4.1 指数与指数函数-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

第四章) 指数函数、对数函数与幂函数 4.1指数与指数函数 4.1.1实数指数幂及其运算 ①知识点一点 定义或性质 意义或解题思路 定义或性质 意义或解题思路 无理数指数幂a (a>0,a是无理 意义： 无理 给定 d. 正分数 负分数 0的分数 数指 数)是一个确定的 对于任意给定的 指数幂 指数幂 指数幂 数幂 正实数.因此，指 整数m,n(m,程 数幂a”的指数取 互素)，存在唯 值范围扩充为R 提 G>0,m,n均为正整数，m,力 指 的 b,使 互素 得 ,我们把 件 般地，当a>0. 实数 称为a的”次 b b>0时，有： 化简求值解题思路： 结 a "=d 0 指数 (1)a”·a"=aw+" 幂的 实数指数幂的化简中，先把根式、 幂，记作b=a”, Va" 无意义 运算 (2)(a")"=a: 分式都化为实数指数幂的形式， 性质 (3)(cab)=ab", 再利用指数幂运算性质化简， 其中m,n∈R ⊙解題秘籍 3.下列运算正确的是( L,指数幂的一股运算步骤是：有括号先算括号里面的： A(3)=9 无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数，底 B.2035°--8=-1 数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是 C.3a3·2a-2=6a(a≠0) 带分数，要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便 D.√18-12=√6 于运用指数的运算性质。 2.指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然 4化简：(》 后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化 5.化简与计算： 为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指 数的方法，然后运用运算性质准确求解， (Domn ⊙课前测一测 28-05+(×(0) 1.判断正误（正确的画“√/”，错误的画“×”） (1)当m∈N°，（一3）*有意义.() (2)/(r-4)=4一元.(） (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.() (4)0的任何指数幂都等于0.() 2.83+(-1)°=( A.-1 C. D.-3 ·2· 4.1.2指数函数的性质与图像 ⊙知识点一点 ⊙解题秘籍 定义 图像与性质 1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是 否符合y=a(a>0,且a≠1)这一结构形式，即a'的系数 (1)当a=1时， a=1(x∈R),无 是1，指数是x且系数为1， a>1 0<a<1 研究价值.因此规 2.指数函数y=a(a>0,且a≠1)的性质分底数a> 定y=a'中 1,0<α<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单 a>0,且u≠1. (2)要注意指数函 像 0. 调的. 数的解析式：①底 3.由于指数函数y=a(a>0,且a≠1)的定义域为R, 指数是大于0且不 数 等于1的常数：网 即x∈R,所以函数y=a(a>0,且a≠I)与函数f(x) 定义城：R 数指数函数的自变 的定义域相同， 量必须位于指数 值域：(0，十0∞) 4.求函数y=4(a>0,且a≠1)的值域的方法如下： 的位置上：③a 过点 ,即x 时，y■ 的系数必须为1： 质 (1)换元，令t=f(x),并求出函数t=f(x)的定义域： 当r>0时， 当>0时，； ①指数函数等号 当<0时， 当0时， (2)求t-f(x)的值域t∈M: 右边不是多项式， (3)利用y=a的单调性求y=a'在t∈M上的值域. 如y=2+1不 是R上的 是R上的 是指数函数. 5.比较两个指数式值的大小的主要方法： (1)比较形如a"与a·的大小，可运用指数函数y=a ·3 的单调性 @课前洲一测 (2)比较形如a"与”的大小，一般找一个中间值”，若 L.判断正误（正确的画“、/”，错误的画“X”) a",且cb",则a"<b:若a“>c,且c>b",则a■>b”. (1)函数y=a十是指数函数.() 6.解简单指数不等式问题的注意点： (2)指数函数y=a中，a可以为负数.() (1)形如a>a'的不等式，可借助y=a'的单调性求 (3)指数函数的图像一定在x轴的上方，() 解.如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进 (4)函数y=2的定义域为{xx≠0}.( 行讨论. 2.指数函数y=a与y=b的图像 (2)形如a>b的不等式，注意将b化为以a为底的指 如图所示，则( 数幂的形式，再借助y=a的单阔性求解。 A.a<0,b<0 (3)形如a>b的不等式，可借助图像求解。 B.a<0,b>0 7,(1)研究y=a型单调区间时，要注意a>1还是 C,0<a<1,b>1 D.0a1.0<b<1 0a1: 3.若2+<1，则x的取值范围是( 当a>1时，y=a与f(x)的单调性相同： A.(-1,1) B.(-1,+o∞) 当0<a<1时y=a心与f(x)的单调性相反. C.(0.1)U(1,+∞) D.(一8∞，-1)】 (2)研究y=f(a)型单调区问时，要注意a‘属于 4.已知函数y 在[-2，一1门上的最小值是m,最大 「()的增区间还是减区间. 值是n,则m十n的值为 4。参考答案 第四章指数函数，对数函数与幂函数 【课前测一测】 1.(1)×(2)×(3)/(4)X 4.1指数与指数函数 2.C解析：函数y一a的图像是下降的，所以0Ca<1:岛数y一b 的图像是上升的，所以>1 4.1.1实数指数幂及其运算 3.D解析：不等式2<1=2”，图为y=2在R上是增函数，所以 r十10，脚x<-1 【知识点一点】 正实数正实数b”=4”0 4.12 解析：因为y=(）广 在[一2，一1门上为减南数，所以m= 【课前测一测】 1.(1)×(2) (3)/(4)×2.C ()=3m=() =9,所以m十粉=12 3C解桥：对于A(-司)）广-行，故A错送：对于B20g5 4.2对数与对数函数 一8=1-(-2)=3，故B错援：对于C,3a3·2at=6aH1-1= 6a(a≠0)，故C正确：对于D.18-√区=3厚-23，故D错误. 4.2.1对数运算 故选C 【知识点一点】 真数logV=士 【课前测一测】 5.解：(1)(mn云)=mn8=m 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A解析：根搭着数式与对数式的至化可知x一2化为指数式为 10=2. 2-5+(信)×()-2，-2)+ 3.3解析：由对数经等式得，2，”=3 8)×[(受)门-2-+3×（号） =4-8+8=4. 4反解析：log(ogr)=0.六lgr=30-1,r=2.即x号 =√2. 4.1.2指数函数的性质与图像 5.解：(1)3g=9:(2)e51=7(3)lg10-=-3:(4)n=3 【知识点一点】 (0,1)01y>10<y<10<y<1y>1.增函数减函数 6.解：(Dr=log16(号）=16： ·51·