精品解析：2023年河南省信阳市息县中招适应性测试（四）数学试题

2023年中招九年级适应性测试（四） 数学试卷 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 近几年，随着我国科技的快速发展，芯片技术已全面融入我们的生活中（0.000000028m）的芯片应用最为广泛．数据“0.000000028”用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图为一个正方体的平面展开图，将它折叠成正方体后，与“结”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 数 B. 形 C. 真 D. 好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：结与好相对，数与合相对，形与真相对， 故选：D． 4. 如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则可以判断A；根据完全平方公式可以判断B；根据幂的乘方可得判断C；根据二次根式的乘法法则可以判断D． 【详解】解：A.，故原选项计算错误，不符合题意； B.，故原选项计算错误，不符合题意； C.，故原选项计算错误，不符合题意； D.，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方、二次根式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方、二次根式的乘法的运算法则是解题的关键． 6. 顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和三角形中位线定理．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分． 【详解】添加． 如图，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的位线， ，， 当时，成立，则四边形是菱形． 故选：C． 7. 2023年世界泳联跳水世界杯首战于2023年4月14日在西安举行．西安市某校想了解全校2000名学生对跳水运动的喜爱情况，随机抽取了150名学生进行统计分析，下列描述错误的是（ ） A. 2000名学生是总体 B. 抽取的150名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是150 D. 本次调查是全面调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，根据总体、个体、样本、样本容量，全面调查与抽样调查，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、2000名学生对跳水运动的喜爱情况是总体，故A不符合题意； B、抽取的150名学生对跳水运动的喜爱情况是总体的一个样本，故B不符合题意； C、样本容量是150，故C不符合题意； D、本次调查是抽样调查，故D符合题意； 故选：D． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而即可得出方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：D． 9. 如图，E，F为矩形内两点，，垂直，垂足分别为E、F，若，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点M，于O，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答． 【详解】解：连接，交于点M，于O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得的长是解题的关键，注意勾股定理的应用． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点每秒运动一周，即得第秒时与第秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明可得，可得，，再根据点的坐标即可求解，由题意判断出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，点沿逆时针方向运动，每秒走个单位长度，每秒运动一周， ， ∴第秒时与第秒时的位置相同， 过点作轴，垂足为点，则， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象与轴没有交点的函数表达式：____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数的图象，反比例函数解析式是解题的关键． 根据反比例函数的图象与轴没有交点，作答即可． 【详解】解：由反比例函数的图象可知，反比例函数的图象与轴没有交点， ∴反比例函数的图象与坐标轴没有交点， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先将负整数幂和算术平方根化简，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率． 【详解】∵有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm，将圆盘分为三部分， ∴阴影部分面积为：π（42-22）=12π，大圆的面积为：36π， ∴那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：， 故答案为 【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：本题将概率的求解设置于几何图形中，考查学生对简单几何概念的掌握情况，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 14. 如图，正方形的边，将正方形以点为旋转中心逆时针旋转得到正方形（旋转角小于），与相交于点．若点恰好落在边的垂直平分线上，则图中的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质可得：，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，最后根据正方形的性质可得，从而可得的长，再利用弧长公式进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由旋转得：， ∵点恰好落在边的垂直平分线上， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， 的长度是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15. 如图，已知等边和正方形，点在边上，且，是边上的动点（点不与端点重合），则当与等边任意一边垂直或平行时，的长为______． 【答案】1或2或4 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，分不同情况画出图形，分别求解． 【详解】如图1，当时，则，， ∴； 如图2，当时，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 如图3，当时，则，， ∴． 故答案为：1或2或4． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的混合计算： （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】解：（1） 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集是． （2） ． 17. 为确保学生暑期安全，今年某校开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全教育活动．现在对七、八年级全体学生进行防溺水安全知识测试，并从两个年级分别随机抽取10名学生的成绩进行分析． 七年级10名学生的成绩：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的成绩：94 90 94 87 92 94 81 100 89 82 整理数据： 成绩 七年级 2 2 1 5 八年级 2 2 5 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 七年级 92 99 八年级 90．3 91 （1）表格中的______，______． （2）七年级某同学得分94分，请你估计这位同学的成绩位于七年级的什么水平，为什么？ （3）请对该校七年级学生防溺水安全知识掌握情况作出合理的评价． 【答案】（1）93，94 （2）这位同学的成绩位于七年级的中上水平．因为94分位于七年级学生成绩的中位数93分以上 （3）答案不唯一，合理即可 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可解答； （2）结合七年级学生成绩的中位数，即可解答； （3）根据七年级10名学生成绩的平均数，中位数和众数，进行分析评价即可． 【小问1详解】 解：将七年级10名学生成绩按大小排序为 80，82，86，89，90，96，99， 99，99，100， ∴， ∵八年级10名学生成绩中，94分出现了3次，出现次数最多， ∴， 故答案为：93，94． 【小问2详解】 解：∵七年级学生成绩的中位数为93， ∴这位同学的成绩位于七年级的中上水平； 【小问3详解】 解：七年级10名学生成绩的平均数、中位数、众数都比较高，所有七年级学生防溺水安全知识掌握得较好． 18. 如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边． （1）求反比例函数的解析式． （2）尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹）． （3）在（2）所作图形中，连接，．若的平分线过原点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法，尺规作图，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，正确掌握基本作图的要领是解题的关键． （1）把点代入反比例函数中，求出k，即可得结果； （2）按照角平分线的画法画出射线即可； （3）由平分，过原点O得到，又是等边三角形得到，然后证明即可得到结论． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 证明：平分，过原点O， ， 又是等边三角形， ， ， ， ． 19. 某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元． （1）求，两种空调的单价； （2）若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）种空调和种空调的进货单价分别是3000元和2100元 （2）最省钱的购买方案是购买种空调34台，种空调16台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用； （1）设种空调的单价是元，种空调的单价是元，根据“购买1台种空调和3台种空调共需9300元，购买3台种空调和2台种空调共需13200元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元，根据总价单价数量列出关于的函数解析式，根据种空调数量不小于种空调数量的2倍得出关于的一元一次不等式，解之求出的范围，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 设种空调的单价是元，种空调的单价是元， 依题意得：， 解得：． 答：种空调的单价是3000元，种空调的单价是2100元． 【小问2详解】 设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元． 依题意得：， 化简整理得：， 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，此时最小值为（元． 答：最省钱的购买方案是：购进型空调34台，购进型空调16台． 20. 2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】“天梯”的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是可得到结论． 【详解】解：由题意得，， 在中，， ， 解得， 在中，， 解得， ， 答：“天梯”的长度约为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，，动点在抛物线上，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点到轴的距离小于3，求点的纵坐标的取值范围； （3）若抛物线位于点右侧（包含点）部分的函数值最小为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为 【解析】 【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可求得抛物线的解析式为； （2）设点的纵坐标为，由，求得抛物线的顶点为，对称轴为直线，因为在抛物线上，点到轴的距离小于3，所以，而，所以当时，；若，则；若，则，可知，即可求得点的纵坐标的取范围是； （3）分两种情况，一是当时，，则；二是当时，，则，解方程求出符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，设点的纵坐标为， ， 抛物线的顶点为，对称轴为直线， 点动点在抛物线上，其横坐标为， ， 点到轴的距离小于3， ， ， 当时，； 若，则； 若，则， ， 点的纵坐标的取范围是； 【小问3详解】 解：如图2，当时，， ， 解得（不符合题意，舍去）； 如图3，当时，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、抛物线的顶点坐标和对称轴的求法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 22. 如图①，一种篮球包装盒为长方体形状，底面为正方形，顶部中心有一圆孔．一个篮球放入后，球与包装盒的四周、底面及圆孔恰好无缝隙贴合，其剖面图如图②所示，与矩形相切于点，与边相交于点，，为直径． （1）求证：． （2）若，，请计算的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）连接．通过证明，得出，即可求证． （2）连接，，．根据圆内接四边形的性质得出，，则．进而得出．即可得出是等边三角形，即可解答． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 与矩形相切于点， ． ． 四边形是矩形， ． ． ． ， ． ． 【小问2详解】 解：如图2，连接，，． 四边形是圆内接四边形， ． ， ． ． 是直径， ． ． ． ， 是等边三角形． ， ． ． 23. （1）如图①，矩形的对角线相交于点，点称为矩形的几何中心．直线经过点，与矩形的边，分别交于点，，请判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）如图②，将矩形以直线为对称轴翻折，使点的对应点与点重合，请判断直线是否经过矩形的几何中心，并说明理由． （3）如图③，在（2）的条件下，，，在线段上有一点，若点到矩形一边的距离与的长都等于，请直接写出的所有可能的值． 【答案】 （1）．理由如下： 四边形是矩形， ，． ． 在和中， ， ． ． （2）经过矩形的几何中心．理由如下： 如图，连接， 点的对应点与点重合， 垂直平分，即过的中点． 四边形是矩形， 与互相平分． 矩形的几何中心为对角线的交点， 经过矩形的几何中心． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用中点的性质和矩形的性质解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分四种情形同理解答：①当点到矩形的边的距离与的长都等于时，连接，则经过的中点，利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质求得线段，再利用相似三角形的判定与性质得出关于的比例式解答即可，同理可求：②当点到矩形的边的距离与的长都等于时，；③当点到矩形的边的距离与的长都等于时，，，连接，则经过的中点，过点作于点，过点作于点，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理求得线段，再利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质得到关于的比例式，解方程即可得出结论，同理可求：④当点到矩形的边的距离与的长都等于时，． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）①当点到矩形的边的距离与的长都等于时，连接，则经过的中点，如图， ， ． 由题意：， ． ， ， ， ， ． ． 由题意：，， ． 过点作于点，则为的中位线， ． ，， ， ， ， ， 解得：． 同理可求：②当点到矩形的边的距离与的长都等于时，； ③当点到矩形的边的距离与的长都等于时，，， 连接，则经过的中点，过点作于点，过点作于点，如图， 由①知：，，为的中位线， ． 将矩形以直线为对称轴翻折，使点的对应点与点重合， ，，，， ， ． 在和△中， ， ， ． 设，则， 在中， ， ， 解得：． ． ，，， 四边形为矩形， ， ，． ，， ， ， ， ， 解得：． 同理可求：④当点到矩形的边的距离与的长都等于时，． 综上，若点到矩形一边的距离与的长都等于，的所有可能的值为和． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年中招九年级适应性测试（四） 数学试卷 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 近几年，随着我国科技的快速发展，芯片技术已全面融入我们的生活中（0.000000028m）的芯片应用最为广泛．数据“0.000000028”用科学记数法表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图为一个正方体的平面展开图，将它折叠成正方体后，与“结”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 数 B. 形 C. 真 D. 好 4. 如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 顺次连接四边形各边的中点得到四边形，要使四边形是菱形，可以添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 2023年世界泳联跳水世界杯首战于2023年4月14日在西安举行．西安市某校想了解全校2000名学生对跳水运动的喜爱情况，随机抽取了150名学生进行统计分析，下列描述错误的是（ ） A. 2000名学生是总体 B. 抽取的150名学生是总体的一个样本 C. 样本容量是150 D. 本次调查是全面调查 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 9. 如图，E，F为矩形内两点，，垂直，垂足分别为E、F，若，，，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个图象与轴没有交点的函数表达式：____________________． 12. 计算：______． 13. 如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm， 6cm将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是_______________． 14. 如图，正方形的边，将正方形以点为旋转中心逆时针旋转得到正方形（旋转角小于），与相交于点．若点恰好落在边的垂直平分线上，则图中的长度为______． 15. 如图，已知等边和正方形，点在边上，且，是边上的动点（点不与端点重合），则当与等边任意一边垂直或平行时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式组： （2）化简：． 17. 为确保学生暑期安全，今年某校开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全教育活动．现在对七、八年级全体学生进行防溺水安全知识测试，并从两个年级分别随机抽取10名学生的成绩进行分析． 七年级10名学生的成绩：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的成绩：94 90 94 87 92 94 81 100 89 82 整理数据： 成绩 七年级 2 2 1 5 八年级 2 2 5 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 七年级 92 99 八年级 90．3 91 （1）表格中的______，______． （2）七年级某同学得分94分，请你估计这位同学的成绩位于七年级的什么水平，为什么？ （3）请对该校七年级学生防溺水安全知识掌握情况作出合理的评价． 18. 如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边． （1）求反比例函数的解析式． （2）尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹）． （3）在（2）所作图形中，连接，．若的平分线过原点，求证：． 19. 某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元． （1）求，两种空调的单价； （2）若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 20. 2023年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，，动点在抛物线上，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）若点到轴的距离小于3，求点的纵坐标的取值范围； （3）若抛物线位于点右侧（包含点）部分的函数值最小为，求的值． 22. 如图①，一种篮球包装盒为长方体形状，底面为正方形，顶部中心有一圆孔．一个篮球放入后，球与包装盒的四周、底面及圆孔恰好无缝隙贴合，其剖面图如图②所示，与矩形相切于点，与边相交于点，，为直径． （1）求证：． （2）若，，请计算的长度． 23. （1）如图①，矩形的对角线相交于点，点称为矩形的几何中心．直线经过点，与矩形的边，分别交于点，，请判断线段与的数量关系，并说明理由． （2）如图②，将矩形以直线为对称轴翻折，使点的对应点与点重合，请判断直线是否经过矩形的几何中心，并说明理由． （3）如图③，在（2）的条件下，，，在线段上有一点，若点到矩形一边的距离与的长都等于，请直接写出的所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $