4.2 对数与对数函数-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 和识点一点 解题秘籍 定义 常见对数 性质 1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆 通常将以10为底的 的,即*-N-loN-(0.且子1.N0).据此可得 一般地,如果。(a0.a子1)的 对数称为常用对数. 次寡等于N.即。*一N,那么 N的常用对数 两个常用恒等式:(1)loga*-b:(2)g 对数 寡指数5称为以。为底N的对 logN简记为gN 数,记作logN一.其中a称为 2.在关系式a一N中,已知。和r求N的运篇称为 对数的底数,N称为对数的 以e为底的对数称为 自然对数,V的自然对 求赛运算:而如果已知a和N求工的运算就是对数运算, 数logN简记为lnN 两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算 一般地,对数与指数的关系 课前测一测 对数 如下: 拉 若a0,且a1,则a-N 1.判断正误(正确的画“/”,错误的画“×” 对数恒等式:a{m-N:log.df (1)根据对数的定义,因为(-2)一16,所以log16 关系 4.( ) -x(a0,且a1). (2)对数式log2与log3的意义一样。( ~ (3)因为1*-1.所以log1-a. ~ 6.求下列各式中x的值 ) (1)r-log (4)log-(-2)-1. 116; 2.把对数式x一lg2化为指数式为 ) (2)log.r-- A.10-2 B-2 C..-10 D.2-10 (3)log.(log.r)-0 (4)log”3+2 4.若log.(log:x)-o,则r 5.求下列各式的值 (1)3**;(2)e*;(3)lg 10-3;(4)lne. 4.2.2 对数运算法则 和识点一点 同底问题转化为同底问题 如,在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用 1.对数的运算法则 运算法则时,可统一化成以同一个底数的对数,再根据运算 如果。>0.且a去1.M0.N0.aER,那么 法则进行化简与求值 (1)log.(M·N)- (3)要注意换底公式的两个重要推论的应用 log(N.N......N)一 (N0.i-1.2...) ①log一) (2)logM- a1,b>0.且b1m,nER 解题秘籍 [拓展](1)熟练掌握对数运算法则的逆向应用,逆向应 1.对数式化简与求值的基本原则和方法 用对数运算法则,可以将儿个对数式化为一个对数式,有和 (1D)基本原则 于化简. 对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行 (2)对于上面的每一个运算法则,都要注意只有当式子 外理,选哪种策略化简,取决于间题的实际情况,一般本着 中所有的对数符号都有意义时,等式才成立 便于真数化简的原则进行 2.换底公式 (2)两种常用的方法 logb= (a>0.且10c0.且c ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数 特别地:logb·loga=(a>0.且a≠1,b>o. ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 且/去1). 2.换底公式的应用技巧 [拓展()在使用换底公式时,底数的取值不唯一,应 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同 根据实际情况选择 底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对 (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不 数式来运算,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 .7. (2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对 5.计算: 数式进行互化,统一成一种形式 (1)lgv100; (2)log(4×2): (3)(lg2)*+lg20× 3.解对数综合应用问题的三种方法 lg5. (1)统一化,所求为对数式,条件转为对数式 (2)选底数:针对具体问题,选择恰当的底数 (3)会结合:学会换底公式与对数运篡法则结合使用 课前测一测 1.判断正误(正确的画“/”,错误的画“×” (1)积、商的对数可以化为对数的和、差, ) (2)log xy-log.r· log.y.( 6.(1)已知log12a.试用表示log24 ) (3)log(-2)-3log(-2).( (2)设a=lg2,b-lg3,试用x,2表示lgy108 2.下列结论正确的是( A. log.(x-y)-logx-log.y B. logx-log.x-log.y *log.y C. log. c=logx-log.y 3) D. log rlogr ylogy 3.若2-3(ab0),则log2-( __ C.ab 。 4.若3“-2,则2log6-log8- 4.2.3 对数函数的性质与图像 知识点一点 “log”,还要符合对数函数的概念,即形如v一logx(a>0. 1.图像与性质 且a1)的形式.如:y-2logx,y-log >1 01 数,可称其为对数型函数 )+ y=logr(a>l) ix=1 2.研究y=log.f(x)的性质如定义域、值域、比较大 应 .(1.0) 0 (1.0)x 小.均需依托对数函数的相应性质 1-lox 三1 (001) 3.研究与对数函数图像有关的间题:以对数函数图侈 定义域:(0.十) 为基础,加以平移,伸缩,对称或截取一部分 值域: 4.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不 过点(1,0),即当:-1时,y-0 物三 等式间题都要注意定义域的影响 当r>1时,v0. 当>1时,y0. 课前测一测 当01时.0 当0~1时,0 是(0,+)上的 是(0.十o)上的 1.判断正误(正确的画“/”,错误的画“×” 解题秘藉 __ (2)函数v一2lor是对数函数 1.含有对数符号“og”的函数不一定是对数函数 ) 判断一个函数是否为对数函数,不仅要含有对数符号 (3)函数y=log(x十1)的定义域是(0.十o).( .9. 2.函数x二z士a与函数x一logx的图像可能是 5.求下列函数的值域: #### (1)y=log(x+4);(2)y=log(3+2x-x). #翻# C D 3.函数f(r)=x十2-lg(1-x)的定义域为 ) A.[-2.1] B.[-2.1 C(-2.1 D.[-2.+) 4.函数y-log-x是(0,十)上的减函数,则实数a的 取值范围是 .10.参考答案 第四章 指数函数,对数函数与寡函数 【课前测一测】 I.(1)X (2)X (3)(4)× 4.1 指数与指数函数 2.C 解析:函数y一a的图像是下降的,所以0 a 1;&数y- 的图像是上升的,所以占1. 4.1.1 实数指数寡及其运算 3.D 解析:不等式2 1-2,因为y-2 在R上是增函数,所以 r+1<0,即r-1. 【知识点一点】 正实数 正实数 6”-”0 4.12 解析:因为y-()在[-2,-1]上为减西数,所以m= 【课前测一测】 1.(1)× (2)(3) (4)X 2.C 4.2 对数与对数函数 -8-1-(-2)-3,故B错误;对于C.3·2-6a-- (0),故C正确;对于D.18-12-3v-2,故D错误 4.2.1 对数运算 故选C. 【知识点一点】 真数 logN-: 【课前测一测】 5.解:(1)(,_),)_ 1.(1)X (2)X (3×(4)× 2.A 解析:根据指数式与对数式的互化可知r一lu2化为指数式为 (2)${}-.6~+(是)*×(1)-(2)-(2)+ 10-2. ,一[()门 -1-2-2-+3×()“-4-8+8-4. 4.2 解析:log(log r)-0log z-3-1..r-2.即 ~②. 4.1.2 指数函数的性质与图像 5.解:(13-”-9:(2)-7(3)le 10---3(4ln -3. 【知识点一点】 6.解:(1)'r=log 16.v.()-16; (0.1) 。1y>10<y<10y<1y1 增函数 减函数 .51· 即?-2--4,即 -4. (2)”'log-r-- (3)log (log x)-o.log ,x-1.4 (4)”'lo-1+ 4.2.3 对数函数的性质与图像 1-1..r-1. 1 【知识点一点】 ·②-1 R 增函数 减函数 3+2(2+1v2+1 【课前测一测】 4.2.2 对数运算法则 1.(1)X(2)×(3)× 2.C 解析:因为a为对数品数y一logr的底数,所以a0且a-1. 【知识点一点】 间时a为直线y一z十a在y轴上的截距,所以排除A.D.当a→l时,y log N.+log N....+log N. (2)elng M 1.(1)log M+log.N # 一logr为增品数,一r+a在v轴上的藏距大于1.所以排涂B 2g (3)log M-log N 1 4.() 【课前测一测】 1.(1)(2)×(3)× 以实数a的取值范用是(,). 2.C 解析:由对数的运其法则,知A.B.D错误,C正确 5.解:(1)因为(-r+44,且y-logi为增品数, 所以y-log(r+1)log4-2. 4.2-a 解析:3-2.'-log 2.2log-log8-2(lo 即品数-log(+4)的值域为[2,+o). log3)-3log2--log2+2-2-a. (2)为i-3+2r-r--(r-1)+44,且y=log:1为减 2 数,所以log (3+2r-r)>log:4--2.即品数y-log (3+2 (2)log(4x2)-log.4+log.2 *)的值域为[-2.+). -log2×+log2-2×7+5-19. 4.3 指数函数与对数函数的关系 (3)l2)+lg20×lg5-(l2)+(1+l2)(1-lg2)-l2)+1 -(g2):-1. 【知识点一点】 6.解:(17log12-log(3×4)-1+2log2- 1.(1)y唯一的xty反函数(2)y-(x) 3.(1)互为反函数 (2)y一r 所以log2-“-1 2 1.(1)X (2)X(3)X 2.D 【课前谢一测】 lo$s 24-log(8×3)-1+3log2-1+3x“-13-1 3.A 解析:y=a的反函数为f(r)-logr,则1-log.2,所以a 2: 2 2.所以/(r)-logr. .52.