精品解析：2023年吉林省东北师范大学附属中学净月校区中考模拟数学试题

九年级综合模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列两个数中，互为相反数的是（ ） A. ＋2和－2 B. 2和 C. 2和 D. ＋2和 2. 截至2022年8月，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过剂次．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的最小整数解是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 5. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点相距30米的点处，测得楼顶点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 已知如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图： （1）以C为圆心，CA为半径画弧； （2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D； （3）连接BD，交AC延长线于点E 明明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（　　） A. ∠ABC＝∠CBE B. BE＝DE C. AC⊥BD D. S△ABC＝AC•BE 8. 如图，矩形的对角线、相交于点E，轴于点B，所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数的图象上，已知直线的解析式为，矩形的面积为120，则k的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 10. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______． 11. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为________． 12. 如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为______度 13. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是______． 14. 如图，一座抛物线型拱桥．当桥下水面宽度是4时，拱高为2．此时若平顶船的顶部与桥拱之间的距离不少于0.3，则能顺利从桥下通过．当一艘宽2的平顶船能从拱桥下通过，则它高出水面的高度不得超过______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值． ．其中m＝2，n＝1． 16. 学校为了促进垃圾的分类处理，将日常生活中的垃圾分为可回收、厨余和其它三类，分别设置了相应的垃圾箱，“可回收物”箱、“厨余垃圾”箱和“其他垃圾”箱． （1）若圆圆把一袋厨余垃圾随机投放，恰好能放对的概率是多少? （2）方方把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时有些粗心，每袋垃圾都放错了位置（每个箱中只投放一袋），请你用画树状图的方法求方方把每袋垃圾都放错的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求： （1）在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； （2）在图②中画一个直角三角形，且面积为3； （3）在图③中画一个钝角三角形，且面积为2，． 18. 列方程解应用题： “共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？ 19. 如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． （1）证明四边形是平行四边形． （2）若矩形是边长为1的正方形，且，则______． 20. 为加强安全教育，某校开展了“预防水，珍爱生命”安全知识竞赛，现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析，部分信息如下： a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示； b．参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79． c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.9 m 80 d．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有______人； （2）表中m的值为______． （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数． 21. 某酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费标准如下表．为吸引客源，在十一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十一期间到该酒店住宿，他们选择租住普通间，租住了一些三人间和双人间客房，并且每个客房都正好住满． 普通间（元/人/天） 豪华间（元/人/天） 贵宾间（元/人/天） 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 （1）若一天花去住宿费1510元，求他们分别租三人间、双人间普通客房的间数． （2）设三人间共住了x人，一天一共花去住宿费用y元，写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围． （3）若你作为旅游团的团长，你认为（1）问的住宿方式费用是不是最少的？若不是最少的，请你求出他们住宿的最少费用． 22. 如图①，在中，，点D在边上，于点E，且．将绕点B按顺时针方向旋转． 【结论发现】 当时，______，直线，相交所成的较小角的正弦值为______． 【结论探究】 当时，上述的两个结论是否成立？若成立，请仅就图②的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【结论应用】 当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 23. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A运动，以为底边向下作等腰，设点P运动的时间为t秒． （1）求边的长． （2）用含t的代数式表示的长． （3）当点P在上运动时，将分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，求这个轴对称图形的面积． （4）直接写出当点R到的两个顶点距离相等时t的值． 24. 在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线(b，c为常数)的对称轴为直线，且经过点，其横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求的面积； （3）已知点，点是抛物线上的点，若对于，，都有，直接写出m的取值范围； （4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线与图象G只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级综合模拟试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列两个数中，互为相反数的是（ ） A. ＋2和－2 B. 2和 C. 2和 D. ＋2和 【答案】A 【解析】 【分析】仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义逐一判断即可. 【详解】解：＋2和－2互为相反数，故A符合题意； 2和，2和，都不是互为相反数的两个数，故B，C不符合题意； ＋2和不互为相反数，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是相反数的含义，求解一个数的绝对值，掌握“相反数的定义”是解本题的关键. 2. 截至2022年8月，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过剂次．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体左视图的概念求解即可． 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为： ． 故选：B． 【点睛】此题考查了几何体的左视图，解题的关键是熟练掌握几何体左视图的概念．左视图，一般指由物体左边向右做正投影得到的视图． 4. 不等式组的最小整数解是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后求出最小整数解即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：， 则该不等式组的最小整数解为：． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5. 如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点相距30米的点处，测得楼顶点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】利用在Rt△ABO中，tan∠BAO＝即可解决． 【详解】：解：如图，在Rt△ABO中， ∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m， ∴tan65°＝， ∴BO＝30•tan65°米． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知正切函数为对边比邻边． 6. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 7. 已知如图，在△ABC中，∠ACB是钝角，依下列步骤进行尺规作图： （1）以C为圆心，CA为半径画弧； （2）以B为圆心，BA为半径画弧，交前弧于点D； （3）连接BD，交AC延长线于点E 明明同学依据作图，写出了下面四个结论，其中正确的是（　　） A. ∠ABC＝∠CBE B. BE＝DE C. AC⊥BD D. S△ABC＝AC•BE 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图得到AC=CD，AB=BD，证明△ABC≌△DBC，从而得到结论． 【详解】解：由作图可知：AC=CD，AB=BD， ∵BC=BC， ∴△ABC≌△DBC（SSS）， ∴∠ABC=∠CBE， 无法证明其余三个选项的结论， 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，矩形的对角线、相交于点E，轴于点B，所在直线交x轴于点F，点A、E同时在反比例函数的图象上，已知直线的解析式为，矩形的面积为120，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，设与轴交于点，根据题意， ，，求得，进而可得，即，设则，根据面积为120求得的值，点A、E同时在反比例函数的图象上，表示出，则，即 ，即可求得的值 【详解】解：如图，过点作于点，设与轴交于点， ， ， ， 直线的解析式为， 令，，令， ， 设则 在中， 四边形是矩形 ， 矩形的面积为120， 即 解得 根据题意，点A、E同时在反比例函数的图象上， 设，则，即 即可 故选C 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，相似三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，熟练运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底． 10. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有实数根，则，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，． 11. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可． 【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形ABGH，连结AC，AG，则∠CAG的大小为______度 【答案】75 【解析】 【分析】先根据正方形的性质可得∠CAB=45°，再根据正六边形的性质可得AB=BC，∠ABC=120°，从而可得∠BAC=∠BCA=30°，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形ABGH是正方形， ∴∠CAB=45°， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB=BC，， ∴， ∴ ∠CAG=∠CAB+∠BAC=45°+30°=75°. 故答案为：75． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正多边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握正多边形的性质． 13. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积， 则阴影部分的面积是：， 故答案为：． 14. 如图，一座抛物线型拱桥．当桥下水面宽度是4时，拱高为2．此时若平顶船的顶部与桥拱之间的距离不少于0.3，则能顺利从桥下通过．当一艘宽2的平顶船能从拱桥下通过，则它高出水面的高度不得超过______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为轴，建立坐标系，用待定系数法求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：如图，以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为轴，建立坐标系，则抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， 木船宽， 把代入得：， 船顶点与桥拱之间的间隔应不少于， 木船的高不得超过． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值． ．其中m＝2，n＝1． 【答案】2mn ，4 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，然后去括号合并同类项，最后把m与n的值代入求值即可． 【详解】解： = = 2mn 当m=2，n= 1时，原式= 22 1=4． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，熟练运用整式的相关运算法则是解答本题的关键． 16. 学校为了促进垃圾的分类处理，将日常生活中的垃圾分为可回收、厨余和其它三类，分别设置了相应的垃圾箱，“可回收物”箱、“厨余垃圾”箱和“其他垃圾”箱． （1）若圆圆把一袋厨余垃圾随机投放，恰好能放对的概率是多少? （2）方方把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时有些粗心，每袋垃圾都放错了位置（每个箱中只投放一袋），请你用画树状图的方法求方方把每袋垃圾都放错的概率． 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出小亮投放正确的结果数，然后根据概率公式求解； 【详解】解：（1）圆圆把一袋厨余垃圾随机投放，共有三种等可能结果，恰好能放对只有一种，恰好能放对的概率是 （2）将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C，画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中方方把每袋垃圾都放错的有2种： 所以方方把每袋垃圾都放错的概率＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求： （1）在图①中画一个锐角三角形，且面积为4； （2）在图②中画一个直角三角形，且面积为3； （3）在图③中画一个钝角三角形，且面积为2，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用设计作图，三角形的高，平行四边形的判定及性质，正切值等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用数形结合的射线画出图形即可； （2）取格点，连接，取格点，作射线交与点，连接，即为所求； （3）取格点，，作直线， 取格点，连接，交网格线于，连接，延长交于点，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，即为所求； 【小问2详解】 解：取格点，连接，取格点，作射线交与点，连接， 可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图②中，即为所求； 【小问3详解】 解：取格点，，作直线，同（2）可知四边形为平行四边形， 则， 取格点，连接，交网格线于， 则是中点，，， ∵， ∴， 连接，延长交于点，连接，即为所求． 18. 列方程解应用题： “共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？ 【答案】杂交水稻的亩产量是1080千克． 【解析】 【分析】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，根据题意列出相应分式方程求解即可得． 【详解】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克， 根据题意，得 ， 解这个方程，得． 经检验：是方程的解，符合题意． 千克． 答：杂交水稻的亩产量是1080千克． 【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键． 19. 如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． （1）证明四边形是平行四边形． （2）若矩形是边长为1的正方形，且，则______． 【答案】（1） 是矩形，，， ，，， ， ， 同理， 四边形为平行四边形； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查对特殊四边形的性质，全等三角形的性质和判定，正切． （1）证即可； （2）设：，则，，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 设：，则， ， ， 在中，， 解得：， 即：的长为2． 20. 为加强安全教育，某校开展了“预防水，珍爱生命”安全知识竞赛，现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析，部分信息如下： a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示； b．参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79． c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 76.9 m 80 d．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有______人； （2）表中m的值为______． （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数． 【答案】（1）30；（2）77.5；（3）810 【解析】 【分析】（1）参赛学生成绩频数分布直方图，可得75分以上的有 人，即可求解； （2）根据题意可得位于第25位，第26位的分别为77、78，即可求解； （3）用1500乘以成绩超过平均数76.9分的人数所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有 人； （2）∵位于第25位，第26位的分别为77、78， ∴中位数为 ， 即表中m的值为77.5； （3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数：（人）， 答：估计成绩超过平均数76.9分的人数是810人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，能从频数分布直方图获取准确信息是解题的关键． 21. 某酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费标准如下表．为吸引客源，在十一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十一期间到该酒店住宿，他们选择租住普通间，租住了一些三人间和双人间客房，并且每个客房都正好住满． 普通间（元/人/天） 豪华间（元/人/天） 贵宾间（元/人/天） 三人间 50 100 500 双人间 70 150 800 单人间 100 200 1500 （1）若一天花去住宿费1510元，求他们分别租三人间、双人间普通客房的间数． （2）设三人间共住了x人，一天一共花去住宿费用y元，写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围． （3）若你作为旅游团的团长，你认为（1）问的住宿方式费用是不是最少的？若不是最少的，请你求出他们住宿的最少费用． 【答案】（1）三人间8间，双人间13间 （2）自变量的取值范围为，且为6的倍数 （3）不是费用最少的．他们住宿的最少费用元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用； （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质，可以得到最少费用． 【小问1详解】 解：设租住三人家间，双人间间， 由题意可得：， 解得， 答：租住三人家8间，双人间13间； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 即与的函数关系式是，且为6的倍数）； 【小问3详解】 解：我认为（1）问的住宿方式费用不是最少的， 理由：， 随的增大而减小， ，且为6的倍数， 当时，取得最小值，此时， 即他们住宿的最少费用为1270元． 22. 如图①，在中，，点D在边上，于点E，且．将绕点B按顺时针方向旋转． 【结论发现】 当时，______，直线，相交所成的较小角的正弦值为______． 【结论探究】 当时，上述的两个结论是否成立？若成立，请仅就图②的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【结论应用】 当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】结论发现：；；结论探究：上述两个结论仍然成立．理由见解析；结论应用：，或 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，三角函数； 结论发现：用勾股定理求出的长，判定，然后分别求出和的长，即可求出比值，当时，直线，相交所成的较小角的正弦值就是的正弦值，根据锐角三角函数的意义即可求出结果； 结论探究：先根据（结论发现）求出的结果判定，然后根据相似三角形的性质即可作出证明； 结论应用：分别找出，，三点在同一条直线上时的所有情况，然后分别求出的长． 【详解】结论发现：在中，，，， ， ，， ， ， ， 又，，， ，， ，， ， 当时，直线，相交所成的较小角就是， 在中，，， 故答案为：；； 结论探究：上述的两个结论成立． 证明：，，，， ， 又， ， ， 如图，分别延长、交于点，与交于点， ， ， ，， ， ． 即上述的两个结论成立． 结论应用：如图，当，，三点在同一条直线上时分两种情况： 如图①，当点在上时，在中，，，， ， 又， ； 如图②，当点在上时，； 即的长为或． 23. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点A运动，以为底边向下作等腰，设点P运动的时间为t秒． （1）求边的长． （2）用含t的代数式表示的长． （3）当点P在上运动时，将分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，求这个轴对称图形的面积． （4）直接写出当点R到的两个顶点距离相等时t的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3）或或 （4）， 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质， （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当时，利用路程速度时间可表示出，则；当时，利用路程速度时间即可表示出的长； （3）分析题意可知为等腰三角形，分三种情况：，，．分别利用锐角三角函数和等腰三角形的性质可求解； （4）分三种情况：当在的垂直平分线上时，当在的垂直平分线上时，当在的垂直平分线上时，分别画出图形利用等腰三角形和锐角三角函数可求解． 【小问1详解】 解：，，， ； 【小问2详解】 解：当时，， ； 当时，， ； 【小问3详解】 解：如图1，当时，， 解得， ， 过点作交于点， ， ， ； 如图2，当时，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ； 如图3，当时，过点作交于， ， ， ， ， ， 解得， ，， ； 综上所述：这个轴对称图形的面积为或或； 【小问4详解】 解：当在的垂直平分线上时，如图4， 过点作交于，过点作交于，过点作交于，与交于，与交于， 垂直平分， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得； 当在的垂直平分线上时，如图5， 过点作交延长线于，过点作交于，的延长线于的垂直平分线交于， ， ， ， 设，则， 同理可证， ，， ，，， ， ， ， ， 解得， ， 在中，， 解得， ； 当在的垂直平分线上时，， 如图5，过点作交于，过点作交于，于，则四边形为矩形，， 垂直平分， ， ∴， ， ， ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴，， ∵ ∴，解得，不合题意； 综上所述：的值为3或． 24. 在平面直角坐标系中，坐标原点为点O，抛物线(b，c为常数)的对称轴为直线，且经过点，其横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）当点P与点A关于抛物线的对称轴对称时，求的面积； （3）已知点，点是抛物线上的点，若对于，，都有，直接写出m的取值范围； （4）设抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，当直线与图象G只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）15； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式可求出b，再将点代入抛物线解析式，解之可得c的值，由此可得出结论； （2）由抛物线的对称性可得出点P的坐标，及轴，再根据三角形的面积公式可得出结论； （3）由题意可知，这两个范围段内不存在关于对称轴对称的点，依据图形可深刻理解； （4）需要分类讨论，分点P在点A的左上方、在点A与顶点之间、在顶点与点A关于对称轴的对称点之间、点A关于对称轴的对称点的右上方四种情况，结合横纵坐标的情况，列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 ∵抛物线(b，c为常数)的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点P与点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴轴，， ∴； 【小问3详解】 设点B的横坐标为，点C的横坐标为， 如图，点B关于对称轴直线的对称点为，则其横坐标为， 此时， 解得； 如图，点C关于对称轴直线的对称点为，则其横坐标为， 此时， 解得； 综上，符合题意的m的取值范围为或； 【小问4详解】 由题意可得点P坐标为：， 当点P在点A的左上方时， ∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线与图象G只有一个公共点， ∴，解得； 当点P在点A与顶点之间（含顶点）时， ∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣2m与图象G只有一个公共点，， ∴，解得； 当点P在顶点与点A关于对称轴的对称点之间时， ∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝1﹣4m与图象G只有一个公共点， ∴或， 解得或； 当点P在点A关于对称轴的对称点右上方（含对称点）时， ∵抛物线上点P与点A之间的部分（含端点）为图象G，直线y＝3﹣4m与图象G只有一个公共点， ∴或， 解得无解或； 综上，m的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与三角形面积问题、抛物线与不等式问题，解题的关键是利用数形结合思想对问题进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $