精品解析：2023年吉林省四平市伊通满族自治县第二中学校、伊通县第五中学、第六中学、伊通满族自治县第七中学校、第八中学学业水平考试数学试题

吉林省2023年初中学业水平考试数学模拟试题 数学试题共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 表示的意义是（ ） A. B. C. D. 2. 如果按图中虚线对折可以做成一个上底面为无盖的盒子，那么该盒子的下底面的字母是（　　） A. D B. C C. B D. A 3. 关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 如图，是的中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 5. 如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在外的点是（　　） A. M B. N C. P D. Q 6. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 计算的结果是______. 8. 分解因式：__________． 9. 不等式组的解集是_____________． 10. 分式方程的解是___________． 11. 正六边形的一个外角等于__________度． 12. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则_______度． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，等腰直角三角形的边在x轴的正半轴上，，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将绕点A逆时针旋转，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边的长为_______________． 14. 如图，在扇形AOB中，，，过点C作于点D，以CD为边向右作正方形CDEF，若，则阴影部分的面积是______结果保留． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 下面是小颖在学习整式的乘除时遇到的一个问题，请仔细阅读她的解答过程，并回答问题． 解： 第一步 第二步 （1）小颖的化简过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______． （2）请写出正确的计算过程． 16. 第24届冬奥会期间，小星收集到4张卡片，按顺序分别记为卡片、、、．正面图案如图所示，卡片背面完全相同． （1）若小星从中随机摸出一张卡片，则卡片上的图案恰好是花样滑冰的概率是___________． （2）小星把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀后再摸出一张，请用列表或画树状图的方法，求这两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率． 17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 18. 如图所示，一辆消防车的梯子长，并以倾斜于水平面．如果这辆消防车的高度是，求梯子可达的高度．（精确到，参考数据：，，） 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． （2）在图②中，作四边形的边上的高． （3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 20. 甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机． （1）在这个问题中，1小时20分＝ 小时； （2）相向而行时，汽车行驶 小时的路程+拖拉机行驶 小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶 小时的路程＝拖拉机行驶 小时的路程； （3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 21. 某社区为了加强社区居民对垃圾分类的了解，通过微信群宣传垃圾分类的知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新垃圾分类全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：80 85 90 95 90 95 90 65 75 100 90 70 95 90 80 80 90 95 60 100 乙小区：60 80 95 80 90 65 80 85 85 100 80 95 90 80 90 70 80 90 75 100 整理数据 成绩 小区 甲小区 3 4 7 6 乙小区 3 7 6 4 分析数据 数据名称 计量小区 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 90 乙小区 83.5 80 应用数据 （1）填空：　　，　　． （2）若乙小区共有1600人参与答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数； （3）结合数据，你认为哪个小区对垃圾分类知识掌握更好，请你写出理由． 22. 在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5． （1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式； （2）联结AB、AO、BO，求S△OAB． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小明和爸爸参加了某公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图像（全程）如图所示． （1）两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米； （2）求出AB所在直线的函数关系式； （3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为多少千米/时？ 24. 【解决问题】如图①，在四边形中，，点E是边的中点，，求证：平分．（提示：延长交射线于点F） 【应用】如图②，在矩形中，点F是边上的一点，将沿直线折叠，若点B落在边的中点E处，则______． 【拓展】在矩形中，，点E为边的中点，将沿直线折叠，得到，延长交直线于点G，直线交边于点H．若，，直接写出的长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，点是线段上不与点重合的动点，过点作交边于点．将绕点顺时针旋转得到，设线段的长为． （1）直接用含的代数式表示线段的长； （2）当点落在线段上时，求的值； （3）设与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与的函数关系式． 26. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省2023年初中学业水平考试数学模拟试题 数学试题共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 表示的意义是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数乘方的定义即可解答． 【详解】表示的意义是． 故选B． 【点睛】本题考查有理数乘方的意义．掌握求相同因数的积叫做乘方是解题关键． 2. 如果按图中虚线对折可以做成一个上底面为无盖的盒子，那么该盒子的下底面的字母是（　　） A. D B. C C. B D. A 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键． 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，进行判断作答即可． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴做成一个无盖的盒子，盒子的底面的字母是B，周围四个字母分别是A、E、C、D， 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程没有实数根，则m的值可能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：方程没有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0， 解得m＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4. 如图，是的中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线求出，再根据三角形中位线定理即可求出． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 5. 如图，在的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心，为半径作圆，则在外的点是（　　） A. M B. N C. P D. Q 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内，根据点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴在外的点是P， 故选：C． 6. 有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解． 【详解】x+1+（x+1）x=81 整理得，（1+x）2=81． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 计算的结果是______. 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】. 【点睛】考点：二次根式的加减法． 8. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 9. 不等式组的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可； 【详解】解： 由不等式①得，， 由不等式②得，x＜4， 故不等式组的解集是：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，掌握一元一次不等式是解题的关键. 10. 分式方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得，， 检验，当时，，是原分式方程的解， 故答案为：． 11. 正六边形的一个外角等于__________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据正六边形的外角和为即可求解． 【详解】解：正六边形的外角和为， 正六边形的一个外角等于． 故答案为：60． 12. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则_______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查基本作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握基本作图及等腰三角形的性质． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，等腰直角三角形的边在x轴的正半轴上，，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将绕点A逆时针旋转，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．依据旋转的性质，即可得到，再根据，即可得出，进而可得到． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，． 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴． ∵点A的坐标为， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 14. 如图，在扇形AOB中，，，过点C作于点D，以CD为边向右作正方形CDEF，若，则阴影部分的面积是______结果保留． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知阴影部分的面积等于扇形OBC的面积与△ODC的面积之差，从而可以解答本题． 【详解】连接OC，如图所示， ∵在扇形AOB中，∠AOB=90°，， ∴∠AOC=∠COB=45°， ∵四边形CDEF是正方形，OA=， ∴OC=，∠CDO=90°， ∴OD=CD=1， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 下面是小颖在学习整式的乘除时遇到的一个问题，请仔细阅读她的解答过程，并回答问题． 解： 第一步 第二步 （1）小颖的化简过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是______． （2）请写出正确的计算过程． 【答案】 ①. 一；去括号时，括号前面是“﹣”号，括号内的各项应改变符号 ②. 解： ． 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式、完全平方公式等知识点， （1）根据去括号法则进行判断； （2）根据单项式乘多项式的法则、去括号法则、合并同类项法则计算即可． 掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键． 【小问1详解】 小颖的化简过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是“﹣”号，括号内的各项应改变符号， 故答案为：一；去括号时，括号前面是“﹣”号，括号内的各项应改变符号； 【小问2详解】 略 16. 第24届冬奥会期间，小星收集到4张卡片，按顺序分别记为卡片、、、．正面图案如图所示，卡片背面完全相同． （1）若小星从中随机摸出一张卡片，则卡片上的图案恰好是花样滑冰的概率是___________． （2）小星把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀后再摸出一张，请用列表或画树状图的方法，求这两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式进行计算即可； （2）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的结果有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是冰壶和冰球的概率为． 【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 17. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】 证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 18. 如图所示，一辆消防车的梯子长，并以倾斜于水平面．如果这辆消防车的高度是，求梯子可达的高度．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点作，通过解可求得的长，进而可求解．掌握三角函数的概念是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， 由题意知：垂直平于水平面，， ∴， 在中， ， ∴梯子可达的高度：， 答：梯子可达的高度是． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． （2）在图②中，作四边形的边上的高． （3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 【答案】（1） 如图①中，平行四边形即为所求； （2） 如图②中，高即为所求； （3） 如图③中，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据网格与勾股定理得出 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图所示，找到格点， ，， 则是等腰直角三角形， 找到格点，则是矩形， ∴是的中点， ∴垂直平分， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇．相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回，汽车在返回后半个小时追上了拖拉机． （1）在这个问题中，1小时20分＝ 小时； （2）相向而行时，汽车行驶 小时的路程+拖拉机行驶 小时的路程＝160千米；同向而行时，汽车行驶 小时的路程＝拖拉机行驶 小时的路程； （3）全程汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 【答案】（1）；（2），，， ；（3）汽车行驶的路程为165千米，拖拉机行驶的路程为85千米. 【解析】 【分析】（1）根据1小时=60分进行单位换算即可； （2）相向而行，相遇时两者行驶时间相同，行驶距离之和为160千米，同向而行，汽车追上拖拉机时，汽车行驶时间为小时，拖拉机行驶小时，据此填写即可； （3）设汽车、拖拉机的速度分别是千米/小时，根据（2）中的等量关系建立方程求出汽车和拖拉机的速度，再用速度乘以行驶的总时间求出行驶路程． 【详解】（1）20分=小时， ∴1小时20分=小时 故答案为：． （2）相向而行，相遇时，两者行驶时间均为小时，同向而行，汽车追上拖拉机时，汽车行驶时间为小时，拖拉机行驶小时 故答案为：，，，． （3） 解：设汽车、拖拉机的速度分别是千米/小时，依题意有： ，解之得： 全程汽车行驶的路程为（千米） 全程拖拉机行驶的路程为（千米） 答：全程汽车行驶的路程为165千米，拖拉机行驶的路程为85千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握相向而行与同向而行中的等量关系是解题的关键． 21. 某社区为了加强社区居民对垃圾分类的了解，通过微信群宣传垃圾分类的知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新垃圾分类全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下： 收集数据 甲小区：80 85 90 95 90 95 90 65 75 100 90 70 95 90 80 80 90 95 60 100 乙小区：60 80 95 80 90 65 80 85 85 100 80 95 90 80 90 70 80 90 75 100 整理数据 成绩 小区 甲小区 3 4 7 6 乙小区 3 7 6 4 分析数据 数据名称 计量小区 平均数 中位数 众数 甲小区 85.75 90 乙小区 83.5 80 应用数据 （1）填空：　　，　　． （2）若乙小区共有1600人参与答卷，请估计乙小区成绩大于90分的人数； （3）结合数据，你认为哪个小区对垃圾分类知识掌握更好，请你写出理由． 【答案】（1）82.5，90；（2）320人；（3）因为从试卷得分的平均数，中位数，众数来看都是甲小区的试卷分数大于乙小区的试卷分数，所以甲小区的居民对垃圾分类知识掌握更好． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的求解方法，求解即可； （2）求得乙小区成绩大于90分所占的比重，即可求解； （3）从平均数、中位数以及众数的角度，即可求解． 【详解】解：（1）把乙小区的数据从小到大排列，则中位数（分； 甲小区中90出现了6次，出现的次数最多， 甲小区的众数； 故答案为：82.5，90； （2）根据题意得： （人， 答：乙小区成绩大于90分的人数为320人； （3）因为从试卷得分的平均数，中位数，众数来看都是甲小区的试卷分数大于乙小区的试卷分数， 所以甲小区的居民对垃圾分类知识掌握更好． 【点睛】此题考查了统计的基本知识，涉及了众数、中位数的求解，用样本估算总体，统计量的意义等，熟练掌握相关基本知识是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图像上．过点A向x轴作垂线，垂足为C；过点B向x轴作垂线，垂足为D，且CD＝5． （1）求m，n的值，并求出反比例函数的解析式； （2）联结AB、AO、BO，求S△OAB． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）将点A（m，6），B（n，1）代入反比例函数，得到的关系，再根据得到，求解即可； （2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，为正方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）点A（m，6），B（n，1）在反比例函数y＝ ∴，，化简得 由题意可得，，则 ∴，解得， ，即反比例函数解析式为 故答案为，， （2）过点作轴，并反向延长交的延长线于点，如下图： 由题意可得：， ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小明和爸爸参加了某公园举办的“亲子健身赛”，两人的行程y（千米）随时间x（时）变化的图像（全程）如图所示． （1）两人出发后______小时相遇，此次“亲子健身赛”的全程是______千米； （2）求出AB所在直线的函数关系式； （3）若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为多少千米/时？ 【答案】（1）1，20； （2）AB所在直线的函数关系式是y=4x+6； （3）16千米/时 【解析】 【分析】（1）由图像可得，两人出发后1小时相遇，全程是（10÷1）×2=10×2=20千米； （2）设AB所在直线的函数关系式是y=kx+b，由图像过点（1，10）和（0.5，8），即得AB所在直线的函数关系式是y=4x+6； （3）在y=4x+6中，令x=1.5得y=12，可得出发1.5小时，小明距终点还有20-12=8（千米），即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图像可得，两人出发后1小时相遇， “亲子健身赛”的全程是 （千米）， 故答案为：1，20； 【小问2详解】 设AB所在直线的函数关系式是， ∵函数y=kx+b的图像过点（1，10）和（0.5，8）， ∴， 解得， ∴AB所在直线的函数关系式是y=4x+6； 【小问3详解】 在y=4x+6中，令x=1.5得y=12， ∴出发1.5小时，小明距终点还有20-12=8（千米）， 若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发1.5小时后，将速度调整为（千米/时）． 答：将速度调整为16千米/时. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 【解决问题】如图①，在四边形中，，点E是边的中点，，求证：平分．（提示：延长交射线于点F） 【应用】如图②，在矩形中，点F是边上的一点，将沿直线折叠，若点B落在边的中点E处，则______． 【拓展】在矩形中，，点E为边的中点，将沿直线折叠，得到，延长交直线于点G，直线交边于点H．若，，直接写出的长． 【答案】 （解决问题）证明：如图①，延长交射线于点， 点是边的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 平分； （应用）；（拓展）的长为或 【解析】 【分析】（解决问题）如图①，延长交射线于点，证明，可得，，进而可以解决问题； （应用）如图②，延长交延长线于点，证明，可得，再，可得，所以，进而可得的值； （拓展）分两种情况画图讨论：①当点在边上时，②当点在延长线上时，然后证明，可得，，证明，可得，进而可以求出的长． 【详解】（解决问题） 略 （应用）如图②，延长交延长线于点， 点是边的中点， ， 在和中， ， ∴， ， 由翻折可知：， ， 在和中， ， ∴， ， 由翻折可知：， ， ； 故答案为：； （拓展）①如图，在矩形中，，当点在边上时， 延长交延长线于点， 点为边的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， 将沿直线折叠，得到， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ； ②如图，在矩形中，，当点在延长线上时， 延长交延长线于点， 同①得≌， ，， 将沿直线折叠，得到， ， ， ， ，， ， ， ， ， 同①， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题属于四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，相似三角形是判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是得到． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，点是线段上不与点重合的动点，过点作交边于点．将绕点顺时针旋转得到，设线段的长为． （1）直接用含的代数式表示线段的长； （2）当点落在线段上时，求的值； （3）设与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）由已知可得，证明，由相似三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的判定和性质即可求解； （3）分三种情况画出图形，用含的式子表示出三角形的直角边，根据三角形面积的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，的长为， ∴， ∴， ∴线段的长为； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， ， ，即 解得：， 的值是； 【小问3详解】 解：当点与点重合时，如图， ，即， 解得：， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴′，， ∴，， ∴； 当时，如图，重叠部分不是四边形； 当时，如图， ∵， ∴； ∴与的函数关系式为：当时，；当时，． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的应用，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质． 26. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）①； 【解析】 【分析】（1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解； （2）①根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解； ②根据①得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， ∴和谐点都在上， ， 解得， 上的和谐点为； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ， 联立①②，得， ②， ， 其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， 时，函数的最小值为－1，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， 实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $