2.1 等式-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

第二章等式与不等式 2.1等式 2.1.1等式的性质与方程的解集 @和识点一点 【说明】(1)运用x2+(a+b)x+ab=(x十a)(x十b)进 行因式分解时需满足的条件： 1.等式的性质：若a=b,则对任意c,都有a十c=b+c: ①分解因式的多项式是二次三项式： 若a=b,则对任意不为0的c,都有 ②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且 2.恒等式：含有字母的等式，如果其中的字母取任意实 一次项系数是这两个敏的和。 数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等，常 (2)对于x十Cx十D的因式分解，当常数项是正数时， 见的恒等式：a一方=(a十b)(a-b): 可以分解成两个同号的数的飘，符号与一次项系数的符号 (a士b)'=a2士2ab+b: 相同：当常数项是负数时，可以分解成两个并号的数的积， a-=(a-h)(a+ab); 绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同. 3.方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这 个方程的 ·15· ©课前测一测 4.若4x2-3(a-2)x+25是完全平方式，则a的 值为() 1.思考辨析（正确的画“、/”，错误的画“义"） (1)若a=b,则3a=3b.() 入号 婴 (2)若(a+bc)c=0,则ac+cb不一定等于0.(） c一学弩 D.不存在 (3)在等式2.x=2a十b两边都除以2，则x=a一b.( 5.方程x2+2r一15=0的解集为 (4)若r=y,且a≠0，则三=义，() 6.先化简，再求值： 2.分解因式a+8ab-336得(） (x-1D+x(3-x),其中x=- 2 A.(a+11)(a-3) B.(a+11b)(a-3b) C.(a-11b)(a-3b) D.(a-11b)(a+3h) 3.如果多项式一6ab十18ahr+24aby的一个因式是一6ab. 那么另一个因式是() A.1+3x-4y B.-1-3r4y C.1-3.x-4y D.-1-3x+4y ·16· 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 ⊙知识点一点 【说明引。一元二次方程的解法： 1.一元二次方程的解集 方法 方程类型 注意事项 一元二次方程a.x十bx+c=0(d≠0)，记△=一4ac. 10时有解， 直接开平方法 (x+k)2=t (1)当△>0时，方程的解集为（二b十6-a配 t<0时无解 配方法 x2十px十g=0 先移项再配方 -b--Aac) 2a b一4ac≥0时有解， 公式法 ax+bx+c=0 (2)当△=0时，方程的解集为 行一4a<0时无解 (3)当△<0时，方程的解集为2. 提公因式， 因式分解法 (x+G)(x+b)=0 一般地，△=b一4ac称为一元二次方程ax十bx十c= 十字相乘法 0(a≠0)的判别式. 2. 2.一元二次方程根与系数的关系 元二次方程 当一元二次方程ax十br十c=0(a≠0)的解集不是空 鲜案 日与系数的美系 集时，方程的解可以记为：西=一b十一4知 2a ，= 苯雕方出 根的个数 有达定理 基不关品式 一6B4ac,则有x,+x:= 直接开平方因 料别式-4ae tx-:-2r 2a ·1 1>0, 内不等实相 法。式分 =0，等买根 -+坏7 4eD,无实易 + ·17 ©课前测一测 D.不能确定 4.已知一元二次方程x一2x一1=0的两根分别为x,x, 1.方程x2一23kx十3k=0的根的情况是( A,有一个实数根 求+士的值 B.有两个不相等的实数根 C,有两个相等的实数根 D.没有实数根 2.已知x,n是关于x的方程x+bx一3=0的两根，且满 足x1十x一3.xx=5,那么b的值为() A.4 B.-4 5.若关于x的一元二次方程k.x2一x十1=0没有实数根，求 C.3 D.-3 实数k的取值范围 3.若代数式x2一6x+5的值是12，则x的值为() A.7或-1 B.1或-5 C.一1或一5 ·18· 2.1.3 方程组的解集 ⊙和识点一点 C.(-2,1 D.{(-2,1) 2x+y=7, 方程组的解集： 2,若x,y满足方程组 则x十y的值是() x十2y=8, 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，由每个方 A.5 B.-1 程的解集得到的交集称为这个方程组的 C.0 D.1 求方程组解集的依据还是等式的性质，常用的方法是 y=r 消元法 3.方程组 的解集是() x+y=2 【说明】(1)解二元一次方程组时，用加减消元法消去一 A.(士1，±1) 个未知数，再求解 B.{(±1，士1)} (2)解三元一次方程组时，注意代入法的应用，即通过 C((-1.-1),(1.1) 代入，将三元一次方程变为二元一次方程的求解问题。 D.(-1,-1),(1,1) ⊙课前测一测 7十y-=0,① x+y=1, 4.方程组y十x一x=7,②的解集为 1.方程组 的解集是( x-y=3 x十x-y=9③ A.2,-1 B.(2,-1) ·19·1.2常用逻辑用语 2.p→q,但g中p 3.A本B且B实A 1.1.2 集合及其表示方法 【课前测一测】 1.(1)W/(2》/ (3)X 【知识点一点】 2.A3.C4.B 全称量词r∈M,r(x) 5.必要不充分 【课前测一测】 6,m=一2虽数y=x十.x十1的图像关于直线x■1对 1.(1)×(2)/ (3)/ (4)× 2.ABC 3.B 称，则一受-1，即m=一2：反之，若m=一2，则y=了 4.①②③④①②③是全称量词命题：④是存在量词命 2x十1的图像关于直线x=1对称. 题：③不是命题 7,解：当a=0时，方程为2x十1=0，.x=一 5.解：(1)真(2)：(3)假 为一负根 6.解：(1)真 (2)假(3)真 当a<0时，：4=4-4a>0,且x=】<0.4十x2 1,2.2全称量词命题与存在量词命题的否定 【知识点一点】 2>0,为一正根，一负根. a 3x∈M,np(x) Hr∈M,ng(x) 2 当a>0时，△=4-4a≥0，r1x,= >0,x1十x=- 【课前测一测】 1.(1)×(2)W (3)/(4)× 0,得0<a1,综上：a≤1， 2.D3.D4.C 第二章等式与不等式 5.解：(1)3n∈Z,nQ: (2)存在一个奇数的平方不是奇数； 2.1等式 (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形 6.解：(1)任意三角形都不是直角三角形： 2.1.1 等式的性质与方程的解集 (2)所有的梯形都不是等腰梯形： 【知识点一点】 (3)任意一个实数，它的绝对值都是正数」 1.ac=bc 1.2.3充分条件、必要条件 2.a3+b=(a+b)(a2-ab+b) 3.解集 【知识点一点】 【课前测一测】 1.充分条件必要条件 1,(1)/(2) (3)×(4)/ ·40 2.B3.C4.C 4.((4.5,3.5,8)①十②十③得x+y十x=16④ 5.{3,-5}x2+2x-15=(x-3)(.r+5)=0. ④一①，得2=8： 所以r=3或x=一5， ①一②，得x=4.5: 所以方程的解集为{3，一5} ④-③，得y=3.5. 6.解：(x-1)十x(3-x)=x-2x+1+3xr2=x+1,当 所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}. =一2时，原式=一十1=2 2.2不等式 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.2.1不等式及其性质 【知识点一点】 【知识点一点】 12 知识点一 1.正数等于0负数2.> 2.-6c 知识点二 d b<aa>ca十c>b+eac>xac<xa十c>b+d 【课前测一测】 uc>bd ah a>沥 1.C2.A3.A 【课前测一测】 4.解：周为是方程x一2x一1=0的两个根， 1.(1)/(2)/ (3)×(4)× 所以x1十x:=2,x1x=一1， 2.C3.A4.B 所以上+1=十西=一2 2.2.2不等式的解集 i? 5解：依通意可知4<0且k≠0，解得>十，所以实数的 【知识点一点】 知识点三 la-b a十b 取值花围是（十∞） 2 【课前测一测】 2.1.3方程组的解集 1.C2.A3.D 4.【xl-6<r4} |x十1<5>-5<x十15->-6<x<4 【知识点一点】 解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 【课前测一测】 【课前测一测】 1.B2.A3.C 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ ·41·