精品解析：河南省郑州外国语中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年下学期八年级期中考试数学试卷考试 时间：90分钟 分值：100分 命题人：陈丹丹 一、选择题（每题3分，共10小题） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三边上高所在直线的交点 4. 如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于（　　） A B. C. 2 D. 5. 中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 牛顿曾说过，反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于”，应先假设（ ） A 三角形中三个内角都小于 B. 三角形中三个内角都大于 C. 三角形中有一个内角小于 D. 三角形中有一个内角等于 7. 的图像经过点，且与正比例函数的图像交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集为，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 9. 如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 10. 如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且，规定把“先沿轴翻折，再向下平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共5小题） 11. “x的2倍与1的差是负数”用不等式表示为__________． 12. 若实数x，y满足，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为______． 13. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为，则的周长为__________． 14. 对于任意实数、，定义一种运算：，例如，，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的所有正整数解的和是 __． 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 三、解答题（共55分） 16. 下面是小明解不等式 的过程： 解：去分母，得 x+5−2<3x+2 .…………① 移项、合并同类项，得 −2x<−1 …………② 两边都除以−2 ，得 .…………③ 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题： （1）小明的解题过程从第____步开始出现错误；（填序号） （2）错误的原因是_______________________________； （3）第③步的依据是__________________； （4）该不等式正确的解集是________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应，平移，对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心坐标． 18. 如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于， （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长. 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集________； （3）为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 20. 2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．通过劳动教育，不仅可以培养学生的生存技能，还可以锻炼他们的意志品质，引导学生树立劳动意识，培养最基本的劳动习惯，最终形成正确的新时代劳动价值观．郑州市二七区某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买15捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需190元；若购买25捆A种菜苗和15捆B种菜苗共需370元． （1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价； （2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？ 21. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程． （1）在方程：①；②；③中，不等式组的关联方程是______．（填序号） （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______．（写出一个即可） （3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 22. 阅读下列材料，解答问题： 材料 从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： （1）如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； （2）如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； （3）如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年下学期八年级期中考试数学试卷考试 时间：90分钟 分值：100分 命题人：陈丹丹 一、选择题（每题3分，共10小题） 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 不等式组解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解②得，x≥1； ∴不等式组的解集是1≤x<3． 故选B． 3. 一次校联欢会上，老师组织同学们玩抢凳子的游戏，让三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三边上高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 4. 如图，在中，，，平分，交于点，若，则的长度等于（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据角平分线的性质定理可得，再证得，即可得，在中，由勾股定理求得，即可求得． 【详解】如图所示，过作于， ，，平分， ，， ， ， 中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及勾股定理，熟练运用相关定理是解决问题的关键． 5. 中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，，是直角三角形，不符合题意； B、，，是直角三角形，不符合题意； C、，，，是直角三角形，不符合题意； D、设，，，，不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 6. 牛顿曾说过，反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于”，应先假设（ ） A. 三角形中三个内角都小于 B. 三角形中三个内角都大于 C. 三角形中有一个内角小于 D. 三角形中有一个内角等于 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法应假设：三角形中三个内角都小于， 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 7. 的图像经过点，且与正比例函数的图像交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正比例函数解析式确定点A的坐标，然后利用函数图像，写出一次函数的图像在正比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入，得，解得， 所以当时，， 即的解集为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 8. 不等式组的解集为，则的取值范围为( ) A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将不等式组中的不等式的解集分别求出，根据题意得出关于的不等式，求出该不等式的解集即可. 【详解】解不等式组可得：， ∵该不等式组的解集为：， ∴， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 9. 如图，一位同学拿了两块同样含45°的三角尺，即等腰直角MNK，等腰直角ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（ ） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形的性质证得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，从而证明△CMF≌△BME，根据四边形CEMF的面积求出答案． 【详解】解：连接MC， ∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中点， ∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°， ∴MC=MB，∠BMC=90°， ∵∠EMF=90°=∠BMC， ∴∠EMF-∠CME=∠BMC-∠CME，即∠CMF=∠BME， 在△CMF和△BME中， , ∴△CMF≌△BME， ∴， ∴四边形CEMF的面积 =， 故选：C． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明△CMF≌△BME． 10. 如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且，规定把“先沿轴翻折，再向下平移个单位”为一次变换，这样连续经过次变换后，顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得点，第1次变换后，点A的坐标为，第2次变换后，点A的坐标为，第3次变换后，点A的坐标为，第4次变换后，点A的坐标为，第5次变换后，点A的坐标为 ……，以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点A的横坐标为，纵坐标为；当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为，以此即可解答． 【详解】解：∵面积为的等腰，，， ∴点到轴的距离为，横坐标为， ∴， ∴第1次变换A的坐标为， 第2次变换A的坐标为， 第3次变换A的坐标为， 第4次变换后，点A的坐标为， 第5次变换后，点A的坐标为， 以此可发现规律：当经过n次变换后，n为奇数时，点 A的横坐标为，纵坐标为； 当经过n次变换后，n为偶数时，点A的横坐标为2，纵坐标为， 第次变换后，点A的坐标为， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共5小题） 11. “x的2倍与1的差是负数”用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“的2倍与1的差是负数”，可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 12. 若实数x，y满足，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】先根据非负性，求出的值，再根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、10， ∵， ∴不能组成三角形； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、10、10， 能组成三角形，周长． 所以，三角形的周长为24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，以及等腰三角形的两腰相等，是解题的关键． 13. 如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段于点D，E，若，的周长为，则的周长为__________． 【答案】##18厘米 【解析】 【分析】本题考查了作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等线段代换得到，然后利用的周长进行计算． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 的周长为， ， 即， ， 的周长． 故答案为：． 14. 对于任意实数、，定义一种运算：，例如，，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的所有正整数解的和是 __． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，实数的运算，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：不等式， ， ， ， ， 该不等式的所有正整数解为：1，2， 不等式的所有正整数解的和是3， 故答案为：3． 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 【答案】16或4##或16 【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性质，得B′E=BE=13， ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5， ∴B′G===12， ∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4， ∴DB′===； （2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）； （3）当CB′=CD时， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴点E、C在BB′的垂直平分线上， ∴EC垂直平分BB′， 由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为16或． 故答案为：16或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共55分） 16. 下面是小明解不等式 的过程： 解：去分母，得 x+5−2<3x+2 .…………① 移项、合并同类项，得 −2x<−1 .…………② 两边都除以−2 ，得 .…………③ 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题： （1）小明的解题过程从第____步开始出现错误；（填序号） （2）错误的原因是_______________________________； （3）第③步的依据是__________________； （4）该不等式正确的解集是________． 【答案】（1）① （2）去分母时，不等式左边第二项没有乘2 （3）不等式的基本性质3 （4） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）分析错误的原因即可； （3）利用不等式的基本性质判断即可； （4）写出正确的解答即可． 【小问1详解】 解：小明的解题过程从第①步出现错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 错误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2； 故答案为：去分母时，不等式左边第二项没有乘2； 【小问3详解】 第③步的依据是不等式的基本性质3； 故答案为：不等式的基本性质3； 【小问4详解】 解：去分母得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的，平移，对应点的坐标为，画出平移后对应的； （2）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换作图，也考查了平移变换作图，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键， （1）利用中心对称的点的坐标特征得到、、，再顺次连接即可；利用点与点的坐标特征得到平移的方式是先向右平移3个单位，再向下平移6个单位，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接即可； （2）连接、、交于一点，这点即为旋转中心，即可解答； 【小问1详解】 解：如图所示：为所求，为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴旋转中心坐标为． 18. 如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于， （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长. 【答案】（1）．理由见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到，利用，得到，于是得到结论； （2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）．理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即. （2） 连接，设， 由（1）得，，又，， ∵， ∴， ∴， 解得，即． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求，的值； （2）请直接写出不等式的解集________； （3）为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）的值是，的值是 （2） （3）的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，点的坐标与函数的特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由直线过点，且点的横坐标为1，可求得点的坐标，由直线经过、两点坐标，用待定系数法即可求得、的值即可； （2）由得，观察图象，函数的图象位于函数的图象上方时，自变量的取值即为不等式的解集； （3）由直线的解析式可求得点的坐标，从而得的长，设点的横坐标为，则可表示点、的坐标，从而表示，由列方程即可求得的值，则可得点的坐标． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴的值是，的值是． 【小问2详解】 ∵， ∴， 由图象可得，当时，直线在直线上方， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 【小问3详解】 由（1）知，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或 ∴的坐标为或． 20. 2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．通过劳动教育，不仅可以培养学生的生存技能，还可以锻炼他们的意志品质，引导学生树立劳动意识，培养最基本的劳动习惯，最终形成正确的新时代劳动价值观．郑州市二七区某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A，B两种菜苗开展种植活动．若购买15捆A种菜苗和5捆B种菜苗共需190元；若购买25捆A种菜苗和15捆B种菜苗共需370元． （1）求菜苗基地A种菜苗和B种菜苗每捆的单价； （2）学校决定用828元去菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A种菜苗？ 【答案】（1）种菜苗每捆的单价为10元，种菜苗每捆的单价为8元 （2）最多可购买60捆种菜苗 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元，根据“购买15捆种菜苗和5捆种菜苗共需190元；购买25捆种菜苗和15捆种菜苗共需370元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次可购买捆种菜苗，则可购买捆种菜苗，利用总价单价数量，结合总价不超过828元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 小问1详解】 解：设菜苗基地种菜苗每捆的单价为元，种菜苗每捆的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：菜苗基地种菜苗每捆的单价为10元，种菜苗每捆的单价为8元； 【小问2详解】 设本次可购买捆种菜苗，则可购买捆种菜苗， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为60． 答：本次购买最多可购买60捆种菜苗． 21. 如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程． （1）在方程：①；②；③中，不等式组关联方程是______．（填序号） （2）若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______．（写出一个即可） （3）若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围． 【答案】（1）③ （2）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，得出答案即可； （2）先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，即可求得“关联方程”； （3）先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键． 【小问1详解】 解：解方程①得； 解方程②得； 解方程③得， 解不等式组得：， 所以③是不等式组的关联方程， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：解不等式组得：， 不等式组的整数解是1、2， 不等式组的某个关联方程的根是整数， 不等式组的一个“关联方程”为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：解方程得：， 解方程得：， 不等式组的解集为， 方程，都是关于的不等式组的关联方程， ， 解得：， 即的取值范围是． 22. 阅读下列材料，解答问题： 材料 从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： （1）如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； （2）如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； （3）如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 【答案】（1）72，108 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和可求出，由已知条件可得出，再利用三角形内角和可求出． （2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证、均为等腰三角形，即可得证结论； （3）根据完美分割线的定义可得出，， ，根据折叠的性质可得出，进而可得出，根据证，即可得证结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵为的完美分割线，且， ∴， ∴ 故答案为：72，108； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； 【小问3详解】 ∵是的一条完美分割线，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$