相似的判定与性质（二） （尖子生学案）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

编号： 6 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 相似的判定与性质（二） 教学内容 【题型预览】 题型1：一线平行两相似 题型2：线段比例找等角 题型3：平移平行找相似 题型4： 一线三等角相似 题型5：千变万化总相似 【重点题型讲解】 题型1：一线平行两相似 1.在△ABC中，E是射线CB上一点，D是射线AB上一点,AB＝2BD,BC＝3BE,射线CD与AE交于点P. （1）如图① ，当点D在AB边上，点E在BC边上时，求）的值; （2）如图② ，当点D在AB的延长线上，点E在CB的延长线上时，求的值. 题型2：线段比例找等角 2. 在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E在边BC（不与点B重合）上运动，点F在边CD上运动,EF与AC交于点O,且 （1）如图① ，若AB＝kBC（k为常数），则AE与EF之间是否存在某种确定的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由; （2）如图② ，若AB＝AC＝5，BC＝6，求EF的取值范围. 题型3：平移平行找相似 3. 如图① ，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm,BC＝5cm,AC⊥AB.△ADC沿AC的方向以1cm/s的速度匀速平移得到△PMN，同时点O从点C出发，沿CB方向以 1cm/s的速度匀速运动，当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图② ，连接PQ，QM，CM，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）. （1）当t为何值时，PQ∥MN; （2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式; 解决问题的能力. （3）是否存在某一时刻t，使得S△QMC:S四边形ABQP＝1:2.若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由. 题型4： 一线三等角相似 4. 如图，点M，N分别是边长为4的等边△ABC边AB，AC上的动点，且满足:将△AMN沿MN 折叠，A点恰好落在BC边上的D点处. （1）求证:△BDM∽△CND; （2）若BD:CD＝2:3，求AM:AN的值; （3） 若DM⊥BC，求CM的长; （4）点D从点B移动到点C的过程中，求点N运动的路线长. 题型5：千变万化总相似 5.已知AC，EC分别是四边形ABCD和四边形EFCG的对角线,点E在△ABC的内部,且∠CAE+∠CBE＝90°. （1）探索发现:如图① ，当四边形ABCD和四边形EFCG均为正方形时，则∠EBF的度数为_____; （2）引申运用:如图② ，当四边形ABCD和四边形EFCG均为矩形时， ① 若（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ② 若，AE＝2，BE＝1，求线段CE的长; （3）联系拓展:如图③ ，当四边形ABCD和四边形EFCG均为菱形且∠DAB＝∠GEF＝30°时,设BE＝a,AE＝b,CE＝c,试探究a，b，c三者之间的等量关系，并说明理由. 图① 【综合强化练习】 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC边上一点，连接AE交CD于点F,作EG⊥AE交AB于点G. （1）求证:△AFC∽△EGB; （2）若BC＝mAC,BE＝nCE,求的值. 2.在平行四边形ABCD中，AB边的长为a，对角线AC的长为b，以点A为顶点的∠θ绕点A旋转，且在旋转过程中始终保持∠θ的两边分别与BC，DC的延长线相交，设交点分别为E，F，连接EF. （1）如图① ，当四边形ABCD为正方形，且∠θ＝45°时. ① 求证:△ACF∽△ECA; ② 试用含b的代数式表示△CEF的面积; （2）如图② ，当四边形ABCD为菱形，且∠BAD≠90°时，记S△ECF＝S1，S菱形ABCD＝S2.是否存在∠θ，使得当∠θ转动时，为定值？若存在，请用含a，b的代数式表示该定值，若不存在，请说明理由. 图① 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$