精品解析：广东省中山市第一中学2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题

中山市第一中学2025届高二第一学期第一次段考数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，其中，则（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 3. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则（ ） A. 点关于轴对称点的坐标 B. 点关于平面的对称点坐标为 C. 点到原点的距离是 D. 直线与轴所在直线夹角的余弦值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 方程与方程可表示同一直线 C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 过两点，的直线都可用方程表示 11. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 12. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知空间向量，，且，则____. 14. 如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 15. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 16. 如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________，点S与P距离的最小值是________． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且． （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值． 19. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 20. 我们知道，在平面中，给定一点和一条直线的法向量可以唯一确定一条直线.如点在直线上，为直线的一个法向量，则直线上任意一点满足，则，化简可得，即为直线的方程.类似的，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面. （1）若在空间直角坐标系中，，请利用平面的法向量求出平面的方程； （2）试写出平面（，，不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点到平面的距离为. 21. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 22. 如图①所示，长方形中，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，得到图②的四棱锥． （1）若棱PB的中点为N，求CN的长； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市第一中学2025届高二第一学期第一次段考数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据截距的定义进行求解. 【详解】中，令，解得，令，， 故. 故选：B 2. 已知向量，且，其中，则（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】由两向量的横坐标可以看出，，则可得到的值. 【详解】由，设，则有 ，可解得，， 所以. 故选：B. 3. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 4. 如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解. 【详解】根据题意， . 故选：A 5. 已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得. 【详解】如图，由题意可知. 要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是. 故选：C 6. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，分别计算出数量积及的模长，即可得出答案. 【详解】易知，，所以． 因为，所以， 故在上的投影向量为． 故选：D． 7. 如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值． 【详解】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1， 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0）， 设平面ABB1A1的法向量， 则，取x＝1，得， 设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ， 则, 所以 ∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为． 故选：A． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则（ ） A. 点关于轴对称点的坐标 B. 点关于平面的对称点坐标为 C. 点到原点的距离是 D. 直线与轴所在直线夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点关于坐标轴的对称点判断A，根据点关于平面的对称点判断B，根据两点距离公式判断C，根据直线夹角的向量求法判断D. 【详解】对于A，点关于轴对称点的坐标，错误； 对于B，点关于平面的对称点坐标为，正确； 对于C，点到原点的距离是，正确； 对于D，直线的方向向量为，轴所在直线的方向向量为， 所以直线与轴所在直线夹角的余弦值为，正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 方程与方程可表示同一直线 C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D. 过两点，的直线都可用方程表示 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先求斜率，进而可得倾斜角；对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C，设直线l：，进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D，根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率， 所以倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点，斜率为的直线，但不含点， 而表示过点，斜率为的直线，且含点，故B错误； 对于C：因为直线经过点，故斜率存在且不为0， 设直线为，令，则；令，则， 因为在，轴上截距互为相反数，则， 解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两点，的直线，故D正确. 故选：AD. 11. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B、C；将化简得，结合一次函数的性质可判断D. 【详解】对于A，当，直线：，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，当时，显然不符合题意， 当时，即直线的斜率为，直线的斜率为，则有， 所以，解得或； 当时，直线：，：，显然两直线重合，故B错误； 对于C，若，当时，显然不符合题意； 当时可得，解得，即C正确； 对于D，将化简得，可知当时，直线过，即不论为何值时，直线恒过定点，即D错误； 故选：AC 12. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A选项；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B选项；连接、、，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C选项；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D选项. 【详解】以为坐标原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    ，，，，，，； 对于A选项，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B选项，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解； 所以不存在点满足题意，B错误；    对于C选项，连接、、，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D选项，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知空间向量，，且，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再求出向量夹角的余弦值. 【详解】因为平面，平面，平面，所以，， 又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，    因为， 所以， 则， 设平面的法向量， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 15. 我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由条件确定与两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可. 【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6. 16. 如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________，点S与P距离的最小值是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】建系，根据空间向量的垂直关系可得点P的轨迹方程为.空1：根据圆的弦长公式运算求解；空2：根据空间中两点间距离公式运算求解. 【详解】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示． 则， 设，则， 因为AM⊥MP，则，解得， 所以点P的轨迹方程为， 空1：根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为； 空2：因为， 所以当时，点S与P距离的最小，其最小值为． 故答案为：；. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 的三个顶点是，，，求： （1）边BC上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求出BC边中点的坐标，再根据两点式写出直线的方程； （2）根据垂直关系求出斜率，再写出点斜式直线方程得出结果. 【小问1详解】 因为，，则BC边中点E的坐标为，， 则直线AE的方程为，即； 【小问2详解】 因为，，则， ∵BC边上的高与BC垂直，∴BC边上的高所在直线的斜率为， ∴BC边上的高所在的直线方程为，即． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且． （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值． 【答案】（1） 建立以点为坐标原点, 所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，则， 所以，即，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)根据空间向量证明垂直关系即可证明结果；(2)根据空间向量求线线夹角的方法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则， 因为与所成角的范围为，所以其夹角余弦值为. 19. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】（1） 由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解； （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 所以的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 20. 我们知道，在平面中，给定一点和一条直线的法向量可以唯一确定一条直线.如点在直线上，为直线的一个法向量，则直线上任意一点满足，则，化简可得，即为直线的方程.类似的，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面. （1）若在空间直角坐标系中，，请利用平面的法向量求出平面的方程； （2）试写出平面（，，不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点到平面的距离为. 【答案】（1） （2） 平面的法向量可取． 证明如下： 设为平面的任意两个点， 则，， 两式相减得即，即， 所以平面的法向量可取． 因为A，B，C不同时为0，所以不妨令， 平面上可取点， 所以 ， 则点H到平面的距离. 【解析】 【分析】（1）先求出平面的法向量，然后利用法向量的定义得到，化简即可； （2）取出平面上一点，求出，求出平面的法向量运算得证．即可得证. 【小问1详解】 在平面中，．设平面的法向量为， 所以，即，令，则， 所以． 设平面内任意一点，则． 所以，化简得． 所以平面的方程为． 【小问2详解】 略 21. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，，因为为弧的中点， 则，为正三角形，于是， 因为平面，，则有平面， 又平面，于是， 而，平面， 因此平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由为正三角形，证明，再利用线面垂直的性质得，进而利用线面垂直的判定推理平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【点睛】关键点睛：第一问的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理，并灵活应用； 第二问的关键是建立空间直角坐标系，确保每个点的坐标准确无误的找到，再借助空间向量求解即可. 22. 如图①所示，长方形中，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，得到图②的四棱锥． （1）若棱PB的中点为N，求CN的长； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，证明导出四边形为平行四边形，从而求出即可. （2）作出的平面角，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦公式求得含的函数关系，再求出函数最小值即可． 【小问1详解】 取中点，连接，由为中点，得为的中位线，则且， 由为的中点，四边形为矩形，得且， 于是且，因此四边形为平行四边形，而， 所以. 【小问2详解】 取中点，连接，由，得，同理， 于是为二面角的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，过作于点，设， 则，即， 则有， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， ， 则，令，得， 设两平面夹角为， 则 ， 令，即有，，则当，即时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $