培优03 利用导函数构造原函数解不等式（六大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优03 利用导函数构造原函数解不等式 题型01原函数加减 例1．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为 . 练习3．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 练习4．已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 题型02原函数乘除 例3．已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．设、是R上的可导函数，，分别为、的导函数，且满足，则当时，有（　　） A． B． C． D． 练习1．已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 练习3．已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式的解集为 ． 练习4．（多选）设，是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足，则当时，有（    ） A． B． C． D． 题型03原函数含 例5．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例6．已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 练习2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 练习4．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 题型04原函数含 例7．设函数的导函数为，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例8．已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数及其导函数的定义域为，，且，则不等式的解集为 . 题型05原函数含三角函数 例9．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 练习2．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习4．（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型06其他构造 例11．已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 . 例12．定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（    ） A． B． C． D． 练习1．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是 ． 练习2．设函数的导函数为，，且，则 ，的解集是 ． 练习3．已知是定义域为的偶函数，当时，有，且，则 ；不等式的解集为 . 练习4．（多选）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 1．已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是 . 2．设定义在上的函数满足，若，，则的最小值为 ． 3．已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 4．已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为 . 6．设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为 . 9．（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上是减函数 D．在上是增函数 10．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ） A． B．，函数有极值 C． D．，函数为单调函数 12．（多选）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ） A． B．，函数有极值 C． D．，函数为单调函数 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优03 利用导函数构造原函数解不等式 题型01原函数加减 例1．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性. 例2．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 由当时，，则当时，， 即在上单调递减， 由，则， 由，即，故. 故选：D. 练习1．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 所以． 故不等式的解集为. 故选：B. 练习2．设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，则，是上的奇函数． 又当时，， 所以在上单调递减，又是上的奇函数． 所以是上的减函数． 由 故等价于， ， 所以，解得 故答案为： 练习3．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 练习4．已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可推得，. 令，则， 所以， 所以，为偶函数. 又， 因为当时，， 所以，，所以在上单调递增. 又为偶函数，所以在上单调递减. 由可得， . 因为， 所以，. 因为在上单调递减，为偶函数， 所以有， 平方整理可得，， 解得. 故选：C. 【点睛】关键点睛：构造函数，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性. 题型02原函数乘除 例3．已知定义在上的单调递增函数满足恒成立，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，在上单调递增，则， 不等式恒成立转化为，即， 设，则， 所以在上单调递减，则， 由，得， 即，所以，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D 例4．设、是R上的可导函数，，分别为、的导函数，且满足，则当时，有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 则， 由于， 所以y在R上单调递减， 又，故，C正确； 要想判断ABD选项，需要已知更多其他条件，故其他选项均无法判断. 故选：C． 练习1．已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减； 又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增； 又，则，画出的模拟草图如下所示：    当时，，则，数形结合可知，此时； 当，因为为上的奇函数，故，不满足题意； 当，，则，数形结合可知，此时； 综上所述：的解集为. 故选：A. 练习2．已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为当时，， 所以， 令，则，单调递增， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 因为， 所以， 所以， 大致图象如图：    所以成立的的取值范围是， 故答案为：. 练习3．已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为， 令，，则， 所以在上单调递增， 不等式，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 练习4．（多选）设，是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足，则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，则． 由，得， 所以函数在R上单调递增． 当时，有， 又，是定义在R上的恒大于零的可导函数， 所以，． 故选：BC 题型03原函数含 例5．已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 故在上单调递减， 不等式可变形为 ， 即， 所以且，解得. 故选：A 例6．已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则． 因为当时，，所以， 所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以为奇函数． 因为，所以，所以，即， 所以，所以． 故选：D 【点睛】关键点点睛：在选择题中，解决此类与不等式有关的问题，构造合适的函数，是解决问题的关键.本题注意到有，即，所以根据导数的运算法则，可构造商的函数，之后的问题就好分析了. 练习1．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（    ） A． B．在取得极小值，极小值为 C．只有一个零点 D．若在上恒成立，则 【答案】B 【详解】∵且，可得， 则有，故（c为常数）， 又，则，得，故，， ， 当，即，解得：，，此时单调递增， 当，即，解得，， 当，即解得：，，此时单调递减， 对于A，由于，单调递增，，单调递减， ∵，可得， ∵，，∵. 故，故A正确： ∴，取得极大值，，故B错误； 对于C，当，，，，，， 画出草图，如图： 根据图象可知：只有一个零点，故C正确； 对D，要在上恒成立 即：在上恒成立， ∵，可在上恒成立， 只需，令，， 当，；单调递增， 当时，；单调递减， ，； 则，即，故D正确； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式. 练习2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 令，则当时，得，即在上是减函数， ∴，， 即不等式等价为， ∴，得，即， 又，解得，故． 故选：D. 练习3．已知奇函数及其导函数的定义域均为.当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 【答案】 【详解】构造函数，， 当时，，所以当时，， 则在上单调递增，由于，所以， 为奇函数，所以，， 所以为偶函数，所以，且在上单调递减， 当时，不等式转化为，即， 又在上单调递增，所以， 当时, 不等式转化为，即， 又在上单调递减，所以. 所以不等式成立的的取值范围为， 故答案为： 练习4．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数， 所以，又， 所以是偶函数，所以在上递减， 所以， 即不等式等价为， 所以，所以． 故答案为：． 题型04原函数含 例7．设函数的导函数为，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，构造函数， 可得， 因为，所以， 所以函数为上的单调递减函数，所以， 又因为， 因为，可得， 所以. 故选：D. 例8．已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 练习1．已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，令， 则，则在上单调递增. 由，为奇函数，得，则， 从而原不等式可化为，即，此即为. 由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件. 练习2．已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 因为即， 则， 所以在上单调递增， 故若，即，即， 由定义域及单调性可得，， 所以不等式的解集为. 故选：A. 练习3．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由题设条件，得， 故函数在上单调递减. 由为奇函数，得，得， 所以， 不等式等价于，即， 又函数在上单调递减，所以， 故不等式的解集是． 故选：D． 练习4．已知函数及其导函数的定义域为，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】构造函数，则 所以函数在上单调递减， 又由，得， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故答案为：. 题型05原函数含三角函数 例9．已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 例10．已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 则， 所以在上单调递减. 又因为偶函数，所以， 所以. 又， 所以不等式等价于， 根据函数的单调性可知，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 练习1．已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】依题意令，， 则， 因为当时，， 所以当时，， ∴在上单调递减， 则等价于，即， ∴，解得，所以所求不等式的解集为. 故答案为： 练习2．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，∵是定义在上的奇函数， ∴是定义在上的偶函数． 当时，，由，得， ∴，则在上单调递减． 将化为，即，则． 又是定义在上的偶函数． ∴在上单调递增，且． 当时，，将化为， 即，则． 综上，所求不等式的解集为． 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决本题的关键. 练习3．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，， 当时，，，即函数单调递增． 又，时，， 是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数． 不等式， 即，即， ，①， 又，故②， 由①②得不等式的解集是． 故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如的式子，先构造函数，再设法证明的奇偶性与增减性，进而去“f”解不等式 练习4．（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断． 【详解】解：令，， 因为， 则， 故在，上单调递减， 因为，则， 结合选项可知，，从而有，即，故错误， 因为，结合在，上单调递减可知，从而有， 由可得，故错误； ，从而有，且，即．故正确； ，从而有即．故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值的大小，解题的关键是导数与函数知识的灵活利用，属于中档题． 题型06其他构造 例11．已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，则，所以是增函数， 不等式可变形为， 因为，所以不等式等价于， 所以，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 例12．定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 由，得． 设函数，则， ∴在上单调递增，从而． 即，即． 故选：A. 【点睛】本题考查导数的应用与不等式的综合，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 练习1．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 得， ， 令， ， ，， 令， 当时，，当时， 在上递减，在上递增， ， 在上递增， ， ， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等. 练习2．设函数的导函数为，，且，则 ，的解集是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以函数是常函数，设为常数， 则，因为，所以，即， 所以，， ， 等价于，即，解得. 所以的解集是. 故答案为：；. 练习3．已知是定义域为的偶函数，当时，有，且，则 ；不等式的解集为 . 【答案】 【详解】， 移项化简得， 即， 设，则， 设，则， 又，其中为常数，即， ，又，，解得， 所以当时，， 又是定义域为的偶函数，. 当时，，则， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即， 所以在上单调递增，， 所以由可得，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用构造函数法，结合求得，从而得解. 练习4．（多选）设定义在上的函数的导函数为，若满足，且，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．不等式的解集为 C．若恒成立，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】因为，所以. 令，则， 所以（c为常数），所以. 因为，所以，即. 对于A，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，故A错误. 对于B,当时，，时，，时， 而，根据单调性知：，故B正确. 对于C，若，则. 当时，恒成立. 当时，等价于，即. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故C正确. 对于D，若，即. 因为在恒小于0，在上又单调递增，且， 所以，且，所以， 故D正确. 故选：BCD    【点睛】思路点睛：根据已知条件先构造函数得出解析式，利用导数研究其单调性即可判定前两个选项，对于恒成立问题经常使用分离参数的方法，计算的最值即可判定C，对于双变量问题常利用转化消元的思想，同构的思想. 1．已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，可得. 令，则，，所以的图象关于直线对称. 当时，，所以， 又在上连续，所以在上单调递增，且在上单调递减， 由，可得，即， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数,利用函数的性质，求解不等式. 2．设定义在上的函数满足，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由可知， 令，则，所以在上单调递增. 因为，所以， 因为所以， 所以，又因为在上单调递增. 所以 故答案为： 3．已知定义在上的可导函数，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，则有， 由在上恒成立，故在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 4．已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：， 设，则， 由得， 因为，所以， 又、是定义域为的恒大于0的可导函数， 故，B错误，，A错误； ， 因为，不知道正负，所以C不一定成立； ， 即，D正确. 故选：D. 【点睛】 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 5．已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 6．设，是定义域为的恒大于零的可导函数，且，则当时，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，即在R上为减函数． 又因为，所以． 且，在R上恒大于零，所以，即C对，B错， 因为是满足题意的一个解，但，所以AD都错， 故选：C 7．已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 构造函数，因为，所以， 可知函数在上单调递增，， 不等式化为，即， 由单调递增可得，即. 故选: C. 8．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】，则， 故在上单调递减， 因为， 故有， 即有，则， 即，则，故为周期为8的周期函数， 由，故， 由，故， 即，故， 即有，则， 对，有，即有， 由在上单调递减，故， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在将所求解不等式，通过题目所给条件，构造函数，从而将其转化为解，结合的单调性即可得. 9．（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上是减函数 D．在上是增函数 【答案】ABD 【详解】令，可得， 因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又因为，可得， 由，即，可得，所以A正确； 又由，即，可得，所以B正确； 因为，可得，可得， 设，可得， 所以函数为单调递增函数，又因为， 所以，所以在上是增函数，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】知识方法：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题， 常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 10．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 为定义在上的偶函数 则函数为定义在上的偶函数 ，当时， 函数在上单调递减，在上单调递增. 不等式可变为， 即 故，解得或 所以不等式解集为：. 故选：A. 11．（多选）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ） A． B．，函数有极值 C． D．，函数为单调函数 【答案】CD 【详解】设函数， 则， 所以在上单调递减，B错误，D正确； 从而，即，因为， 所以，化简可得， 整理得，A错误，C正确． 故选：CD 12．（多选）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ） A． B．，函数有极值 C． D．，函数为单调函数 【答案】AD 【详解】解法一：设函数， 则， 所以在上单调递减，故B错误，D正确． 从而，即， 因为，所以，， 所以，故C错误，A正确． 解法二：取，满足且，则， ，函数为单调函数． 故选： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$