第6章　图形的相似——.相似的综合应用　讲义　2023—2024学年苏科版数学九年级下册　

编号： 7 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 相似的综合运用 教学内容 【题型预览】 题型1：利用相似找C位 题型2：巧用相似得函数 题型3：形影相随等比值 题型4：打开窗户遇相似 题型5：相似也要分左右 【重点题型讲解】 题型1：利用相似找C位 1.我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位 置E处,且BE⊥AD.已知油画的长度AD为100cm. （1）∠ABD的度数为______;（用含α的式子表示） （2）已知小然到墙壁PM的距离AB＝250cm，求油画顶部点D 到墙壁PM的距离; （3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可） 科克曲线 一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形.取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷.边界变得越来越细微曲折，形状接近理想化的雪花，由于瑞典数学家科克在1904年第一次描述了这种不论是由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，故称这条曲线叫科克曲线. 题型2：巧用相似得函数 2.问题提出 （1）如图① ,在△ABC中,AB＝AC,点D,E,F分别在边BC,AB, AC上，且∠EDF＝∠B，连接EF，则图① 中与△BED相似的三角形是______; 问题探究 （2）如图② ，在等边△ABC中，AC＝8，点D，E，F分别在边AB，再到应用模型解决问题的能力. BC,AC上,且AF＝2,FD⊥DE,∠DFE＝60°,求AD的长;问题解决 （3）如图③ ，是一块边长为400m的菱形花圃，∠ABC＝60°，点O是菱形ABCD的对称中心.现计划修建两条小道EF，GH，其中 E, F, G, H 分别在边 AB, CD, BC, AD 上,且 EF, GH 都经过点O，∠EOG＝60°，在阴影部分内部种植牡丹，空白部分种植郁金香，设AE的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）. ① 求y与x之间的函数关系式; ② 已知牡丹的种植成本为5元/m2，郁金香的种植成本为4元/m2，根据设计要求，发现当BE＝BG时，整体布局比较合理，试求当BE＝BG时，此时种植两种花卉的总成本.（小道的面积忽略不计） 题型3：形影相随等比值 3.如图，某公园有三个垂直于水平地面且高度不同的圆柱，圆柱A和B后面有一堵与地面垂直的宣传墙，圆柱A，B与宣传墙的距离均为120cm.圆柱C后有一斜坡，圆柱C底部到坡脚水平线MN的距离为100cm.某一时刻，小颖观察到高度为90cm的圆柱A的影子全落在地面上，其影长为72cm; 圆柱B的部分影子落在墙上，圆柱C的部分影子落在斜坡上，PQ与MN在同一条直线上，已知落在地面上的影子皆与直线PN垂直，并视太阳光为平行光. （1）已知小颖身高为160cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影长为多少cm; （2）若同一时刻量得圆柱B落在宣传墙上的影长为140cm，则圆柱B的高度为多少cm; （3）若同一时刻量得圆柱C落在坡面上的影长为100cm，测得斜坡坡度i＝1:0.75，则圆柱C的高度为多少cm. 题型4：打开窗户遇相似 4.如图① 是某种窗户的窗扣，其示意图如图② ，其中滑轨MN安装在窗框上，点A，B，C，E是连接点，且AB＝12cm，窗沿槽AN＝30cm.点D可在窗沿槽内滑动，当窗户逐渐打开时点D向点A移动，当窗户逐渐关闭时，点D向点N移动.四边形DECB始终为平行四边形. （1）如图③ ，设CE的延长线与MN交于点F，若EF:DE＝2:3. ① 求证:△ADB∽△DFE; ② 求平行四边形DECB的周长; （2）如图④ ，若BD＝8cm，BC＝6cm，当CE与MN垂直时，求点D与点C之间的距离. 题型5：相似也要分左右 5.如图① ，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点C（4，0），动点P从原点O出发，沿对角线OB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，同时另一动点Q从点C出发，沿线段CO以每秒个单位长度的速度向点O匀速运动，过点P作PH⊥x轴于点H，连接PQ，QB，当动点P到达终点B时，点O也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0）. （1）求点P和点Q的坐标;（用含t的式子表示） （2）在动点P，Q运动的过程中，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△BCQ相似？若存在，求出所有t的值;若不存在，说明理由; （3）如图② ，已知D为OB的中点，若以C，D，P，Q为顶点的四边形的面积为，求t的值. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容，常见如下:① 绝对值中的分类讨论;② 应用题中的方案;③ 分式方程无解的分类讨论;④ 一元二次方程系数的分类讨论;⑤ 三角形的形状不定分类讨论;⑥ 相似三角形的对应角（边）不确定分类讨论;⑦ 动点问题的分类讨论;⑧ 圆中的分类讨论等. 【综合强化练习】 1.阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务. 克罗狄斯·托勒密，古希腊天文学家、地理学家和光学家.他在几何学方面做了很多非常有用的工作. 托勒密不等式定理:在凸四边形中，两对角线乘积小于等于两对边乘积之和. 下面是该定理的证明过程: 已知:如图① ,凸四边形ABCD,求证：AC·BD≤AB·CD+AD·BC. 证明:如图② ,作∠CDE＝∠BDA,∠DCE＝∠DBA,DE与CE交于点E,则△ABD∽△ECD（依据1）， ∴,∴BD·EC＝AB·CD① , ∵，∴， 又∵∠CDE＝∠BDA, ∴∠ADE＝∠BDC, ∴△ADE∽△BDC（依据2）， ∴,∴BD·AE＝AD·BC② , 由① +② ,得BD·（EC+AE）＝AB·CD+AD·BC, 又∵EC+AE≥AC, ∴AC·BD≤AB·CD+AD·BC. 任务: （1）上述证明过程中的“依据1”为________，“依据2”为________; （2）托勒密不等式等号成立的条件是________; （3）如图③ ，在四边形ABCD中，AB＝1，，BD⊥BC，且BD＝2BC，求AD的最小值. 2.已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4. （1）如图① ，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝6. ① 求CF的长; ② 求PF的长; （2）如图② ，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为G，H，若BG＝2，求CH的长; （3）如图③ ，J为AB上一点，L为BC上一点，且BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图④ ，直线AJ交直线DK于点R，求的值及∠ARD的度数. 图① 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$