精品解析：天津市建华中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期八年级期末考试数学学科 数学学科 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥﹣2 B. x≥2 C. x≤﹣2 D. x≤2 2. 已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A. 底与腰不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C 钝角三角形 D. 直角三角形 3. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 4. 菱形具有而平行四边形不一定有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 四边都相等 5. 如果2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，则成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（厘米） 242 239 242 242 方差 2.1 7 5 0.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，矩形对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 8. △ABC中，，，，点D、E、F分别是三边的中点，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 15 D. 18 9. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 其图象经过第二、三、四象限 C. 其图象与x轴的交点为 D. 其图象必经过点 11. 如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 12. 如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（ ） ①N点的运动速度是； ②AD的长度为3cm； ③a的值为7； ④当时，t的值为或9． A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18.0分． 13. 计算结果为______． 14. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______ ． 15. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 16. 已知一次函数，当时，函数的最大值是__________． 17. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为_____． 三、解答题：本大题共7小题，共58.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上． （1）计算AC2+BC2的值等于_____； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____． 19. 计算 （1） （2） 20. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中m的值为_____________； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求这个方程的解； （2）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？ 22. 如图，已知为的角平分线，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A，D为圆心，以大于长为半径在两侧作弧，两弧交于点M，N； 第二步，作直线分别交于点E，F； 第三步，连接． （1）由作图可知，直线是线段的______； （2）判定四边形的形状并证明． 23. 李明家、体育用品商店和体育馆位于一条直线上，李明家离体育用品商店、体育馆的距离分别为1.4km、3.6km．周日上午，李明骑自行车去体育馆游泳．他先匀速骑行15min后，发现没带游泳镜，于是又以刚才的速度匀速骑行8min回到刚刚经过的体育用品商店去购买游泳镜，在体育用品商店停留5min后，这时他发现按原来的速度已经不能在这场游泳开场前赶到体育馆，为了赶时间，李明加快了骑行速度，并匀速骑行了10min到达体育馆正好赶上此场游泳．下面的图象反映了这个过程中李明离家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系． 请解答下列问题： （1）填表： 李明离开家时间/min 1 8 23 25 30 李明离家距离/km 0.2 1.4 （2）填空： ①体育用品商店到体育馆的距离是______km； ②李明从体育用品商店到体育馆的时间为______min； ③李明从体育用品商店买完游泳镜后到体育馆的骑行速度______km/min； ④李明离体育馆的距离为0.6km时，他离开家的时间为______min； （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 24. 如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． （1）如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． （2）如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 25. 【定义】如果在平面直角坐标系中，点在直线上，我们就把直线叫做点P的“依附线”，点叫做这条直线的“依附点”，叫做点的“依附数”．例如，点在直线上，所以直线为点的“依附线”，点的“依附数”为． 【应用】 （1）已知点，在，，中，与点的“依附数”相同的点是______； （2）已知矩形中，点，，，．若矩形边上存在两个不同的点，都是直线的“依附点”，求的取值范围； （3）若直线上存在点，且点的“依附数”为，当，时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期八年级期末考试数学学科 数学学科 一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≥﹣2 B. x≥2 C. x≤﹣2 D. x≤2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】若式子在实数范围内有意义， 则2-x≥0，即x≤2. 故选：D 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2. 已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A. 底与腰不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴三角形的形状是直角三角形， 故选：． 3. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 4. 菱形具有而平行四边形不一定有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 四边都相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断即可求解． 【详解】解：∵菱形的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相垂直平分，且平分一组对角； 平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分， ∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 5. 如果2是方程x2﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的解的定义即可求出m的值． 【详解】解：将x=2代入x2-m=0， ∴4-m=0， ∴m=4， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解的定义，本题属于基础题型． 6. 立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，则成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（厘米） 242 239 242 242 方差 2.1 7 5 0.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由表知，丁成绩的方差最小，所以成绩最稳定的是丁， 故选：D． 7. 