精品解析：广东省深圳市龙华区高峰学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（10月份）

2023-2024学年广东省深圳市龙华区高峰学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一.选择题（每题3分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意； B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意； C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意； D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵在方程中，， ∴方程有两个相等的两个实数根． 故选：A． 3. 如图，在中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，，即可得四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 4. 下列一元二次方程中两根之和为-4的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，， ∴该方程有实根， ∴，不符合题意； B． ，， ∴该方程有实根， ∴，不符合题意； C． ，， ∴该方程有实根， ∴，符合题意； D． ，， ∴该方程无实根，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系以及使用的前提条件是一元二次方程有实根，掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 6. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ） A. 测量四边形画框的两个角是否为 B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D. 测量四边形画框的四边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定． 【详解】A.测量四边形画框的两个角是否为， ∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意； B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分， ∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴此测量方法可行，符合题意； C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等， ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意； D.测量四边形画框的四边是否相等， ∵四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理． 7. 下列说法正确的是（　　） A. a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 B. 一元二次方程的根是 C. 用配方法解方程时，原方程应变形为 D. 顺次连接矩形各边中点得到菱形 【答案】D 【解析】 【分析】选项A根据比例线段的定义判断即可；选项B利用因式分解法求解即可；选项C利用配方法判断即可；选项D根据菱形和矩形的性质判断即可． 【详解】解：A．a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则，故本选项不符合题意； B．一元二次方程的根是，，故本选项不符合题意； C．用配方法解方程时，原方程应变形为，故本选项不符合题意； D．顺次连接矩形各边中点得到菱形，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元二次方程﹣配方法，一元二次方程的解，菱形的性质，矩形的性质以及中点四边形，掌握一元二次方程的解法和菱形与矩形的性质是解答本题的关键． 8. 一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为m，根据花圃面积为即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边的长为m， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F，连接，以点F为圆心，长为半径画弧，与弧交于点G，射线交于点H，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，连接，根据证明，得出，再证明，求解即可，证明是解答本题的关键． 【详解】解：∵以点F为圆心，长为半径画弧，与交于点G，连接，则， 又以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，C为线段上一点，且，，将沿翻折，点A落在点D处，延长至点E，连接，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点E作交的延长线于Q，过点O作交的延长线于T，设．可得四边形是矩形，，由，，可得，从而易证，可得，，因此四边形是正方形，，，，，在中，利用勾股定理有，代入构造方程求解即可解答． 【详解】如图，过点E作交的延长线于Q，过点O作交的延长线于T，设． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ． ∵由折叠可得， ∴， ∵在中， ∴， 解得， 即． 故选：B 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识，利用勾股定理构造方程是解题关键． 二.填空题（每题3分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，根据矩形的性质，可得的度数，与的关系，根据等边三角形的判定，可得答案，利用矩形的性质得出的度数，与的关系是解题关键． 【详解】解：由矩形中，对角线，相交于点O，，得， ∴． 由，得是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立；利用判别式，根据不等式即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴， ∴，且， 故答案为且． 14. 20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为______ °． 【答案】36 【解析】 【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为列出方程组，解答即可． 【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得 ，解得， 故答案为：36． 【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解题意、得出方程组是解题的关键． 15. 如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为___． 【答案】5 【解析】 【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【详解】解：连接AO， ∵四边形CDGH是矩形， ∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH， ∴OC＝OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， 在△ACO和△ADO中， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠OAB＝∠CAO＝30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动， ∴当OB⊥AO时，OB的长度最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OB＝AB＝×10＝5， 即OB的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题． 三.解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等 （1）用因式分解法求解即可； （2）用直接开平方法计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴或； 解得：，； 【小问2详解】 解：∵． ∴． ∴或． 解得：，． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了了解一元二次方程—公式法：把叫做一元二次方程的求根公式；用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解一元二次方程． （1）得到，然后利用直接开平方法求解； （2）先计算判别式的值得到，然后代入一元二次方程的求根公式求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 所以； 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴方程有两个不相等的实数根 ， 所以，． 18. 定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为边画一个格点正方形． （2）在图②中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积为6． （3）在图③中画一个格点菱形，不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 【答案】（1） 画一个以为边画一个格点正方形，如图所示， （2） 画一个格点平行四边形．如图所示， （3） 画一个格点菱形，不是正方形，如图所示， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质画图即可； （2）根据平行四边形的性质画图即可； （3）根据菱形的性质画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先判断出，进而判断出，得出，此题得证； （2）根据菱形的性质得到，，，由勾股定理可以求出的长，进而可得的长，然后通过菱形的面积公式可以求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， 在中，根据勾股定理可知， ，则， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形面积， ∴． 20. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 21. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【小问1详解】 解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 22. 正方形ABCD的边长为4，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF． （1）如图1，当点E与点A重合时，______； （2）如图2，当点E在线段AD上时，． ①求点F到AD的距离； ②求BF的长； （3）若，请直接写出此时AE的长． 【答案】（1） （2）①3；② （3）AE的长为1或 【解析】 【分析】（1）作，由AAS证，得出，，求出，由勾股定理即可得出答案； （2）过F作交AD的延长线于点H，作于M，则，，①同（1）得：，得出，即可； ②求出，，由勾股定理即可得出答案； （3）分三种情况：①当点E在边AD的左侧时，过F作交AD的延长线于点H，交BC于K，同（1）得：，得出，，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点E在边AD的右侧时，过F作交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，同理得AE的长； ③当点E在AD上时，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 作． 则， ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形 ∴，， ∴∠FEH＝∠CED 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 过F作交AD的延长线于点H，作． 则， ①， 同（1）得： ， 即点F到AD的距离为3． ②， 【小问3详解】 分三种情况： ①当点E在边AD的左侧时，过F作交AD于点H，交BC于K． 同（1）得： ， ． 在中， 由勾股定理得： 解得：或（舍去） ． 点E在边AD的右侧时，过F作交AD的延长线于点H，交BC延长线于K，同（1）得： ， 在中， 由勾股定理得： 解得：或（舍去）． ③当点E在AD上时，可得： 解得或﹣1 不符合题意． 综上所述：AE的长为1或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省深圳市龙华区高峰学校九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一.选择题（每题3分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. 2x﹣3＝x B. 2x+3y＝5 C. 2x﹣x2＝1 D. 2. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 3. 如图，在中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中两根之和为-4的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ） A. 测量四边形画框的两个角是否为 B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D. 测量四边形画框的四边是否相等 7. 下列说法正确的是（　　） A. a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则 B. 一元二次方程的根是 C. 用配方法解方程时，原方程应变形为 D. 顺次连接矩形各边中点得到菱形 8. 一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F，连接，以点F为圆心，长为半径画弧，与弧交于点G，射线交于点H，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图，在中，，C为线段上一点，且，，将沿翻折，点A落在点D处，延长至点E，连接，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 5 二.填空题（每题3分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，已知，则的大小是 ________． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______． 14. 20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为______ °． 15. 如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为___． 三.解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为边画一个格点正方形． （2）在图②中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积为6． （3）在图③中画一个格点菱形，不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） 19. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. “户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 21. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 22. 正方形ABCD的边长为4，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF． （1）如图1，当点E与点A重合时，______； （2）如图2，当点E在线段AD上时，． ①求点F到AD的距离； ②求BF的长； （3）若，请直接写出此时AE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $