 故选：BCD 11. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，， ， 在上单调递增，， ，，B错误； 对于C，由B知：，， ， ，， （当且仅当，即时取等号）， ，，即，C正确； 对于D，，， 若，则，即， ，，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】的定义域为， 因为是偶函数，所以对于定义域内任意恒成立， 则对于定义域内任意恒成立， 则对于定义域内任意恒成立， 即对于定义域内任意恒成立， 即，对于定义域内任意恒成立， 解得. 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，根据，求得的值，结合实数的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为处函数极小值，可得，解得或， 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，不符合题意，（舍去）； 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极小值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对任意恒成立，且，令函数，则对任意恒成立，对求导分析单调性，可得对任意恒成立，由可得出的范围. 【详解】由题意可得对任意恒成立，且. 令函数，则对任意恒成立. ， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，即对任意恒成立. 因为，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式，求解可得； （2）根据函数的单调性，由不等式可化为，进而可得，求解可得. 【小问1详解】 由，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 . 不等式可化为. 因为是增函数，所以 解得，故. 故不等式的解集为. 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，利用换元法求解析式； （2）先判断函数的单调性，从而把恒成立问题转化为，然后利用一次函数性质得不等式组，即可得解. 【小问1详解】 令，则， 则， 所以. 【小问2详解】 因为在上单调递增， 所以. ，即， 则 解得. 故的取值范围是. 17. 已知函数. （1）若且，求不等式的解集（结果用表示）； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件将题设不等式化成一元二次不等式，根据参数的取值范围，确定其解集，最后分类表述即得； （2）由条件得到，利用常值代换法将待求式展开转化，运用基本不等式，并对参数进行分类讨论求解，比较即得其最小值. 【小问1详解】 由可得，. 因，代入得，，即. 当时，解得； 当时，解集为； 当时，解得. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以，即， 则 .（因 ） ①当时，，当且仅当时， 即时，等号成立. ②当时，，当且仅当时， 即时，等号成立. 综上，的最小值为. 18. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. （1）比较和的大小； （2）讨论的单调性； （3）若有最小值，且最小值为，求的最大值. 【答案】（1）； （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解； （2）求导，分和讨论导数符号即可得解； （3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可. 【小问1详解】 ，由题知， 整理得. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，无最小值， 当时，在处取得最小值，所以， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 即的最大值为. 19. 拟合和插值都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值．例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值．设一次函数满足，可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式．已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足. （1）求，并证明当时，； （2）当时，，求的取值范围； （3）利用计算的近似值，并证明其误差不超过0.1．（参考数据：，．结果精确到0.01） 【答案】（1），证明如下： ，，，，， ，， 由，得，解得， 所以， 设， ， 令函数，则， 令函数，则， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以在上存在唯一的零点，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，即； （2） （3），证明如下： ， 由（2）知，， 所以误差. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可求得，，，即可得，设，求导结合函数的单调性及零点存在定理即可证明； （2）由已知设，则，通过求导判断的单调性，讨论的范围，验证是否成立即可求解； （3）由即可求解的近似值，根据（2）代入即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知等价于，且， 设，则， ， 令函数，则， 令函数，则， 所以在上单调递减， 若，即，则在上恒成立， 所以在上单调递减，在上恒成立， 所以在上单调递减，，符合题意， 若，即， 则存在，使得当时，， 从而在上单调递增， 因为，所以当时，，即在上单调递增， 所以，不符合题意， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解读题干，根据题意求出，充分利用每一小问得出的结论解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数与导数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，命题，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数下列命题正确的是（ ） A. 的值域为 B. 若，则为奇函数 C. 若只有一个零点，则的取值范围为 D. 若在上单调递减，则的取值范围为 11. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为偶函数，则__________. 13. 已知函数在处取得极小值，则__________. 14. 已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求关于的不等式的解集. 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）若且，求不等式的解集（结果用表示）； （2）若，求的最小值. 18. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. （1）比较和的大小； （2）讨论的单调性； （3）若有最小值，且最小值为，求的最大值. 19. 拟合和插值都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值．例如，为了得到的近似值，我们对函数进行多项式插值．设一次函数满足，可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式．已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足. （1）求，并证明当时，； （2）当时，，求的取值范围； （3）利用计算的近似值，并证明其误差不超过0.1．（参考数据：，．结果精确到0.01） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $