专题01 代数式重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 代数式重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优） 题型一 用字母表示数 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式的概念 题型四 代数式的书写方法 题型五 代数式表示的实际意义 题型六 已知字母的值求代数式的值 题型七 已知式子的值求代数式的值 题型八 程序流程图与代数式求值 题型九 单项式的判断 题型十 单项式的系数、次数 题型十一 写出满足某些特征的单项式 题型十二 单项式规律题 题型十三 多项式的判断 题型十四 多项式的项、项数或次数 题型十五 多项式系数、指数中字母求值 题型十六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型十七 整式的判断 题型十八 数字类规律探索 题型十九 图形类规律探索 知识点一、代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 知识点二、整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 知识点三、代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【经典例题一 用字母表示数】 【例1】（22-23七年级上·湖北十堰·期中）某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 2．（2024·吉林松原·二模）在一场篮球比赛中，某运动员共投中个分球，个分球，还通过罚球得到分．在这场比赛中，该运动员一共得了 分（用含、的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【经典例题二 用代数式表示数、图形的规律】 【例2】（23-24七年级上·四川成都·期中）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（    ） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 2．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个由黑点、白点交替铺成的（其中n为正整数）的正方形点阵，根据该点阵中的规律，可知其中白点的总数为 个（请用含n的代数式表示）． 3（23-24七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【经典例题三 代数式的概念】 【例3】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）下列各式：，，，，，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（20-21七年级下·广东深圳·开学考试）若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）下列各式，哪些是代数式？ （1）；                （2）；                （3）；         （4）0；                    （5）；                            （6）； （7）；            （8）；                    （9）；     （10）；    （11）；        （12）． 【经典例题四 代数式的书写方法】 【例4】（23-24七年级上·河南郑州·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的是（　　） A． B． C． D．元 1．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各代数式中符合书写规范的是（      ） A． B． C． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； (5)；    (6)米． 3．（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【经典例题五 代数式表示的实际意义】 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是 ． 3．（2022七年级上·江苏·专题练习）说出下列代数式所表示的实际意义． (1)若一个长方形的长为pcm，宽为qcm，则2（p+q）表示什么？ (2)若n为整数，则（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示什么？ (3)代数式5a+6b表示什么？ 【经典例题六 已知字母的值求代数式的值】 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（　　） A．2022 B． C．2021 D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）规定一种新运算“”，当，时， “” ；当，时，“” ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列代数式的值． (1)当时，时，求代数式的值； (2)当，，时，求代数式的值． 【经典例题七 已知式子的值求代数式的值】 【例7】（23-24八年级上·四川眉山·期末）实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知则的值是（   ） A．2 B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川内江·期末）已知，求的值为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【经典例题八 程序流程图与代数式求值】 【例8】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）对于任意正整数，如果是奇数，则变成，如果为偶数，则变成．将运算结果继续按上述规则操作……，当正整数为5时，则操作三次以后的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）2023年杭州亚运会应用了大量航天技术，实现不同场馆的信息集成以保证零失误．可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序，如图，若开始的值为96，第一次得到的结果是48，第2次得到的结果是24，……则第2023次得到的数是（    ） A．3 B．6 C．8 D．4 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）[新视角 规律探究题]按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第次计算后输出的结果为 ． 3．（22-23七年级下·湖南郴州·开学考试）如图是一计算程序，回答如下问题：    (1)当输入某数后，第1次得到的结果为5，则输入的数值是多少？ (2)小华发现若输入的的值为16时，第1次得到的结果为8，第2次得到的结果为4， ①请你帮小华完成下列表格： 输入16 第1次结果 第2次结果 第3次结果 第4次结果 第5次结果 运算结果 8 4 ②你能求出第2021次得到的结果是多少吗？请说明理由. 【经典例题九 单项式的判断】 【例9】（23-24七年级上·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（    ） A．温度由上升后是多少 B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱 C．某种苹果的售价是每千克x元（），用50元买这种苹果，应找回多少钱 D．一辆汽车从A地出发，后到达距A地的B地，求汽车的平均速度 1．（22-23七年级上·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子，，，，1，，中，单项式有 个． 3、（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【经典例题十 单项式的系数、次数】 【例10】（22-23七年级上·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）多项式与单项式的次数相同，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）单项式的系数 ，次数是 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【经典例题十一 写出满足某些特征的单项式】 【例11】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母．现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x、y；②系数是；③次数是5，则写出的单项式为 （写一个即可）． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【经典例题十二 单项式规律题】 【例12】（2024七年级上·全国·专题练习）按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【经典例题十三 多项式的判断】 【例13】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B．都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 1．（2023七年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）下列式子中： 2023 (1)哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．    (2)多项式中哪个次数最高？并写出该多项式的项． 【经典例题十四 多项式的项、项数或次数】 【例14】（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）下列说法正确的是（    ） A．的常数项是1 B．0不是单项式 C．的系数是，次数是3 D．是三次多项式 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 【经典例题十五 多项式系数、指数中字母求值】 【例15】（23-24七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）多项式是关于的五次多项式．则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【经典例题十六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例16】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）把多项式按照字母降幂排列： ． 3．（23-24七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【经典例题十七 整式的判断】 【例17】（23-24六年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（20-21七年级上·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有 个． 3．（20-21七年级上·江西景德镇·期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【经典例题十八 数字类规律探索】 【例18】（2024九年级下·云南·专题练习）观察下列式子：，，，，…，则第个式子为（   ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【经典例题十九 图形类规律探索】 【例19】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 1．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（2024·山西长治·模拟预测）年月日，“第届太原双塔牡丹文化节”精彩集锦登上美国纽约时代广场大屏，国色牡丹“走”向世界，锦绣太原“火”遍全球．在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为 株． 3．（23-24七年级上·天津宁河·期中）如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 1．（2024·云南昆明·二模）用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）加油站的汽油单价会出现波动，一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则（   ） A．按方式①加油更划算 B．按方式②加油更划算 C．两种加油方式一样划算 D．无法比较哪种加油方式更划算 3．（22-23六年级上·全国·单元测试）如果与互为相反数，那么代数式的值是（　　） A． B． C． D．2008 4．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第③个图案有10个正六边形，第④个图案有13个正六边形，……，按此规律，第⑨个图案中含有的正六边形个数为（   ） A．25 B．28 C．31 D．34 5．（2024九年级下·重庆·专题练习）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　） A．50 B．53 C．64 D．76 6．（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）如图，涂色部分是正方形，图中最大的长方形的周长是( )厘米． 7．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值为 ． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）甲、乙、丙三位同学玩报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3；再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分，当报数结束时甲同学得( )分． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）将整数1，2，3，，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，．则第20次转弯的是 ． 10．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）现有一列数，，，……，，其中，，且（n为正整数），则 ． 11．（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）找规律 (1)， ，（  ），．（　）． (2)1.1，2.2，4.3，8.4，16.5，32.6，（　）． (3)有一列数3，2，4，1，3，2，4，1……第181个数是（　），这181个数相加的和是（　）． (4)有 60个图形按◯◯◯□◯◯◯□……排列，倒数第9个图形是（　）． 12．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 13．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）用小棒按如下方式摆成图形． (1)一个六边形需要6根小棒摆成，摆2个六边形需要（    ）根小棒；摆3个六边形需要（    ）根小棒． (2)摆个六边形需要（    ）根小棒． (3)用2021根小棒可以摆成（    ）个六边形． 14．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． (1)在图1中，2022排在第______行第______列； (2)排在第行第列的数为______．（其中，，且、都是正整数） (3)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (4)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为3918？如果能，请求出所表示的数；如果不能，请说明理由． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．七年级的同学们学了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动．他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动． (1)观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格： 第1个 第2个 第3个 第4个 … 拼成三角形个数 1 2                                     … 拼成的正方形个数 3 5                                     … 所用火柴棒总根数 12 20                                     … (2)探究：按如图所示的方法拼成的第n个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？（用含n的代数式表示，并与同学们进行交流） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 代数式重难点题型专训（19大题型+15道拓展培优） 题型一 用字母表示数 题型二 用代数式表示数、图形的规律 题型三 代数式的概念 题型四 代数式的书写方法 题型五 代数式表示的实际意义 题型六 已知字母的值求代数式的值 题型七 已知式子的值求代数式的值 题型八 程序流程图与代数式求值 题型九 单项式的判断 题型十 单项式的系数、次数 题型十一 写出满足某些特征的单项式 题型十二 单项式规律题 题型十三 多项式的判断 题型十四 多项式的项、项数或次数 题型十五 多项式系数、指数中字母求值 题型十六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 题型十七 整式的判断 题型十八 数字类规律探索 题型十九 图形类规律探索 知识点一、代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 知识点二、整式 一、单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 二、多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 三、 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 知识点三、代数式的值 代数式的值：将具体数字代替代数式中对应的字母,计算所得的结果就是这个代数式的值 【经典例题一 用字母表示数】 【例1】（22-23七年级上·湖北十堰·期中）某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 【答案】B 【分析】根据题目要求列出代数式化简计算即可． 【详解】依题意，该商品经过一次的升价，再经过两次的降价，目前的价格为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查用字母表示数，较为简单；另外本题为选择题，在化简计算时可采用尾数判别法（即的结果应有三位小数且尾数是）可快速选出答案． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 【详解】解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 2．（2024·吉林松原·二模）在一场篮球比赛中，某运动员共投中个分球，个分球，还通过罚球得到分．在这场比赛中，该运动员一共得了 分（用含、的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示式子，熟练掌握用代数式表示式子是解题的关键；． 由题意得：他所得的总分分球的个数分球的个数罚球得分，据此列式解答即可． 【详解】解：解：（分）． 答：他一共得了分． 故答案为． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： 分别计算剪拼后所得的长方形的C周长和面积S（用含a的方程表示）； 【答案】； 【分析】本题考查列代数式，根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，结合周长与面积公式求解即可求得答案； 【详解】解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 即：， 面积为：， 即：． 【经典例题二 用代数式表示数、图形的规律】 【例2】（23-24七年级上·四川成都·期中）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化类，根据图形的变化，总结归纳出一般规律，是解答本题的关键． 根据图形的变化，得到第①个图形中五角星的个数为，第②个图形中五角星的个数为，第③个图形中五角星的个数为，由此得到第⑥个图形中五角星的个数为，得到答案． 【详解】解：根据图形得： 第①个图形中五角星的个数为； 第②个图形中五角星的个数为； 第③个图形中五角星的个数为； 第⑥个图形中五角星的个数为， 故选：． 1．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2023次出现时，恰好数到的数为（    ） A．6062 B．6066 C．6068 D．6072 【答案】C 【分析】本题考查数的排列规律，能根据数的方式发现字母和所数的数之间的关系，分别求出正整数1，2，3，所对应的字母，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意，列出相应的表格，如下图， 字母所对应数是2，6，8，12，14，18， 通过观察奇数次出现的规律，可知， 字母第1次出现，数到的数是； 字母第3次出现，数到的数是； 字母第5次出现，数到的数是； 所以字母第2023次出现，数到的数是， 故选：C． 2．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）如图是一个由黑点、白点交替铺成的（其中n为正整数）的正方形点阵，根据该点阵中的规律，可知其中白点的总数为 个（请用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，根据题意得列共有，则这个点阵中前行的白点和等于，再将 第二列与第列相加，以此类推计算即可． 【详解】解：根据题意知， ． 故答案为． 3（23-24七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 【经典例题三 代数式的概念】 【例3】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）下列各式：，，，，，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，根据“代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式”进行判断，代数式中不含“、、、、、、”等符号． 【详解】解：，，，，，其中代数式有，，共3个， 故选：C． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：①0是代数式； ②是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是代数式； ⑥是代数式； ⑦不是代数式； ⑧不是代数式． 代数式有5个， 故选：B． 2．（20-21七年级下·广东深圳·开学考试）若代数式中的任意两个字母互换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如就是完全对称式，下列三个代数式：①；②；③；④，其中是完全对称式的有 ． 【答案】①②③ 【分析】对所给的代数式，任意交换两个字母，然后进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：①代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ②代数式交换字母顺序后得，因为，所以代数式是完全对称式； ③中，任意交换，得到的代数式都是，故是完全对称式； ④，交换得到，与原代数式不一样，所以不是完全对称式． 所以是完全对称式的是：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查代数式的基本概念，根据所给的完全对称式的定义进行判断分析是解题的关键． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）下列各式，哪些是代数式？ （1）；                （2）；                （3）；         （4）0；                    （5）；                            （6）； （7）；            （8）；                    （9）；     （10）；    （11）；        （12）． 【答案】（1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11） 【分析】根据代数式的概念解答即可． 【详解】解：（1）；（4）0；（5）；（7）；（9）；（10）；（11）；是代数式． （2）；是等式，不是代数式； （3）；（6）；（8）；是不等式，不是代数式； （12），带单位，不是代数式； （1）、（4）、（5）、（7）、（9）、（10）、（11）是代数式． 【点睛】此题考查代数式问题，解题的关键是掌握代数式的定义解答．用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【经典例题四 代数式的书写方法】 【例4】（23-24七年级上·河南郑州·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的是（　　） A． B． C． D．元 【答案】C 【分析】本题考查代数式，根据代数式的书写要求进行判断即可． 【详解】解：A．系数为1时，省略，故A错误； B．系数为带分数时应写为假分数，故B错误； C．除法写为分数形式，故C正确； D．式子后面有单位时式子应加上括号，故D错误． 故选：C． 1．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各代数式中符合书写规范的是（      ） A． B． C． 【答案】B 【分析】由代数式的书写的规范要求：除号使用分数线，系数写在最前面，系数1可以省略，根据规范要求逐一判断即可． 【详解】解：A．应写成，故此选项不符合题意； B．此选项正确； C．应写成，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式的书写规范，解题的关键是掌握代数式的书写规范要求． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； (5)；    (6)米． 【答案】 米 【分析】根据代数式的书写格式解答即可 【详解】解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【点睛】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号． 33．（23-24七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 【经典例题五 代数式表示的实际意义】 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）请仔细分析下列赋予实际意义的例子中错误的是（　　） A．若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额 B．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 D．某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元 【答案】C 【分析】本题考查了代数式．根据代数式表示实际意义的方法分别判断每个选项即可得． 【详解】解：A、若葡萄的价格是4元，则表示买葡萄的金额，原说法正确，故此选项不符合题意； B、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，原说法正确，故此选项不符合题意； C、若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，原说法错误，故此选项符合题意； D、某款凉鞋进价为a元，销售这款凉鞋盈利，则销售两双的销售额为元，原说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24七年级上·河北邢台·期末）商店销售某种商品，第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第二天售出的该商品数量 B．第二天比第一天多售出该商品数量 C．两天一共售出的该商品数量 D．第二天比第一天少售出的该商品数量 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据代数式的方法，熟练掌握代数式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵第一天售出m件，第二天的销售量比第一天的两倍少3件， ∴第二天售出的该商品数量是件， ∴两天一共售出的该商品数量为件， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某网店进行促销，将原价元的商品以元出售，该网店对该商品促销的方法是 ． 【答案】打八折后再让利20元 【分析】此题考查了列代数式表示实际问题的能力，关键是能准确理解实际问题间的数量关系，并能列式表示．根据实际售价表达式进行求解． 【详解】解：当商品的原价元时，元出售表示是打八折后再让利20元， 该网店对该商品促销的方法是打八折后再让利20元， 故答案为：打八折后再让利20元． 3．（2022七年级上·江苏·专题练习）说出下列代数式所表示的实际意义． (1)若一个长方形的长为pcm，宽为qcm，则2（p+q）表示什么？ (2)若n为整数，则（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示什么？ (3)代数式5a+6b表示什么？ 【答案】(1)2（p+q）表示长方形的周长 (2)（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示三个连续的奇数的积 (3)a的5倍与b的6倍的和 【分析】（1）（2）可以根据字母的实际意义推出代数式的实际意义； （3）用文字的方式描述代数式的意义即可． 【详解】（1）解：∵p表示长方形的长，q表示宽， ∴2（p+q）表示长方形的周长． （2）∵n为整数，（2n﹣1），（2n+1），（2n+3）三个连续的奇数， ∴（2n﹣1）（2n+1）（2n+3）表示三个连续的奇数的积． （3）代数式5a+6b表示a的5倍与b的6倍的和． 【点睛】本题考查了代数式的实际意义，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答． 【经典例题六 已知字母的值求代数式的值】 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值和平方的非负数的性质，根据非负数的性质得，，可得，的值，再代入计算即可．掌握绝对值和平方的非负数的性质及有理数的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：B． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（　　） A．2022 B． C．2021 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．先把代入中，根据代数式的值为2024求出的值，再把代入中，利用整体代入的思想得结论． 【详解】解：时，代数式的值为2024， 即． 当时，代数式 ． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）规定一种新运算“”，当，时， “” ；当，时，“” ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算．根据新定义运算的运算法则代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴当，时， ， 当，时， ， 故答案为：，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列代数式的值． (1)当时，时，求代数式的值； (2)当，，时，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）将各字母的值代入即可求出答案． （2）将各字母的值代入即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，时，； （2）解：当，，时，． 【经典例题七 已知式子的值求代数式的值】 【例7】（23-24八年级上·四川眉山·期末）实数x满足，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选D． 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）已知则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由得．将变为，然后将整体代入即可得解． 本题考查了已知代数式的值，求式子的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川内江·期末）已知，求的值为 ． 【答案】0 【分析】本题根据已知式子的值求代数式的值，将整理变形为与相关的式子，将代入整理后的式子，即可解题． 【详解】解： ， ， 原式， 故答案为：0． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求代数式的值，解的关键是将x化为用y表示的式子． （1）根据，得，把x换成，化简约分即可求出答案． （2）把代入进行化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解： ． 【经典例题八 程序流程图与代数式求值】 【例8】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）对于任意正整数，如果是奇数，则变成，如果为偶数，则变成．将运算结果继续按上述规则操作……，当正整数为5时，则操作三次以后的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了含程序流程的代数式求值，熟练掌握代数式求值是解答本题的关键．由于5是奇数，故第一次操作代入，得到偶数16，第二次操作代入，得到偶数8，第三次操作代入，得到4． 【详解】当时， 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，． 故选：B． 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）2023年杭州亚运会应用了大量航天技术，实现不同场馆的信息集成以保证零失误．可想而知，其中的程序设计多么复杂．现在请同学们体会一个小小的程序，如图，若开始的值为96，第一次得到的结果是48，第2次得到的结果是24，……则第2023次得到的数是（    ） A．3 B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究．先求出前几个数字，得出从第4次开始每6次一个循环，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：第一次得到的结果是48， 第2次得到的结果是24， 第3次得到的结果是， 第4次得到的结果是， 第5次得到的结果是， 第6次得到的结果是， 第7次得到的结果是， 第8次得到的结果是， 第9次得到的结果是， 第10次得到的结果是， 第11次得到的结果是， 从第4次开始每6次一个循环， ∵， ∴第2023次得到的数是4； 故选D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）[新视角 规律探究题]按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x的值是，则第次计算后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律、代数式求值等知识点，仔细计算、观察出即从第2次开始，以、、为一个循环组循环出现是解题的关键． 先通过计算、观察出从第2次开始，以、、为一个循环组出现，再结合，再利用规律即可解答． 【详解】解：第1次输出的结果为：； 第2次输出的结果为：； 第3次输出的结果为：； 第4次输出的结果为：； 第5次输出的结果为：； 第6次输出的结果为： …， 则从第1次输出开始，以、、为一个循环组循环出现， ∵， ∴第2024次输出的结果为． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·湖南郴州·开学考试）如图是一计算程序，回答如下问题：    (1)当输入某数后，第1次得到的结果为5，则输入的数值是多少？ (2)小华发现若输入的的值为16时，第1次得到的结果为8，第2次得到的结果为4， ①请你帮小华完成下列表格： 输入16 第1次结果 第2次结果 第3次结果 第4次结果 第5次结果 运算结果 8 4 ②你能求出第2021次得到的结果是多少吗？请说明理由. 【答案】(1)10 (2)①2，1，4；②4 【分析】（1）讨论：当输入值是奇数时则；当输入值是偶数时则，然后解出满足条件的的值； （2）①依次进行计算得到当开始输入的值时为偶数，第一次输出的结果为8；当再次输入的值时为偶数，第二次输出的结果为4；同样得到第三次输出的结果为2；第四次输出的结果为1；第五次输出的结果为4； ②根据①的计算发现，这样得到除第一次的结果外，以后每3次进行循环，由于，所以第2021次得到的结果是1． 【详解】（1）解：因为第一次得到的结果为，而输入值可能是奇数，也可能是偶数， 当输入值是奇数时，则，解得，不符合前提，舍去； 当输入值是偶数时，则，解得，符合为偶数； 故输入的数值是； （2）①当开始输入的值时为偶数，所以第一次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第二次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第三次输出； 当再次输入的值时为偶数，所以第四次输出； 当再次输入的值时为奇数，所以第五次输出， 故答案为：2，1，4； ②由①的计算可知，输出结果，从第二次开始，每3次一个循环， 则第六次的结果与第三次的结果是一样的，第七次与第四次相同，以此类推. 因为， 所以第2021次得到的结果是4． 【点睛】本题考查了代数式求值：先把代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体思想进行计算，也考查了阅读理解能力以及规律型问题的解决方法． 【经典例题九 单项式的判断】 【例9】（23-24七年级上·辽宁大连·期中）根据下列情境列出的代数式是单项式的是（    ） A．温度由上升后是多少 B．若每个篮球和足球的单价分别为a元和b元，买3个篮球、2个足球需要多少钱 C．某种苹果的售价是每千克x元（），用50元买这种苹果，应找回多少钱 D．一辆汽车从A地出发，后到达距A地的B地，求汽车的平均速度 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，单项式的判断．根据具体情境，正确的列出代数式，根据单项式的定义：“数字与字母的积的形式”，进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，列出代数式为：，是多项式，不符合题意； B、由题意，列出代数式为：元，是多项式，不符合题意； C、由题意，列出代数式为：元，是多项式，不符合题意； D、由题意，列出代数式为：，是单项式，符合题意； 故选D． 1．（22-23七年级上·福建宁德·期末）在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 【点睛】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子，，，，1，，中，单项式有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了单项式，熟练掌握单项式与多项式的区别是解题的关键． 根据单项式的概念：表示数与字母的乘积的式子叫单项式，单独的数与字母也叫单项式，判断即可． 【详解】解：下列式子，，，，1，，中， 单项式有：，，，1，共有4个， 故答案为：4． 3、（22-23七年级·上海·假期作业）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0， 【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式． 【详解】解：分母中含有字母，不属于整式， 单项式：，，0； 多项式：，； 整式：，，，0，． 【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键． 【经典例题十 单项式的系数、次数】 【例10】（22-23七年级上·浙江温州·期末）已知单项式的系数为，次数为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式系数、次数，解题的关键是掌握：数字与字母的积是单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和是单项式的次数．据此求出、的值即可． 【详解】解：∵单项式的系数为，次数为， ∴，， ∴， ∴的值是． 故选：B． 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）多项式与单项式的次数相同，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，单项式的次数，根据题意，列出等式计算即可． 【详解】∵单项式的次数是5，多项式与单项式的次数相同， ∴的次数是5， 故， 解得， 故选C． 2．（23-24七年级上·甘肃定西·期末）单项式的系数 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，系数是单项式前面的数字因数，次数是所有字母的指数的和． 根据系数和次数的定义求解即可． 【详解】解：单项式的系数，次数是4． 故答案为：，4． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 【经典例题十一 写出满足某些特征的单项式】 【例11】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）某密码的规则为，即在密码本中，把这个字母替换成该字母前第2个字母．现密码本为26个英文字母按顺序循环书写，．现电文如下，请破译出来．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，理解密码的规则是解题关键．根据题意依次写出每个字母的替换字母即可． 【详解】解：由题意得：破译为， 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）请你写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母x、y；②系数是；③次数是5，则写出的单项式为 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式，掌握单项式的系数、次数的概念是解题的关键． 根据单项式系数、次数的定义写出符合题意的单项式即可． 【详解】解：根据题意可得：符合题意的单项式为：（答案不唯一）． 故答案为： (答案不唯一) ． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）写出满足条件的单项式． (1)写出所有系数是2，且只含字母和的五次单项式； (2)系数是，含，两个字母，且的指数是2，单项式的次数是6； (3)系数是，次数是3，含，两个字母，且的指数是2． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和． （1）直接利用单项式的定义分析得出答案； （2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案； （3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 【经典例题十二 单项式规律题】 【例12】（2024七年级上·全国·专题练习）按一定规律排列的单项式：第8个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3开始算起的奇数，即3，5，7，9，…… 单项式中a的指数是从0开始算起的偶数，即0，2，4，6，…… b的指数不变， ∴第个单项式是： ∴第8个单项式是： 故选：A． 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律计算，理解单项式的概念，掌握整式的运算是解题的关键． 根据题意，分别找出单项式的系数，次数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意，系数的特点满足：，指数依次增加1，即为，这里的为的整数， ∴单项式的规律为：， ∴第个单项式为：， 故选：A ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式：，，，，，…，根据这个规律，第10个式子应为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字规律问题，系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，所以按这个规律即可写出第10个式子，需要注意观察数字的变化规律． 【详解】解：系数按照1，，9，，25，进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化， 第10个式子应为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 【经典例题十三 多项式的判断】 【例13】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B．都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 【答案】C 【分析】本题考查了单项式以及多项式的判断、单项式以及多项式的项和次数，根据概念逐项判断即可得到结果，熟练运用概念是解题的关键． 【详解】解：A、中不是整式，故不是多项式，故该选项错误； B、都不是整式，故不是单项式，故该选项错误； C、，故是一次多项式，项数为2，故该选项正确； D、单项式的次数是4，故该选项错误； 故选：C． 1．（2023七年级上·全国·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·期中）在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）下列式子中： 2023 (1)哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．    (2)多项式中哪个次数最高？并写出该多项式的项． 【答案】(1)单项式： 2023 ；多项式： (2)；项：和 【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数，多项式的次数概念进行解答即可． 【详解】（1）解：单项式：， 2023， ，，； 多项式：，   ，  ； （2）多项式的次数最高，该式的项为和． 【点睛】本题考查了多项式、单项式有关概念，熟知相关概念是解本题的关键． 【经典例题十四 多项式的项、项数或次数】 【例14】（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．单项式系数是1，次数是7 B．多项式是四次三项式 C．单项式的系数是次数是5 D．是三次二项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数，根据相关概念对选项做出判断，即可解题． 【详解】解：A、单项式系数是1，次数是8，所以A错误，不符合题意． B、多项式是二次三项式，所以B错误，不符合题意． C、单项式的系数是次数是5，所以C错误，不符合题意． D、是三次二项式，所以D正确，符合题意． 故选：D． 1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）下列说法正确的是（    ） A．的常数项是1 B．0不是单项式 C．的系数是，次数是3 D．是三次多项式 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式与多项式的基本概念，掌握单项式的次数、系数和多项式的相关定义是解题的关键． 根据单项式的次数、系数和多项式的次数、项以及命名逐项判断即可解答． 【详解】解：A．的常数项是，故A项错误； B．0是单项式，故B项错误； C．的系数是，次数是3，故C项正确； D．是四次二项式，故D项错误． 故选：C． 2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）若多项式是关于的二次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，根据二次三项式的定义可得，且，解之即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴，且， 解得， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）写出一个只含字母a，b的多项式，需满足以下条件： （1）五次四项式；（2）每一项的系数为1或；（3）不含常数项；（4）每一项必须同时含有字母a，b不含有其它字母． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式的定义，熟练根据多项式定义得出是解题关键．根据题意，所写多项式符合4个条件即可． 【详解】解：根据题意得出符合题意的多项式为． 【经典例题十五 多项式系数、指数中字母求值】 【例15】（23-24七年级上·陕西西安·期末）若多项式是关于x，y的三次三项式，则有理数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与项数确定方法是解题关键．直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的三次三项式， ∴， ∴． 故选：A． 1．（23-24七年级上·广东东莞·期中）多项式是关于的五次多项式．则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，熟知多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数是解题的关键，根据多项式次数的定义得到，由此可得答案． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的五次多项式， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知多项式是二次三项式，n为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值； 根据多项式的概念求出，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵多项式是二次三项式， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广东韶关·期中）已知是关于x、y的三次二项式，a、b互为相反数，，c、d互为倒数． (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2)13 【分析】本题考查了多项式的相关概念，相反数的定义，倒数的定义，代数式求值． （1）是关于x、y的三次二项式，可得出m的值； （2）根据相反数的定义可知，倒数的定义可知，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴，， ∴； （2）解：∵a、b互为相反数，，c、d互为倒数， ∴，， ∴． 【经典例题十六 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例16】（23-24七年级上·河南新乡·期末）下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）把多项式按的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，先分清多项式的各项，然后按多项式中x的降幂排列即可，解题的关键是掌握多项式的降幂排列的方法，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式的各项为：，，，， 按的降幂排列为：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期中）把多项式按照字母降幂排列： ． 【答案】 【分析】此题考查多项式的定义，多项式按某个字母降幂排列，则该字母的指数按从大到小的顺序排列． 【详解】解：按照字母降幂排列为：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【答案】(1)五，五；四，五 (2) 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． （1）根据多项式的意义即可解答； （2）按字母x的指数从小到大重新排序即可． 【详解】（1）该多项式是关于x，y的五次五项式；是关于字母x的四次五项式， 故答案为：五，五，四，五； （2）把该多项式按字母x做升幂排列为：． 【经典例题十七 整式的判断】 【例17】（23-24六年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（    ） ①是负数、分数、整式；②a比大；③的系数是，次数是2；④是三次三项式；⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式次数和系数的定义，多项式的项和次数的定义，有理数的概念等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①是负数、分数、整式，原说法正确； ②a不一定比大，例如当时，，原说法错误； ③的系数是，次数是2，原说法错误； ④是三次三项式，原说法正确； ⑤所有有理数都可以用数轴上的点来表示，原说法正确； ∴说法正确的有3个， 故选：C． 1．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 2．（20-21七年级上·重庆万州·期末）在式子，0，，，中，整式有 个． 【答案】4 【分析】直接利用整式的定义分析得出答案． 【详解】解：在式子，0，，，中，整式有：，0，，，共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的定义是解题的关键． 3．（20-21七年级上·江西景德镇·期中）指出下列各式中，哪些是单项式、哪些是多项式、哪些是整式？填在相应的横线上： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ 单项式：_________________________； 多项式：_________________________； 整式：___________________________． 【答案】②④⑦⑨；①③⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【分析】，的分母中含有字母，所以它们既不是单项式，也不是多项式，再根据单项式、多项式和整式的概念来分类． 【详解】解：单项式有：，，，； 多项式有：，，，； 整式有：，，，，，，，． 故答案为：单项式：②④⑦⑨；多项式：①③⑤⑧；整式：①②③④⑤⑦⑧⑨； 【点睛】本题考查了整式的定义，单项式与多项式的识别，掌握单项式、多项式、整式的定义是解题的关键． 【经典例题十八 数字类规律探索】 【例18】（2024九年级下·云南·专题练习）观察下列式子：，，，，…，则第个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了探索规律问题，由特殊到一般是本题的关键． 根据前四个式子的规律从而总结出一般规律，即，即可得出第个式子，选出正确答案． 【详解】解：根据题意，第一个式子为：； 第二个式子为：； 第三个式子为：； 第四个式子为：； 可得当第个式子为：， ∴第个式子为：， 故选C． 1．（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究，解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题． 令，可得，两式相减，即可求解． 【详解】解：令 ． 故选：C 2．（24-25八年级上·河北邯郸·开学考试）观察下面的等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… （1）写出第5个等式： ； （2）写出第n个等式： （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可． 此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：（1） ∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为： （2）通过观察前面式子可得： 第个等式：． 故答案为： 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）仔细观察下列规律：；；…（现在你一定得到某个规律了吧，接着完成以下的题目吧；结果可以保留指数形式） (1) ； (2) ； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【答案】(1) (2) (3)6，过程见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合运算，正确得到规律是解题的关键. （1）根据所给式子对照可得答案； （2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果 ； （3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算． 【详解】（1）解： （2） （3） ， ， ， 【经典例题十九 图形类规律探索】 【例19】（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（    ） A．303 B．299 C． D．301 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律． 根据所给图形总结规律即可． 【详解】解：∵第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， ∴第个图案中基础图形的个数为：， ∴第100个图案中的个数为， 故选：D． 1．（21-22九年级上·山东青岛·单元测试）如图，两个半径都是的圆外切于点，一只蚂蚁由点开始依，，，，，，，，的顺序沿着圆周上不断爬行，直到行走后才停止下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：∵两个圆的半径都为， ∴两个圆的周长都是， ∴同一圆上相邻两个点之间的距离为， 又∵每爬行8个为一循环， ∴爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为E点， 故选：C． 2．（2024·山西长治·模拟预测）年月日，“第届太原双塔牡丹文化节”精彩集锦登上美国纽约时代广场大屏，国色牡丹“走”向世界，锦绣太原“火”遍全球．在公园内，牡丹按正方形形状种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（）和芍药的数量规律，那么当时，芍药的数量为 株． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是图形规律探究，解题关键是根据规律列代数式． 观察图形，四角各一株，每边按，，，增加，总增加每边增加株数，总株数为，然后代入求值即可． 【详解】解：由图可得，当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， 当时，芍药的数量为株， …… 第个图芍药的数量为株， 当时，芍药的数量株 ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·天津宁河·期中）如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个．正方形组成． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 (1)按图示规律填表： (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2023个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)10，13，16 (2) (3)6070 【分析】本题考查了图形类规律探索题，根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，用此规律求解在第n个图形中的火柴棒的个数 （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形火柴棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴棒数为． （3）将代入求解即可． 【详解】（1）第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下； 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2023个图形需要的火柴棒根数为6070根． 1．（2024·云南昆明·二模）用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，主要要明确题中给出的文字语言包含的运算关系，根据题意的先求倍数，然后求差，最后求平方列出代数式，即可解题． 【详解】解：a的3倍是， a的3倍与b的差是， a的3倍与b的差的平方是， 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）加油站的汽油单价会出现波动，一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则（   ） A．按方式①加油更划算 B．按方式②加油更划算 C．两种加油方式一样划算 D．无法比较哪种加油方式更划算 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，准确理解题意，并根据题意设出未知数列出代数式是解题的关键． 【详解】解：设两次汽油单价分别为，， 记①中每次所加的油量固定为，②中每次加油的付款额固定为， 则①中平均单价为， ②中平均单价为， ∵当时，，且，均为正数， ， 即， 即方式②平均油价更低． 故选：B． 3．（22-23六年级上·全国·单元测试）如果与互为相反数，那么代数式的值是（　　） A． B． C． D．2008 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质、相反数、代数式求值等知识，根据相反数的定义以及非负数的性质确定的值是解题关键．根据非负数的性质可得，，结合“0的相反数为0”可得，，解得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， 又∵与互为相反数， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 4．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第③个图案有10个正六边形，第④个图案有13个正六边形，……，按此规律，第⑨个图案中含有的正六边形个数为（   ） A．25 B．28 C．31 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图形的变化规律，归纳出正六边形的个数变化规律是解题的关键． 先根据已有图形归纳出第n个图案中含有的正六边形个数为，然后运用规律求解即可． 【详解】解：观察图案可知: 第①个图案有4个正六边形，即； 第②个图案有7个正六边形，即； 第③个图案有10个正六边形，即； 第④个图案有13个正六边形，即； ……， 按此规律，第n个图案中含有的正六边形个数为：， 第⑨个图案中含有的正六边形个数为：（个）． 故选：B． 5．（2024九年级下·重庆·专题练习）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　） A．50 B．53 C．64 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律． 根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， 图n中点的个数为， 所以图10中点的个数为， 故选：D． 6．（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）如图，涂色部分是正方形，图中最大的长方形的周长是( )厘米． 【答案】24 【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意，大长方形的长为，宽为x，计算周长即可． 本题考查了列代数式、整式加减的应用，熟练掌握长方形的周长的表示法是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为x厘米，根据题意，大长方形的长为，宽为x， 故大长方形的周长为（厘米）， 故答案为：24． 7．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，把代数式转化为，再把代入计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·江苏扬州·开学考试）甲、乙、丙三位同学玩报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3；再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分，当报数结束时甲同学得( )分． 【答案】337 【分析】本题考查了数字的变化类规律，由题意得出甲报出的第个数为，结合报出的数为2020时游戏结束得出，求出即甲报出了个数，再结合甲报出的数总是一奇一偶，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，甲报出的数中第1个数为1，第2个数为，第3个数为，第4个数为，…，第个数为， 由题意得：， 解得， 则甲报出了个数， 观察甲报出的数总是一奇一偶， ∵， ∴当报数结束时甲同学得分， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）将整数1，2，3，，按如图的方式排列．这样第1次转弯的是2，第2次转弯的是3，第3次转弯的是5，第4次转弯的是7，．则第20次转弯的是 ． 【答案】111 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是观察数据，找出规律． 偶次转弯处的数字分别为：把这些数看成一个数列，则可找出第次转弯的数字是，即可求解． 【详解】解：∵转弯处的数字为， 其中偶次转弯处的数字分别为：把这些数看成一个数列，第20次转弯的数字是这个数列的第10项， ， ∴第次转弯的数字是， ∴第20次转弯的数字是， 故答案为：111． 10．（22-23七年级上·江苏宿迁·期末）现有一列数，，，……，，其中，，且（n为正整数），则 ． 【答案】671 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 由题意可求得，，，则可得该数列从第1个数起每3个数循环出现，从而可求解． 【详解】解：，，且， ，解得：， 同理求得：，， 该数列从第1个数起，以，，5每3个数循环出现， ， ，， ． 故答案为：671． 11．（23-24七年级上·江苏南通·开学考试）找规律 (1)， ，（  ），．（　）． (2)1.1，2.2，4.3，8.4，16.5，32.6，（　）． (3)有一列数3，2，4，1，3，2，4，1……第181个数是（　），这181个数相加的和是（　）． (4)有 60个图形按◯◯◯□◯◯◯□……排列，倒数第9个图形是（　）． 【答案】(1)； (2)64.7 (3)3，453 (4)◯ 【分析】本题考查了数字规律探索，图形规律探索，根据题意找到每题的规律是解题关键． （1）根据每个数字为前一个数字乘以即可得出结果； （2）分别找到两个加数的规律进行计算即可； （3）根据四个数字为一组进行求解即可； （4）根据四个图形为一组进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：；； （2），，，，， ， 故答案为：； （3）， ， 故答案为：3，453； （4）（个）， ， 故答案为：◯． 12．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，池塘边有一块长为21米，宽为18米的长方形土地，现在将其余两面留出宽都是x米的小路，余下的长方形部分做菜地． (1)长方形菜地的面积为_____________平方米（用含x的代数式表示，不需要化简）； (2)当时，长方形菜地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)菜地的面积为平方米 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握长方形的面积公式． （1）由长方形的面积公式即可列出代数式； （2）把代入代数式即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意得菜地的面积为：平方米， 故答案为：平方米． （2）解：当米时， 平方米 答：菜地的面积为平方米． 13．（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）用小棒按如下方式摆成图形． (1)一个六边形需要6根小棒摆成，摆2个六边形需要（    ）根小棒；摆3个六边形需要（    ）根小棒． (2)摆个六边形需要（    ）根小棒． (3)用2021根小棒可以摆成（    ）个六边形． 【答案】(1)11，16 (2) (3)404 【分析】此题考查了图形类规律题，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据图形直接得出结果； （2）根据（1）中图形，找出相应规律即可； （3）利用（2）中规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 摆1个六边形用了6根小棒， 摆2个六边形需要（根）， 摆3个需要（根）， 故答案为：11；16； （2）摆n个六边形，需要小棒根， 故答案为：； （3）当时， ， ， 故答案为：404． 14．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）把正整数1，2，3，4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…．用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A、B、C、D．设． (1)在图1中，2022排在第______行第______列； (2)排在第行第列的数为______．（其中，，且、都是正整数） (3)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (4)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为3918？如果能，请求出所表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)253；6 (2) (3)是定值，定值为0 (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键在于找到被阴影覆盖的这些数． （1）每一行有8个数，则，则可判断2022的位置； （2）通过分析，总结出规律即可； （3）分别用含的式子表示出，，，，再由所给的等式可得的值是定值； （4）变化之后，奇数为负，偶数为正，分两种情况进行讨论：①为奇数；②为偶数，从而可求得相应的值，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ， 排在第253行第6列； （2）解：第一行第n列的数为n， 第二行第n列的数为， 第三行第n列的数为， … 当，，且、都是正整数时， 第行第列的数为， 故答案为：． （3）解：的值是定值0，理由如下： 由题意得：，，，， ， 的值是定值；定值为0． （4）解：不能，理由如下： 变化之后，奇数为负，偶数为正， 则①当为奇数时， 得：，，， 若， 则， 解得：（不符合题意）， ②当为偶数时， ，，， 若， 则， 解得：（符合题意）， ， 所表示的数为966． 因为， 此时在第121行，第6列． 此时图2的方框只能框到3列数，、都框不到数了， 所以的值不能为3918． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏．这种游戏形式万千，可简可繁．七年级的同学们学了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后，数学课外活动小组的同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动．他们按照下图所示的方法拼图，探究不同图形中共拼出的三角形个数，正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系，请你参与进去进行数学探究活动． (1)观察：观察下图中正方形的个数及所用火柴棒根数，并填写下表中的空格： 第1个 第2个 第3个 第4个 … 拼成三角形个数 1 2                                     … 拼成的正方形个数 3 5                                     … 所用火柴棒总根数 12 20                                     … (2)探究：按如图所示的方法拼成的第n个图中，三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？（用含n的代数式表示，并与同学们进行交流） 【答案】(1)3，7，28；4，9，36 (2)第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是（2n+1）个，所用火柴棒总根数是（8n+4）根 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律． （1）观察图形的变化即可完成填空； （2）结合（1）即可得第n个图形的三角形和正方形的个数以及火柴棒个数． 【详解】（1）解：第3个图形中，拼成三角形的个数是3个，拼成正方形的个数是7个，所用火柴棒总根数是28根； 第4个图形中，拼成三角形的个数是4个，拼成正方形的个数是9个，所用火柴棒总根数是36根； 故答案为：3，7，28；4，9，36． （2）解：由（1）可得， 第n个图形中，拼成三角形的个数是n个，拼成正方形的个数是个，所用火柴棒总根数是根． 学科网（北京）股份有限公司 $$