第四章 指数函数、对数函数与幂函数 专题集训突破练+易错排查矫正练-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）辽宁专用

、第四章指数函数、对数函数与幂函数 专题集训 突破练 题型2指数、对数、幂型函数的定义域、值域 专题日指数、对数、幂函数 题型1指数、对数、幂的运算 4已知-3≤1g<-号求函数f()= 1.计算：1(-3)+0.02-105 1og:专·l1og的最大值和最小值。 2)1+(2-√3)°： (2)1g5(1g8+g1000)+3g2+g6+ g0.06. 规律总结：解答该题主要是利用指数、暴的 运算法则、对数的运算法则、对数恒等式即 可得出. 解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数 规律总结：求指数型与对数型函数的定义域 式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握 主要通过构建不等式（组）来求解，有时解不 等式（组）时要借助于指数、对数函数的单 各种变形.如N=a,a=N,logN=b(其 调性。 中N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的不 涉及指数、对数函数的值域问题有两个类 同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进 型，一是形如y=au和y=logf(x)的函 行它们之间的相互转化，选择适合题目的形 数，一般要先求f(x)的值域，然后利用指 式进行运算 数、对数的单调性求解；二是形如y=f(a) 2.（多选)下列计算正确的是( 和y=f(logx)的函数，则要根据a'和 A.(-3)=-3 logx的范围，利用函数y=f(x)的性质 Ba6)(-3ab)÷(得ab）=-9a, 求解 5.函数f(x)=log2(3一9)+√16-x的定义 a>0,b>0 域为( C.√丽=5 A.(2,3) B.(3.4] D.已知x2+x2=2,则x十x-1=2 C.(2,4] D.(2,3)U(3,4] 3.如果x=1+2,y=1+2,用x表示y,则 6.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数， y= 例如：[-2.1]=-3，[2.1]=2，则y=[x] 28 ·数学· 专题集训突破练了 称为高斯函数.已知函数f(x)= 9.华罗庚是享誉世界的数学 大师，其斐然成绩早为世人 1+e,则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值 所推崇.他曾说：“数缺形时 少直观，形缺数时难入微”. 域是( 告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起 A.{-1,0} B.{0 来是解决数学问题的有效途径.若函数 C.{0,1 D.{-1,0,1} f(x)=log(.x+b)(a>0,且a≠1，b∈R) 题型3 指数、对数、幂函数的图像和性质 的大致图像如图，则函数g(x)=a一b的 7.当0<≤2时，<1ogr,则实数a的取值 大致图像是( 范围是( b2》 B.( C.(1,2) D.(2,2) 规律总结：解决此类问题要熟练掌握指数、 对数、暴函数的图像和性质，方程与不等式 的求解可利用函数的单调性进行转化，也可 利用图像解决，对含参数的问题进行分类讨 论，同时还要注意变量本身的取值范围，以 免出现增根， 题型4比较大小问题 对于图像的判断与选择可利用图像的变换， 也要重视利用特殊点与选择题中排除法的 10设a=()b=()c=(》 ,则a,b. 应用 c的大小关系是( 8.已知函数f(x)= 3二”（其中m>0)为奇 A.a<b< B.6<a<c 3+m C.c<a<b D.b<c<a 函数，求出m的值 规律总结：比较大小的常用方法： (1)比较两数（式）或几个数（式）大小问题 是本章的一个重要题型，主要考查暴函数、 指数函数、对数函数图像与性质的应用及 差值比较法与商值比较法的应用.常用的 方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作 差法、作商法 (2)当需要比较大小的两个实数均是指数 暴或对数式时，可将其看成某个指数函数、 对数函数或暴函数的函数值，然后利用该 函数的单调性比较， ·数学 29 、第四章指数函数、对数函数与幂函数 (3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1” 0.301,lg3≈0.477) 作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于 A.2.72 min B.2.82 min 等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后 C.2.92 min D.3.02 min 再在各部分内利用函数的性质比较大小 11.设函数f(.x)=alr(a>0且a≠1)， 15.已知函数f)= 2 3-x +3 -1+log:3+元 f(2)=4,则() (1)求f(x)的定义域，并证明f(x)是奇 A.f(-2)>f(-1) 函数： B.f(-1)>f(-2) (2)求关于x的不等式f(x2一5.x+3)+ C.f(1)>f(2) f(x)>0的解集. D.f(-2)>f(2) 12.已知a=log2,b=log.50.2,c=0.52,则 a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 专题二函数的应用 题型1函数的综合应用 13.函数fr)=x-2的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 14.茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神 农时代.现代研究结果显示，饮茶温度最好 不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1 min、2min后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，68℃，给出三个茶温T(单位：℃)关于 茶泡好后置于室内时间t(单位：min)的函 数模型：①T=at十b(a<0):②T=logt +b(0a<1):③T=20+b·a'(b>0,0 <a<1).根据生活常识，从这三个函数模 型中选择一个，模拟茶温T(单位：℃)关于 茶泡好后置于室内时间t(单位：min)的关 系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少 需要等待的时间为( )(参考数据lg2≈ 30 ·数学· 专题集训突破练了 题型2抽象函数 17.定义在(-1,1)上的函数f(x),对任意x 16.函数f(x)对任意的m,n∈R都有f(m+ y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)= n)=(m)十f(n)-1,并且x>0时，恒有 f(x)<1. (1)试判断∫(x)在R上的单调性，并加以 (1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由： 证明： 2)若()=2试求f分》-（品 (2)若f(3)=4,解不等式f(a2十a-5)<2: (3)若关于x的不等式f(k·3)<f(9 局的值 3十2)在R上有解，求实数k的取值范围. 规律总结：1.利用定义法判断函数的单调 性的一般步骤是：(1)在已知区间上任取 x2>x1:(2)作差f(x2)一f(x1):(3)判断 ∫(x2)一∫(x1)的符号（往往先分解因式， 再判断各因式的特号)，f(x2)一f(x1)>0 可得∫(x)在已知区间上是增函数，∫(x2) 一f(x1)<0可得f(x)在已知区间上是减 函数.2.证明奇偶性，实质就是赋值.如下 常见证明奇偶性的赋值规律：(1)可赋值， 得到一些特殊点函数值，如f(0),f(1)等， (2)尝试适当的换元字母，构造出x和 x,如f(x十y),可令y=一x,f(xy),可 令y=一1等等；(3)通过各类抽象函数式 子，来积累一定的赋值技巧， ·数学·31 、第四章 指数函数、对数函数与幂函数 易错排查 矫正练 易错点①二次函数的图像和性质的应用 易错点2函数的图像和性质的应用 1.已知函数f(x)=a.x- x2的最大值不大 3 L.函数y=e血一lx-1的图像大致是( 于日又当e引时u)≥求a 的值。 2.在y=2,y=logx,y=x2这三个函数中， 当0<x<<1,使f到）> f(x1)+f(x2 一恒成立的函数的个数是 2 ( A.0 B.1 C.2 D.3 3.若函数f(x)=l0g(2x2+x)(a>0,且a≠1)在区 2.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且 间o,)内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递 不等式f(x)>一2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)十6a=0有两个相等的根，求 增区间为( f(x)的解： A(-,- B(-+) (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值 范围 C.(0,+o∞) n(-o,-2 易错点③函数的应用 1.某公司在甲，乙两地销售同一种品牌车，利 润（单位：万元）分别为L1=5.06.x-0.15.x 和L2=2x,其中x为销售量（单位：辆）.若 该公司在这两地共销售15辆车，则能获得 的最大利润为( A.45.606万元 B.45.6万元 C.46.8万元 D.46.806万元 32 ·数学· 小题限时强化练7 2.某段城际铁路线上依次有A,B,C三站， 3.某公司生产一种产品的固定成本（即固定投 AB=5km,BC=3km.在列车运行时刻表 人)为0.5万元，但每生产100件需要增加 上，规定列车8时整从A站发车，8时07分 投入0.25万元，市场对此产品的需要量为 到达B站并停车1min,8时12分到达C 500件，销售收入函数为R(x)=5.x一0.5x2 站.在实际运行时，假设列车从A站正点发 (0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单 车，在B站停留1min,并在行驶时以同一 位：百件). 速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某 (1)把利润表示为年产量的函数f(x). 站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对 (2)年产量是多少时，当年公司所得利润 值称为列车在该站的运行误差 最大？ (1)分别写出列车在B,C两站的运行误差： (3)年产量是多少时，当年公司不亏本？（取 (2)若要求列车在B,C两站的运行误差之 √21.5625=4.65) 和不超过2min求v的取值范围. 小题限时强化练 (时间：45分钟 满分：73分) 一、选择题：本大题共8个小题，每个小题5 2.函数y=3+1的反函数的表达式为( 分，共40分.在每小题给出的选项中，只有 A.y=logsx+1 B.y=logsr-1 一项是符合题目要求的 C.y=log (x+1) D.y=log (x-1) 1.已知函数f(x)的定义域为(1，十∞)，则函 3.世界人口在过去40年翻了一番，则每年人 数F(x)=f(2-3)十√3-x的定义域为 口平均增长率约是( )(参考数据1g2≈ () 0.3010,10.075≈1.017) A.(2,3] B.(-2,3] A.1.7% B.1.6% C.[-2,3] D.(0,3] C.1.5% D.1.8% ·数学· 33文:C ,-1-() 20且E时。 3一得 y-50--]-11-+68-115 文一二次不1一01,一 上可如 (2)这过:朝余面为来的。 一-()”-(). ②3 时 一是境 -,解一&.故到李为止.也旋我了三年. >0故一 -暗-1 &H6. 1)设从今来始,以后致了”年,数a年后刻 1为. 文裁为640+)(0.1一-+ -------). . 为段,即定又战”o”,且两数为奇正数,政有((0)-,进 三:(二_(中→0又减为 品. -11_-0元。 11- /)() 上所点,每牺自日会定为11元时才免使泪净 政入是,为20七 ()()是 根据[一]表不超的最大整数可知问() 交量、按本因,不的对关姓异 (]-()][r-]- 受,是及的神挂,度看 50.1-no-0.-1. 故令多还夜15年。 -1+-1- 1。 .C 析:题意,提品(()-(一十用,可 专题集训突破练 (1)分没承数的“段”一是要分命程,不不 &r(o)-1(-0)o] 0101 (21没涵数的起又境对流一段量 据品数y(01)的与准。 -]--1--1 1.0-(-)+(1) 趣。 拉合图像变接下移为占个位,可得品数()一。 (3段的冰:连没颗圈,是 -,1-□(-]-00 品图式选酒C.故C -(语)40-100+-11 i比下论 m. B解析:由于数y-()在它的定文域上是减 技.:设对甲种育品投一万元,则对乙种育投一 上-]--10,A 1万元,总相满为y元 7.:&使l ()()0y-在 -. -l?+a++1-l+ 数的得】,结合可如只需 一, ,, 的又成上是,一一()_一 -x+?-? -+l-+ -0+5-2--2-1. 1-(0)页-- ()政-。的大小英是,故选B. “-)是 . . 2.BC:对A4--5---. .AV---() ----1.0(8)-寻0 习A确说: 8.指导一;品数程(一一)十1-、 对B(-+ 中理注美干的方程、速而解出. (-)一,又在上是数,在(0十一) 1听元1--2 洁一:首先,+一口成立,该品我定义 一-10.8o8 D1--D 上1-2-2-1-112 由此可如,为获得最大料的,对、乙两神商的资全没入 主墙: 为B 则为否死和已发是,夜得到山伤写凡 析-2l=6=l0 【核心素养清使·柘厚提升】 对C二、_一,. ,霜,,。 1.1 2.D 干D(十y一-1所 --1,. 士2.D选. 3.30解析:题走-12.。 (-+·-+r+m】(1-·”) 隔故选A 3析:-1-1--1.y-1-1 sD “y--12- 13.B析;是几-又毫为0 可,··一于0 #{字 -浮-士L r_)--or-1,则西数1te)- 45 析:没生少道一h才意平来。 题011-%009 赴1. 4.l. 经验,当一了睹,品数f()”级。 28 70r037. B. 析:提生活识,温一般不会干内混度, 的点题是】个,数选儿 5.①②D析:i指数料为13一,所 r-,--1-)” 院-L 此选型。 确:1-时(5)一3>30②确:由 一+。) 指导二:料用品数建点报成方程/!一上)- E,一。 -4-1.=” _-+(h)-. 一上,利持定数水出对的值。 l-+--1 -5. -1(()--,(- 说---4-1--” 20+r·()<(4)是 寸 十-1+}-x3-6 一】-一1-)对任意数土性成文,即方程/(-) -一代3两应宅全相园,奋此可以这到持过数的 2-1-281.1 6.(1)设每年降匠的百次(0~1)。 220 -1”--)“-。 为品敬y一在上点数,陪以由”一一0. )文(-38)+/(-) 13 1 元1. () ”C)在上为减品数 】--D----(++} -+ 指分校:上答点)八在[1]小的 -,>0-1+510+ 士计 有6-是 -17++0 上有解. ★ --h-- -,---1 -一+1十0-一结 又方程②有两个相等的。 ①---. 解。-1-. 的完破关于对,且一f一)f一了由& 0. &对-离点远,此,r{小故是 函数的定4可知(口为奇题 ()不)()。 0-1. (tC. 二,题。0.31-+) ))-) 7/r)1上%减品数. 将。一-一A得】的式 正:”--4)。 .7-r”. --- ③~. )1 -/大 (2r--s+%+r-1- -. 一,10+-)上, 2/)-/)-20- (1101 ()--1-1. []t -7 ,_ _去,] 可代的大_十! 1010-) - 17.(11--0列00十00-(0 0-.--(-1.. _-③ 1-1-{0-,*---。 一111寸 1. 二()在过遍(-11口上为数 (+10) -7a[]上的小()- 了3, 1. 2*()-(-)())- 在一二比方程的有情,连可二次 科时比数一是二比不等甘 t_ )(). 看区风上的,对子风路,一段从三 ._ h②-1. 个考,大,区点的王,③ ③-----> 2.1)没r)++0. __._. #()())#) 歌一-一与区阅点皆关,外,对子二次数 十-+0+>013. 13是是的方十达+》·十-日 位上最要位点的视生标与用屑的 11----2. (③-1) x青:0< 时位确度二次被的性选眠。 ③计-) ir -- .二 (_~) 错点2 指数函数与对数涵数的面家和性质的蓬用 -1×- 1.解选AA日AC ①入有-)D.②) -+&. 因分:选A,主是化数y-一-1时未 二/r). 字程/+-0-2+十- 情况付验;法B.,主要是化离时误地认为 故11调 “方程高有两个相琴院。 时一1-士选主要,1& 由干奇法致定又减内调性一效一/心)在定又 (7((-(-(号) -1+--0--1- (一1内选 陶排。 -3十】-+- (/(-/()-/()( 。-1. 奇数的定义一口)一/(一)次入上化隔看 -)的解析为(了--+是3- r-(). -+》-. 也其图即可, #1句。 11 )在是文-3.31满,&--十 (-((-()-x- 1.错解。A -. 71--++-f -+0--1,1 国分析:对三个品题泪逐不热恶导夜错误,临题受条件 七&十1】的文”! 易错排查矫正练 政-1+110解为.3 知了(01上是,为一y 16.11上为话B; 正:日1( (011上均是四量 要错点1 二次涵数的细像和性所的应用 V0,. 1:--) 1+2+-). -1 一”主的数的,元有-:合走 11----1 1 故当/()的器大值为正数院,实是&的取范国是 --是-二 -11). 山/r)在上另减数. (---(-+题0. 3错解:达A本口 []()→青* 品选B (2--10+1-1 E{ 因分析:上面解去(1十一的是为口13)怎 寻]青<在[寻]的小程 境导致播误,选C,注复合品的洋调落间时没注意内 -1--1. 现了隐件。二日所没(1)点去一上外第(卧问 国分析:选A.求(1的单调区问时没有考点品数文义 -+1--+-1-1-8- 没有&二口改本样,也不整效5[.]的文挂点 十十:高 +-1. (). 品数珍逐减时,数才益增匙实上(1,十 “上为减--。 是r)的通减问. B 2.听(+ ()士 :(120)+2>5的解为(1,3. 正解f+)01 (:题是·七一+ G+2--1-0. (]内有/(e)否1,则()0,每题没 1 142 雪。故. *0_1 5.精:指数品数的和性庙路减数 -+)-1, 上姓选。8[。 时子D&数(在士+一]地地,关于上时 高,时. 为一》的照与-h上的图掉关于,-上对。 林,品数在一,上是减,、0, r)(-)是. y 由凡品数的定过得一。 3.精(1设严是为(百件1.时 二). 时y一.的道总y一的上, 错点3 数的应用 --0-一+5 上有)71无 1. 3.精入设甲地一则乙地皆(1一、料 2G1--4+187812 1:*- +----. 选(D 1+1--0+--1 2.-时11了 上故选 -1+}. ---1-四+500. 1030-0-4+02 6.A:由平品数/(一) _. rr. L 2..一10?时,夜得大用606万故选A 1.. 因分析:上面解中一102不为些数,在实际问题 2.年10终到90件之间不号本. 1-1. -选A 是不可烧的,因选.点梳取与一D?排流的 错喝分析:上比解答视了“的时声品的雪要量站 品数。一0。 数才甚合题。 提件,实上,产品生产量过00得对,地错线 一十 正;B设甲地挥一,则乙地(1一峰 量多只经是。00件,事实上,此,这时不能则Kr) 选料七-I+L-0+01+21-1 7.C析:为数)一一0. -一表删人,否是(5) 1+1+30-10+0 十)上调点。 n一一-,n-上况f 正:(1没严是:页析。 二次泪%。 -1.则]--D+>. a0-12-07 i-h+--t-0l--r -0 1-+2 2.-11时,得大科谐1--.1x1+0× 直一一4和直线,-1直,也冲直线y一一 y”y一r的图像关于一对, 10+30-56万七数选 -1、-2- -1--D-00- 可Cr)的过文A(7.2故选C 2.错:(11到本在BC两的这行说差(位,n)分是 么的理英平,-,赴. -0.%-4.+107812. 8A :)~hc1+1 1_B文因 1 .-1件时七-812 设一”酌交于点(”) br. (2)干列在封.C两站的之加不超过?m, 5时1--10n 无斗点封, |) 时七)-070. 010 -)-+-11(--f0。 设-一十与y-r的像变于点(2ln 一。 即声是4以得时,年公等致碍利满温大 二(·文--了-11 院dfr)是据数. 1110%题时.r0. l-. )>2-1t-1. 一-n10限14. -:-1选 _司。 r. -一择一---(41 20.1 数(-r十-1在(0。+一)上。 l-{. s-u. 11-00二 段-】,满这平是-+1 15听1 n十-----]} 即安声是在10件到480件不号. 、前--} 与数言关的实贴贴号,效程、声 .正 →是()为-11- ,耳,程,当意际,可及。 汉不夫的解-.政A 对斗)+一0)上通境。 11 数,体析,这位的题用,达题 1---Dn 是关数式,数如 s.ID :Ah-le3十e3l了+7? e.C选挑是. 10-h-! ,在数后立到实标回去,是 上的取国[1 1-+1--71<1.* _A正地。 答实问死. }1xln-l. 因上连答点位不一,发速度一/ 和6路分到降(一一2,一 小题限时强化练 r. imm入子一, Cxh-ln-h19. &证. l++1-17-r 正:(1)到在8C路的选择蓬益(位:in)是 -i 七-140为十- {二 n(00+)析:着1-16.% D选.A 画)定文为(],故选A 2.B :y一了 1.y是 (2)因为列来点B.1沟的说差之和不题过n。 +---16 一1,隐战品数y“”的及段的表达式” .故C证 1时.r-nl- o-1B 1时-(-1n---. .-2+&--1-+ 3A 析:改0年君人么数为,则晚人口数为. 0(.文0011题 1.1选B混是。 没的蜡长为x,则经过10年增长人口数为 -11-1+-+1.D. 1.t( (+)”,+1”0+1-2” 数过 3。 -0. n(D析:时于A.为品致一/{一)关于一1对 11+)-051-17-1-1 校)(2)的值故则委在0时f(一)是 )文为)-1. ,1-11-3A 7%.选A 品. 4.D:析:因为一?在B上为流退品数,陪以 对子因为一以+11,又()☆ ()>r>-1.>. 1.+)演选f+17DB误: 子二为()的点一本位跑/-1) 阳-10* )011-0. 文y-:在(0。+一)上连调题增品数。 的像,数y一/()图美于。一]对,题{+1 -lt-1D 的面像关子y对,是锅品题、C益确。 14 1