如图，矩形对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∵∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=2×2=4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OA=AC=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 8. △ABC中，，，，点D、E、F分别是三边的中点，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定，，是的中位线，再根据三角形中位线的性质得，，，进而求出各边长得出答案即可． 【详解】∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，是的中位线， ∴，，． ∵，，， ∴，，， ∴的周长为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，根据中位线的性质求出各边长是解题的关键．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 9. 小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵y轴表示当天爷爷离家的距离，X轴表示时间 又∵爷爷从家里跑步到公园，在公园打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家， ∴刚开始离家的距离越来越远，到公园打太极拳时离家的距离不变，然后回家时离家的距离越来越近 又知去时是跑步，用时较短，回来是慢走，用时较多 ∴选项B中的图形满足条件. 故选B. 10. 对于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. y的值随x值的增大而增大 B. 其图象经过第二、三、四象限 C. 其图象与x轴的交点为 D. 其图象必经过点 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数的性质进行分析即可得出答案． 【详解】解：A、∵k＝−2＜0， ∴y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意； B、∵k＝−2＜0，b＝6＞0， ∴函数y＝−2x＋2的图象经过第一、二、四象限，该选项不符合题意； C、当x＝0时，y＝−2×0＋6＝6， ∴函数y＝−2x＋6的图象经过点（0，6），其图象与y轴的交点为 (0,6),该选项不符合题意； D、当x＝2时，y＝−2×2＋6＝2， ∴函数y＝−2x＋6的图象经过点（2，2），该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键． 11. 如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，分别求得,即可求解． 【详解】解：设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为， ∴， 依题意，， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角的性质，整式的加减，熟练掌握菱形的性质与等边三角的性质是解题的关键． 12. 如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（ ） ①N点的运动速度是； ②AD的长度为3cm； ③a的值为7； ④当时，t的值为或9． A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴，，， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴，故②正确； ∴，故③正确； 当点M未到点B时，过点N作于点E， 同理可得：， ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F， 此时， ∴， ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18.0分． 13. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式直接计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 14. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______ ． 【答案】36cm2 【解析】 【分析】利用勾股定理求正方形边长，从而求正方形的面积． 【详解】解：由题意可知：正方形的边长为： ∴正方形的面积为：6²=36 故答案为：36 cm2． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，题目比较简单，正确计算是解题关键． 15. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 16. 已知一次函数，当时，函数最大值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据知道一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小， ∴当时，在时y取得最大值， 即：当时，y的最大值为：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF=5，则AF=8，AC=10，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值． 【详解】解：∵， ∴四边形BGFD是平行四边形． ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG． 又∵点D是AC中点， ∴， ∴四边形BGFD是菱形， ∴GF=BG=5， ∴AF=AG-GF=13-5=8，AC=2DF=2×5=10． ∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°， ∴，即， 解得：CF=6或CF=-6（舍）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形． 三、解答题：本大题共7小题，共58.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上． （1）计算AC2+BC2的值等于_____； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____． 【答案】 ①. 11 ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可； （2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案． 【详解】解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11； 故答案为：11； （2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF； 延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图， 【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： · ； 【小问2详解】 解： · 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 20. 某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中m的值为_____________； （Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 【答案】（Ⅰ）40，25；（Ⅱ）平均数是1.5，众数为1.5，中位数为1.5；（Ⅲ）每天在校体育活动时间大于1h的学生人数约为720. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得直方图中各组人数的和即可求得学生人数，利用百分比的意义求得m； （Ⅱ）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解； （Ⅲ）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4+8+15+10+3=40（人）， m=100×=25． 故答案是：40，25； （Ⅱ）观察条形统计图， ∵， ∴这组数据的平均数是1.5． ∵在这组数据中，1.5出现了15次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为1.5． ∵将这组数据按从小到大的顺序棑列，其中处于中间的两个数都是1.5，有， ∴这组数据的中位数为1.5． （Ⅲ）∵在统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据中，每天在校体育活动时间大于1h的学生人数占90%， ∴估计该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h的人数约占90%．有． ∴该校800名初中学生中，每天在校体育活动时间大于1h的学生人数约为720． 【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，还考查了加权平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求这个方程的解； （2）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？ 【答案】（1）， （2）时，方程有两个相等的实数根； 时，此方程没有实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入原方程，解一元二次方程即可； （2）根据根的判别式解答即可； 【小问1详解】 解：当时，方程为， ， 解得，，； 【小问2详解】 ，即， ∵， ∴时，方程有两个相等的实数根， 解得：， 即时，方程有两个相等的实数根． ∴时，方程没有实数根 解得：， 即时，方程没有实数根． 22. 如图，已知为的角平分线，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A，D为圆心，以大于长为半径在两侧作弧，两弧交于点M，N； 第二步，作直线分别交于点E，F； 第三步，连接． （1）由作图可知，直线是线段的______； （2）判定四边形的形状并证明． 【答案】（1）垂直平分线 （2）四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图方法可知直线是线段的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到，，再证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，证明如下： 设交于O， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，线段垂直平分线的性质和尺规作图，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 李明家、体育用品商店和体育馆位于一条直线上，李明家离体育用品商店、体育馆的距离分别为1.4km、3.6km．周日上午，李明骑自行车去体育馆游泳．他先匀速骑行15min后，发现没带游泳镜，于是又以刚才的速度匀速骑行8min回到刚刚经过的体育用品商店去购买游泳镜，在体育用品商店停留5min后，这时他发现按原来的速度已经不能在这场游泳开场前赶到体育馆，为了赶时间，李明加快了骑行速度，并匀速骑行了10min到达体育馆正好赶上此场游泳．下面的图象反映了这个过程中李明离家的距离ykm与离开家的时间xmin之间的对应关系． 请解答下列问题： （1）填表： 李明离开家的时间/min 1 8 23 25 30 李明离家的距离/km 0.2 1.4 （2）填空： ①体育用品商店到体育馆距离是______km； ②李明从体育用品商店到体育馆的时间为______min； ③李明从体育用品商店买完游泳镜后到体育馆的骑行速度______km/min； ④李明离体育馆的距离为0.6km时，他离开家的时间为______min； （3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】（1）1.6，1.4，1.84 （2）2.2；10； 0.22； 15或35； （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象提供的数据，计算出各段的速度，即可填表； （2）根据函数图象中的数据，根据路程、速度、时间的关系计算即可填空； （3）根据待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知： 李明前15min骑行了3km， ∴李明前15min骑行的速度为：3÷15=0.2(km/min) ， ∴8min时骑行的路程为：0.2×8=1.6(km)， ∴8min时离家的距离为1.6km；25min时， 李明在体育用品商店购买游泳镜，离家的距离为1.4km； ∵在28min≤c≤38min时间段中，李明为了赶时间，加快了骑行速度，并匀速骑行了10min到达体育馆正好赶上此场游泳， ∴李明在此时间段骑行的速度为：(3.6-1.4)÷10=0.22(km/min)， ∴李明在30min时离家的距离为：1.4+0.22×(30-28)=1.84(km)， 填表为： 李明离开家的时间/min 1 8 23 25 30 李明离家的距离/km 0.2 1.6 1.4 1.4 1.84 【小问2详解】解：①由题意可知：体育用品商店到体育馆的距离是：3.6-1.4=2.2(km)； ②由题意可知：李明从体育用品商店到体育馆的时间为：38-28=10(min)； ③由(1)可知：李明从体育用品商店买完游泳镜后到体育馆的骑行速度为0.22km/min； ④由题意可知：李明离体育馆的距离为0.6km时，他离开家的时间为：15min或38-0.6÷0.22=35(min)； 故答案为：①2.2：②10：③0.22：④15或35； 【小问3详解】 解：当0≤x≤15时，设函数解析式为y=kx， 把(15，3)代入得3=15k，解得：k=0.2， ∴y=0.2x(0≤x≤15)； 当15＜x≤23时，设函数解析式为y=ax+b， 把(15，3)、(23，1.4)代入得，解得：， ∴y=-0.2x+6（15＜x≤23)； 当23＜x≤28时，设函数解析式为y=1.4； 综上，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式为：y=． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． （1）如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． （2）如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】（1）①证明见解析；② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 【定义】如果在平面直角坐标系中，点在直线上，我们就把直线叫做点P的“依附线”，点叫做这条直线的“依附点”，叫做点的“依附数”．例如，点在直线上，所以直线为点的“依附线”，点的“依附数”为． 【应用】 （1）已知点，在，，中，与点的“依附数”相同的点是______； （2）已知矩形中，点，，，．若矩形边上存在两个不同的点，都是直线的“依附点”，求的取值范围； （3）若直线上存在点，且点的“依附数”为，当，时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3），且 【解析】 【分析】（1）根据题中关于“依附数”的定义可知，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”，分别判断点，，，的依附数即可； （2）设，，根据题意可得，分类讨论即可分别得到的范围和的范围，取其公共部分即可； （3）根据题意列方程组求得，结合，进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点在在直线上， 将代入得： ， 解得， 即直线的解析式为； 故点是直线的“依附点”，是点的“依附数”， 由此可得，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”； ∴对于，，故是点的“依附数”， 对于，，故是点的“依附数”， 对于，，是点的“依附数”， ∴与点的“依附数”相同的点是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设，，若点，都是直线的“依附点”，即， ∵点，是两个不同的点，即点，在不同边上， 设点在上，则，，∴， ①点在上，则，，∴，故； ②点在上，则，，∴，故不存在； ③点在上，则，，∴，故； 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 解：根据题意可知若点的“依附数”为，即直线是点的“依附线”，点在直线上， 故点是直线和直线的交点， 故 整理得：， ∵，即， 当时，解得：， ∵，则，，即，故该情况下无解； 当时，解得：， ∵，则，，即，故该情况下无解； 当时，解得： ∵，则，，即， 故当，时，的取值范围为，且． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，两直线交点与方程的解，求不等式组的解，熟练掌握“依附数”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$