圆的性质 （尖子生学案）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

编号: 3 学生姓名: 年 级: 九年级 辅导科目:数学 课题 圆的性质 教学内容 【题型预览】 题型1:中点内心找等量 题型2:垂直平行找共边 题型3:分割图形求面积 题型4:和为最小“阿氏圆” 题型5:两种“函数”离不了 【重点题型讲解】 题型1:中点内心找等量 1.如图,AB是⊙O的直径,点D为⊙O上一点,AD=4, AB=5,点E为 ABD的内心,点C为弧AB的中点,连接CA,CB,过点C作CH⊥AE于点H,则 ACH的面积为( ) C.5 题型2:垂直平行找共边 2.如图,AB为⊙O的直径,弦CN与AB交于点D,AC=AD,OE⊥CD于点E,若CE=4ED,OA=2,求DN的长. 题型3:分割图形求面积 3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点C为BD的中点,∠BOD= ∠C. (1)求证:四边形OBCD是菱形; (2)若⊙O的半径为r,∠ABO=15 ,求四边形ABCD的面积(用含r的代数式表示). 题型4:和为最小“阿氏圆” 【阿氏圆模型分析】 问题:如图① ,点P是半径为r的⊙O上的一动点,点A,B为⊙O外的定点,且r=k OA(0<k<1),求PB+k PA(0<k<1)的最小值. 解题思路: 一找:找带有系数k的线段PA; 二构:如图② ,在线段OA上取一点C,构造 PCO∽ APO; ① 在线段OA上截取OC,使OC=k r; ② 连接PC,OP,证明 PCO∽ APO; 三转化:通过相似三角形的对应边成比例,将k PA转化为PC; 四求解:使得PB+k PA=PB+PC,利用“两点之间线段最短”转化为求BC的长. 4.如图,⊙O是Rt ACB的外接圆,∠ACB=90 ,AC=BC=8.点P是平面内一动点,且AP=4,连接CP,PB,求的最小值. 题型5: 两种“函数”离不了 5.如图,⊙O为 CBD的外接圆,∠B=60 ,过点C作CA⊥BC交BD的延长线于点A,交⊙O于点E,连接DE. (1)若DE=5,CE=8,求⊙O的半径; (2)设,tan∠ECD=y.求y关于x的函数表达式. 【综合强化练习】 1.请阅读以下材料并完成相应的任务: 罗狄斯 托勒密(Claudius Ptolemaeus,约90年-168年),“地心说”的集大成者,生于埃及,著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家. 托勒密定理实出自依把谷(Hipparchus)之手,托勒密从他的书中摘出并加以完善. 托勒密定理:圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 下面是该定理的证明过程. 已知:如图① ,四边形ABCD内接于⊙O. 求证:AB CD+AD BC=AC BD. 证明:如图② ,作∠BAE=∠CAD,交BD于点E, ∵=弧AD. ∴∠ABE=∠ACD,(依据) ∴ ABE∽ ACD, ∴, ∴AB CD=AC BE. ∵弧AB=弧AB, ∴∠ACB=∠ADE. ∵∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD, ∴ ABC∽ AED, ∴, ∴AD BC=AC ED, ∴AB CD+AD BC=AC BE+AC ED=AC(BE+ED)=AC BD. 任务: (1)上面证明过程中的依据是指:_; (2)如图③ ,已知正五边形ABCDE内接于⊙O,AB=1,求对角线BD的长. 2.如图,在@ABCD中,对角线BD的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接BE DF,点G在边AB上,且DG=DB,过点G分别作GM⊥AD于点M,GN⊥DF于点N,连接MN,若∠ADF=120 ,求证:EF=2MN. 3.请阅读以下材料,并完成相应任务. 阿基米德(Archimedes,公元前287-公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并称为三大数学王子. 阿拉伯(Al-Biruni,973年-1050年)的译文中保存了阿基米德折往定理的内容,苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德的折弦定理. 阿基米德折弦定理:如图,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)、BC >AB,M是弧ABC的中点,则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+ BD. (1)如图① ,在⊙O中,C是劣弧AB的中点,CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论; (2)如图② ,PA,PB组成⊙O的一条折弦.C是弧APB的中点,CD⊥PA于点E,证明:AE=PE+ PB; (3)如图③ ,PA,PB组成⊙O的一条折弦,若C是优弧AB的中点,CD⊥PA于点E,求AE,PE与 PB 之间满足的数量关系. 图① 20 1 学科网(北京)股份有限公司 $$