6.2 向量基本定理与向量的坐标-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

6.2 向量基本定理与向量的坐标 6.2.1 向量基本定理 知识点一点 量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底 1.共线向量基本定理 2.准确理解平面向量基本定理 定理:如果忘0月力/:则存在唯一的实数入,使得h (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内 da. 任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的 2.平面向量基本定理 形式 定理:如果e.,是同一平面内的两个 的向 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想. 量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在 用向量解决儿何间题时,我们可以选择适当的基底,将间题 .使a-e十e 中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决 解题秘籍 课前测一测 1.对基底的理解 1.判断正误(正确的画“、/”,错误的画“×” (1)基底的特征 (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量:② 面内所有向量的基底。( ) 基底的选择是不唯一的,平面内两向量不共线是这两个向 (2)若a,是同一平面内两个不共线向量,则xu十 .45. (r.y为实数)可以表示该平面内所有向量。( ) 4.设向量a,b不平行,向量xa+b与a+2b平行,则实数 (3)若ae +be -ce.+de(a.b,c.dER),则a-c.b d.( 5.已知e.,e。是平面内两个不共线的向量,a一3e.-2e。 ) (4)基底向量可以是零向量,( b--2e+e.c-7e.-4e。,试用向量a和b表示c 2.如图,向量.6.8的起点与终点均在正方形网格的格 点上,则向量a用基底e.e。表示为 ) A.e十e B.-2e十: C.2e一。 D. 2e:十e: 3.若e.e:是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为 平面向量的基底的是 ) A.-ee.-e B.2e.一:.e一 1 2。 C. 2e-3e..6e-4e。 D.e十e,e-e: .46. 6.2.2 1.直线上向量的坐标及其运算 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 知识点一点 运算 坐标表示 语言叙述 1.平面向量的坐标表示 a-b= 减法 两个向量差的坐标分别等于这 3& 两个向量相应坐标的__ Py 数乘 实数与向量积的坐标分别等干实 数与向量的相应坐标的 3.向量AB的坐标表示 在平面直角坐标系中,如图,分别取与:轴,y轴方向 设定点A(r,y).B(r.y),则AB- 的两个单位向量1./作为基底,a为坐标平面内 4.点的坐标与向量坐标的区别和联系 的任意向量,以坐标原点O为起点作OP一a.由平面向量 基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得OP一xi十 表示形式不同 向量a一(x,y)中间用等号连接,而点 叫做向量a的坐 A(x,y)中间没有等号 vi.因此a二i十vi.把实数对 标,记作a一(r,y). 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平 2.平面向量线性运算的坐标表示 面直角坐标系中的位置,a一(r,y)的坐 已知a-(x,y).b-(x.y). 意义不同 标(七,x)既表示向量的大小,也表示应 语言叙述 量的方间,另外(t,y)既可以表示点:也 运算 坐标表示 可以表示向量,叙述时应指明点(x·y a十b- 或向量(x,y) 加法 两个向量和的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的 联系 当平面向量的始点在原点时,平面向量 的坐标与向量终点的坐标相回 ·47. 一个向量的坐标等于其 的相应坐标减去 (3)直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 的相应坐标 ) 5.平面向量共线的坐标表示 (4)两个向量差的坐标等干这两个向量坐标的差, _ (1)设a=(z.y),b-(x。.y).其中b.a,b共线. (5)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不 同.( 当且仅当存在实数入,使a一b ) (2)如果用坐标表示,可写为(xt.y)一a(x。.y),当 2.已知数轴上两点A,B的坐标分别是20.一15.则AB的 且仅当 坐标是( 时,向量a:b(b0)共线 ) A.-35 B.5 C.35 解题秘籍 D-5 3.已知点A(1.-3),AB的坐标为(3.7),则点B的坐标为 要区分向量终点的坐标与向量的坐标,由于向量的起 点可以任意选取,如果一个向量的起点是坐标原点,这个向 A.(4.4) B.(-2.4) 量终点的坐标就是这个向量的坐标;若向量的起点不是原 C.(2.10) D.(-2.-10) 点,则向量的终点坐标不是向量的坐标,此时AB一 4.已知e为a上的单位向量,a=-2e,b-8e,则c-8a+ (r一x,yn-y). 5b的坐标为 . 课前测一测 $.已知向量a=(1,2),b-(x.1).n=a+2b,-2a-b.目 u/.求实数:的值 1.却断正误(正确的画“、/”,错误的画“×”) (1)数轴上点A对应的数为一3,则向量OA的坐标为3 ( ) (2)数轴上点A对应的数为一3.则向量OA1一3( _ .48.(或a)3.零同方向a。大小方向相等相同a=b 2.b的相反向量a+《一b)差的b被减向量a 平行或重合a师任一向量 【课前测一测】 【课前测一测】 1.(1)W/(2)W(3)×(4) 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.B解析：C市-C+AB-Ci+(-B)=b-a 2.A解析：a=0,则a是零向量，故A项正确. 3.C解析：由题知O范，心.A对应的有向线段都是图的*径，因此 3A解析：Bd=AD-AB=b一a,所以Bd的相反向量为a-b. 它们的被相等 4.c解析：d-amd+(一a)-AD十DB-AB-c 4.(1)AB,C(2)6解析：(1)在平行四边形ACD和ABDE中， 5.解：：1Oi=12.Oi1=5,∠A0B=90' .AB-ED.AB-DC...ED-DC. ∴OiP+O2=AB12..1A市1=13， (2)由(1)知Ed-D心，∴E,D,C三点共线， O月=a.O成=b.∴a-b=Oi-O成=B ECI-EDI+DXCI-21ABI-6. .a-b=1BA1=13. 57解析：由题图可知，以A为始点的向量有A成，A花，市.A正 6.1.4 数乘向量6.1.5向量的线性运算 A下，G,A方，共有7个 【知识点一点】 6.1.2向量的加法 1.向量A1a1相同相反 任意><><A (A)0a十aaa十ab 【知识点一点】 2.数乘向量3.非零ab=a 1.三角形平行四边形2.终点起点起点终点 AA. 3.b 【课前测一测】 十aa+(b+e) 1.(1)W(2)√(3)×(4)×(5)X(6)/(7)√(8)× 【课前别一测】 2,B解析：一3<0，b与a方向相反 1.(1)×(2)×(3)/(4)√ 3.D解析：4Ha-b)一3(a+b)-b=4a一4h-3a-3b-b-a-8b 2.B解析：由向受求和的多边移法谢可和特果为0，故选店 4.2解析：由于a=4,b=8,期b|=2a,义两向登河向，故b 3.DiC花解析：由向量求和的三角形法翻可知a十d一Di,c+b =2a, -CB. 5.证明：由题念，得A亦-0-i=(3a+b)-(2a一b)=a+2b,武 4.0解析：AB+BC+Ci=AC+C=0. -C-0店-(a-3b)-(3a+b)--2a-4h--2AB,所以A方 5.解：(1)(MA+BN)+(AC+CB) 与BC共线，且有公共点B,所以A,B.C三点共线 =Mi+AC)+(C市+B)=M+市=M衣】 6.2向量基本定理与向量的坐标 (2)AB+(BD+CA)+DC-AB+BD+DC+CA=0. 6.1.3向量的减法 6.2.1向量基本定理 【知识点一点】 【知识点一点】 1.(1)长度相等，方向相反一a(2)①0a②0①一b一a02.不共线唯一对实数 .57· 【课前测一测】 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 所以32r+1)-42-r)=0,解得=之 2.B解析：a=-2e1十e2, .D解析：e,十e:与c1一e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外 6.3平面向量线性运算的应用 三组向量都共线，不能作为基底 【知识点一点】 42解析：周为向量祖十b与a+2b平行. 1,几何物理 2,(1)向量问题(2)向量这算(3)陆译 【课前测一测】 所以a+b=a+2w.则价.所以A=号 1.(1)/(2)× (3)/(4)× 2 2.D解析：由物理知识如f,+f十∫十∫：=0，故f, 5.解：，a,b不共线，.可设c=a十yh, -(f1+f:十f)=1,2 ayb(3e-2e:)+y(-2ee:) 3A -(3r-2ye1+(-2r十y)e:-7e1-4e￥. 解桥：店=（么号）.D心=(3， 又“6不米成仁2得 y=一2 店=D元.正/D元，即ABDC .e=a-2b, 6.2.2直线上向量的坐标及其运算 又一4+哥9成==5 A≠D心，四边形ABCD是稀形 6.2.3平面向量的坐标及其运算 4稀：由*器器子DF-宁A,所以正-市+亦- 【知识点一点】 1,相同(x,y》2.(x1十2y+ye)和(21一r…y1一y:)差 市+成=+6， (r1Ay1)乘积3.(r-1y:-y1)4终点始点5(2) 5.解：设店，武分割表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行 rV±ry=0 800km,从B地按南偏东55的方向飞行800km,则度机飞行的路 【课前测一测】 1.(1)×(2)人/(3)W(1)/(5)X 程指的是AB+BC: 2.A解析：A$-店-0i=-15-20=-35. 两次飞行的往移的和指的是A范+武-心 3.A解析：夜点B的坐标为(ry由A=(3,7)=(r,y)一(1，- 依题意，有AB+1BC1=800十800=1600(km). 3)=(x-1.y+3》=(3,7),得B(4,4), 又a=35,3=55,∠ABC=35+55=90. 4.21解析：向量的坐标为（一2）×8十5×8=24. 所以C-√i+平-√80+8T-02(k. 5.解：因为a=(1,2),b=(r,1), 其中∠BAC=45,所以方向为髡偏东35十45°=80°， n-a+2b-(1,2)+2(x,1)-(2r+1,4), 从而飞机飞行的移程是】600km,两次飞行的位移和的大小为 v=2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),又国为h 800w2km,方向为光偏东80. ·58·