精品解析：2023年河南省信阳市息县中招适应性测试（二）数学试题

2023年中招九年级适应性测试（二） 数学试卷 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列实数中最小的是（ ） A. B. C. D. 1 2. 中国总人口在年达到了亿，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数据15，25，30，40，40，60的平均数和众数是（ ） A. 30，40 B. 35，40 C. 40，40 D. 25，30 4. 下列几何体的三视图中一定没有三角形的是（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆柱 5. 不等式组的整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列函数的图象与坐标轴没有交点的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等腰的底角为，以点为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，为的中位线，下列添加的条件不能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象经过点的二次函数的表达式：_______________． 12. 关于x的一元二次方程2x2+3x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 __________． 13. 某同学手中有6张扑克牌，6张扑克牌上的数字依次为1，2，3，4，5，6．若从中同时取出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是_______________． 14. 如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为_______________． 15. 如图所示，正方形的边长为2，点E为边的中点，正方形所在平面内有一个动点P，它到点E的距离始终为1，以为直角边作等腰直角，则的最大值为_________，最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 现有50名同学参加解方程竞赛，竞赛同时开始，完成后即可交卷，同分数时用时短的排名靠前．下表是以用时进行分组的频数分布表： 组 1 2 3 4 5 6 用时/分 人数 4 11 15 13 1 根据以上信息，回答下列问题． （1）频数分布表中_______________； （2）本次竞赛中，完成试卷用时的中位数落在第_______________组（填序号）； （3）请计算用时不到14分钟的人数占参赛总人数的百分比． 18. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据： 重物质量m/kg 1 2 3 5 活塞到桶底的距离h/cm 24 16 12 （1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______． （2）在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标． ①将这4个点的坐标填入下表： …… …… …… …… ②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接； ③直接写出所得曲线对应的函数表达式． （3）要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围． 19. 如图，小刚和小敏发现天空中悬停了一个大型飞艇，他们想测量飞艇的悬停高度，小刚在处测得飞艇的仰角为，小敏在处测得飞艇的仰角为，已知，和飞艇处在同一个平面内，测得之间相距，求飞艇距离地面的高度．（精确到整数．参考数据：，，）． 20. 2023年春节，各地暂停的庙会重新焕发了生机．某摊贩的货品中有A，B两款兔玩偶受到消费者的喜爱，A款玩偶和B款玩偶进货单价之和为50元，该摊贩购进A款玩偶100个，B款玩偶50个共花费3500元． （1）A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是多少元？ （2）摊主发现A款玩偶售价为27元时，每小时可以卖出10个．摊主为扩大销量，决定降价销售．若售价每降低1元，则每小时多卖出2个．若不考虑库存，按当天摆摊8小时计算，试求当天出售A款玩偶获得利润最大为多少？ 21. 如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点． （1）请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； （2）运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 22. （1）如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图： ①连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点； ②以为圆心，长为半径作，与交于，两点； ③连接，． 根据所做图形，完成下列题目： （2）求证：是的切线； （3）若的半径为2，过做的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长． 23. 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为，，，（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步：对折找到一条对角线并展开； 第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点的落点为，所得折痕与边交于点； 第四步：测量，，的度数， （1）小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数：_____________°，_____________°； （2）若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由； （3）请直接写出为直角三角形时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年中招九年级适应性测试（二） 数学试卷 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题．满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列实数中最小的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算．估算出，根据实数的大小比较法则比较数的大小，得出答案即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴最小的数是， 故选：A． 2. 中国总人口在年达到了亿，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示大于1的数，解题的关键是注意n的取值方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．先将亿写成，再将写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：亿， 故选：C． 3. 数据15，25，30，40，40，60的平均数和众数是（ ） A. 30，40 B. 35，40 C. 40，40 D. 25，30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和平均数的概念，众数是指一组数据中出现次数最多的数；平均数是指将所有数据加起来后再除以总的数据个数．将6个数相加后再除以6得到平均数；这组数据中出现次数最多的数字是40，故众数是40． 【详解】解：这组数据的平均数为：； 众数是指一组数据中出现次数最多的数，这组数据中40出现的次数最多，共出现2次， 故众数为40． 故选：B． 4. 下列几何体的三视图中一定没有三角形的是（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图：主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正面、左面、上面看到的图形，结合选项的各个几何体的特性进行分析，即可作答． 【详解】解：A、圆锥的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、带着圆心的圆，故该选项不符合题意； B、三棱锥的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、三角形，故该选项不符合题意； C、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、四边形，故该选项不符合题意； D、圆柱的主视图、左视图、俯视图分别是长方形、长方形、圆，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 不等式组的整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是：． 则整数解是1、2、3、4，共有4个． 故选：D． 6. 下列函数的图象与坐标轴没有交点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握所学函数的性质进行判断．根据反比例函数的图像和性质，二次函数的图象和性质，一次函数的图像和性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、是一次函数，与x轴交于点，与y轴有交点，故此选项不符合题意； B、是二次函数，由知其图象与轴没有交点，但与轴有交点，故此选项不符合题意； C、是反比例函数，与坐标轴没有交点，故此选项符合题意； D、是二次函数，由知其图象顶点为，开口向上，与轴有两个交点，与y轴有一个交点，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，等腰的底角为，以点为圆心，长为半径画弧，与底边交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰的底角为，得到，根据作图得，得到，于是，解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰的底角为， ∴， ∴， 根据作图得， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，，为的中位线，下列添加的条件不能使四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和矩形的判定、三角形中位线定理、等角对等边等知识，先证明四边形是平行四边形，，再根据选项提供的条件逐项进行解答即可. 【详解】解：∵，为的中位线， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 当时，，则四边形为菱形，故选项A不合题意； 当时，则四边形为菱形，故选项B不合题意； 当时，则四边形为矩形，但不能证明四边形为菱形，故选项C符合题意； 当时，，则，则四边形为菱形，故选项D不合题意. 故选：C 9. 如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、图形与坐标等知识，由题意可知逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同．过点作等腰直角三角形，则于点，则，根据点写出答案即可． 【详解】解：由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每8次旋转1周． 除以8余数为7， 逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同． 如图，过点作等腰直角三角形，则于点，， 则， ∴点， ∴点的坐标为． 即经过次旋转后，点的坐标为， 故选：D 10. 如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点N作于点F，得出，，根据三角函数得出，求出，把代入得，得出，即可求出的长． 【详解】解：过点N作于点F，如图所示： 则， ∵点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动， ∴，， ∵， ∴， ∴， 把代入得， 解得：或（舍去）， ∴点M从C运动到A所用的时间为2秒， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形面积的计算，已知函数值求自变量，解题的关键是数形结合，根据函数图象求出点M从C运动到A所用的时间为2秒． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象经过点的二次函数的表达式：_______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此考查了二次函数的图象和性质，根据条件写出符合题意的解析式即可． 【详解】解：的顶点是，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 12. 关于x的一元二次方程2x2+3x-m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：∵方程2x2+3x-m=0有两个不相等的实数根， ∴△=32-4×2×（-m）=9+8m＞0， 解得：m＞-． 13. 某同学手中有6张扑克牌，6张扑克牌上的数字依次为1，2，3，4，5，6．若从中同时取出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，列出表格，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种，利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 由表格可知，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种， ∴牌面数字均为偶数的概率是． 故答案为： 14. 如图，等边的边长为2，的内切圆与三边的切点分别为，，，以点为圆心，为半径作，则阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正三角形的内切圆、等边三角形的性质、扇形面积等知识，由等边的边长为2可得扇形的面积为，等边的面积为，的面积为．即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵等边的边长为2， ∴， ∴等边的面积为，扇形的面积为，的半径为 ∴的面积为． 阴影部分的面积 故答案为： 15. 如图所示，正方形的边长为2，点E为边的中点，正方形所在平面内有一个动点P，它到点E的距离始终为1，以为直角边作等腰直角，则的最大值为_________，最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可求的长，由题意可得点P在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵正方形所在平面内有一个到点E的距离始终为1的动点P， ∴点P在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点P在的延长线上时，有最大值，最大值为，则的最大值为， 当点P在线段上时，有最小值，最小值为，则的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、立方根计算即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法即可． 【详解】解：（1） （2） ． 17. 现有50名同学参加解方程竞赛，竞赛同时开始，完成后即可交卷，同分数时用时短的排名靠前．下表是以用时进行分组的频数分布表： 组 1 2 3 4 5 6 用时/分 人数 4 11 15 13 1 根据以上信息，回答下列问题． （1）频数分布表中_______________； （2）本次竞赛中，完成试卷用时的中位数落在第_______________组（填序号）； （3）请计算用时不到14分钟的人数占参赛总人数的百分比． 【答案】（1）6 （2）3 （3） 【解析】 【分析】此题考查了频数分布表、中位数等知识， （1）用总人数减去已知的频数即可得到答案； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）用时不到14分钟的人数除以总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵50名同学参加解方程竞赛， ∴中位数是所有用时从小到大排列后，位于第和名同学的用时平均数，即落在3组， 故答案为：3 【小问3详解】 解：由题意可得， 即用时不到14分钟的人数占参赛总人数的百分比为． 18. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面4组数据： 重物质量m/kg 1 2 3 5 活塞到桶底的距离h/cm 24 16 12 （1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值m加上1后得到的数值与对应的距离数值h成反比．请你根据数据求出______． （2）在上面4组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标x，h的值作为该点的纵坐标y，得到4个点的坐标． ①将这4个点的坐标填入下表： …… …… …… …… ②交将这4个点描在如图所示的平面直角坐标系中．并用平滑曲线连接； ③直接写出所得曲线对应的函数表达式． （3）要使活塞到筒底的距离大于6，请直接写出在托盘中放入重物的质量m的取值范围． 【答案】（1）8 （2） ①如图， 2 3 4 5 24 16 12 8 ②反比例函数的图象如图所示； ③ （3） 【解析】 【分析】（1）设，把代入得到，把代入即可得到结论； （2）①根据题意求得，的值即可得到结论；②根据题意画出反比例函数的图象即可；③把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， 把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：①略 ②略 ③点在反比例函数图象上， 所得曲线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得， 重物的质量的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的图象，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 19. 如图，小刚和小敏发现天空中悬停了一个大型飞艇，他们想测量飞艇的悬停高度，小刚在处测得飞艇的仰角为，小敏在处测得飞艇的仰角为，已知，和飞艇处在同一个平面内，测得之间相距，求飞艇距离地面的高度．（精确到整数．参考数据：，，）． 【答案】飞艇距离地面的高度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点作，设为．得到，．则．解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，设为． 由题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． ． 解得． 答：飞艇距离地面的高度约为． 20. 2023年春节，各地暂停的庙会重新焕发了生机．某摊贩的货品中有A，B两款兔玩偶受到消费者的喜爱，A款玩偶和B款玩偶进货单价之和为50元，该摊贩购进A款玩偶100个，B款玩偶50个共花费3500元． （1）A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是多少元？ （2）摊主发现A款玩偶售价为27元时，每小时可以卖出10个．摊主为扩大销量，决定降价销售．若售价每降低1元，则每小时多卖出2个．若不考虑库存，按当天摆摊8小时计算，试求当天出售A款玩偶获得利润最大为多少？ 【答案】（1）A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是20元，30元 （2）576元 【解析】 【分析】（1）设A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是x元，y元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设A款玩偶每天的销售利润为w元，每个售价为t元，根据题意，求得w关于t的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是x元，y元， 根据题意，得， 解得． 答：A款玩偶和B款玩偶的进货单价分别是20元，30元； 【小问2详解】 解：设A款玩偶每天的销售利润为w元，每个售价为t元，根据题意，得 ， ∵， ∴当时，w取最大值576， 答：A玩偶售价为26元时，每天的销售利润最大是576元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，最大利润方案问题，理解题意，根据题意列出方程组是解题的关键． 21. 如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点． （1）请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； （2）运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图． （2） 这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆，理由：在（1）的基础上，由题意，得． 运动员落地即为， ． 解得（舍去），． 由可判断这位运动员此次动作会在着陆区斜坡上着陆． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用， （1）以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系．利用待定系数法进行解答即可； （2）在（1）的基础上，由题意，得．运动员落地即为，则． 解得（舍去），．即可进行判断． 【小问1详解】 解：以点为原点，地平线为轴，竖直为轴建立平面直角坐标系． 则． 设抛物线． 将点代入函数表达式，得． 解得． 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 略 22. （1）如图，已知与外一点，请利用直尺和圆规按要求作图： ①连接，利用尺规作出的垂直平分线，与交于点； ②以为圆心，长为半径作，与交于，两点； ③连接，． 根据所做图形，完成下列题目： （2）求证：是的切线； （3）若的半径为2，过做的平行线，与所在直线相交于点，恰好是的切线，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据步骤完成作图即可； （2）连接． 由题意可知为的半径．根据直径所对的圆周角是直角得到．根据切线判定定理即可得到结论； （3）设切于点，连接．证明四边形为正方形．则．证明，得到．求出．在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）证明：如图，连接． 是上一点， 为的半径． 为的直径， ． 是的切线． （3）解：如图，设切于点，连接． ， ． 是的切线， ． 四边形为矩形． 又， 四边形为正方形． ． 为的中点， ． 又， ∴． ． ． 在中， 【点睛】此题考查了基本作图，切线的判定和性质、圆周角定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确作图和熟练掌握切线的判定是解题的关键． 23. 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为，，，（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步：对折找到一条对角线并展开； 第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点的落点为，所得折痕与边交于点； 第四步：测量，，的度数， （1）小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数：_____________°，_____________°； （2）若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由； （3）请直接写出为直角三角形时的长． 【答案】（1） （2）的度数为时，为等腰三角形 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和折叠的性质得到，，由邻补角和三角形外角的性质即可得到答案； （2）设，得到，，，则，分三种情况进行解答即可； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由折叠可知，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， ∴，， ∴， ∴， ①当时，， ∴， 解得， ∴的度数为时，是等腰三角形； ②当时，， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当时，， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上可知，当的度数为时，是等腰三角形； 【小问3详解】 解：①当时，如图1， ∵， ∴， 由折叠可知，，， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ②当时，如图2， ∵， ∴， 设， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上可知，为直角三角形时的长为或． 【点睛】此题考查了菱形的性质、正方形的判定和性质、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $