精品解析：2023年重庆市第八中学校中考强化训练（四）数学试题

数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由4个相同小正方体组成的一个立体图形，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的度数为（　　） A B. C. D. 4. 估计的值应在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 如图，，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（　　） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点D，连接．若平分，，则线段的长是（　　） A. B. C. 3 D. 6 9. 如图，四边形正方形，E为上一点，于点F，连接，设，若，则可表示为（　　） A. B. C. D. 10. 在多项式中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得，此时．再将“+b”改为“”，可得．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：或．下列说法正确的个数为①若，，则；②共有2种“绝对操作”，可能得到；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“”（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 11. _______． 12. 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，，0，2，把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则的概率是_________． 13. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 14. 如图，直线解析式为，轴于点B，反比例函数过中点C，若的面积为2，则k的值为_________． 15. 如图，，，于D，则_____． 16. 如图，矩形中，，．以A为圆心，为半径作弧交于点E，则图中阴影部分的面积为________． 17. 若关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为_________． 18. 一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n，把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算_________；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且F（s）被11除余7，，则满足条件的所有s的平均数为_________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 在学习矩形过程中，小明发现将矩形折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，垂足为点O． ∵四边形是矩形， ∴① ， ∴，， ∵② ， ∴③ ， ∴， ， ， ， 又∵， ∴④ ， 即平分矩形的面积． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 某中学以“守法规知礼让，安全文明出行”为主题，组织全校交通安全知识竞赛．现从七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩均为整数，成绩得分用表示），共分成五个等级：、，、，、，、，、（其中成绩大于90为优秀），下面给出了部分 信息、七年级抽取的20名学生的成绩在等级中的数据是：81，85，85，85，85，89． 八年级抽取的20名学生的成绩在等级中的数据是：82，84，85，85，87，89，89． 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 81.4 85 八年级 83.3 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，并直接写出a、b的值； （2）根据以上数据分析，你认为哪个年级竞赛成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七、八年级各有800名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？ 22. 随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售，已知B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元． （1）梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？ （2）已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，1440元购买B款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？ 23. 如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为t． （1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合图象直接写出时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图，小明家在地，小亮家在地，图书馆在地，在处测得图书馆在的西北方向上，在处测得图书馆在的北偏东方向上，已知米．（参考数据：，，） （1）求小明家A到小亮家B的距离；（结果保留根号） （2）如图，分别是，的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． （1）求出的面积； （2）如图，点是直线上方抛物线上一点，是线段上一点且满足，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线，为与轴的交点，为新抛物线对称轴上一点，点平移后的对应点为，在平面内确定一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的过程． 26. 如图，中，在上，在上，，在上，． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，在上，，求证：； （3）如图，若，当周长最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】的相反数是． 故选：C． 2. 下图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 如图，，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据垂直的定义得到，进而利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 4. 估计的值应在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 【详解】解： , , 的值应在3和4之间． 故选：B． 5. 如图，，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 6. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（　　） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中三角形的个数，从而可以发现三角形个数的变化规律，进而得到第⑧个图案中三角形的个数． 【详解】解：由图可知， 第①个图案中三角形的个数为：（个）， 第②个图案中三角形的个数为：（个）， 第③个图案中三角形的个数为：（个）， 则第⑧个图案中三角形的个数为：（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 7. 小区新增了一家快递店，第一天揽件300件，第三天揽件363件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】设该快递店揽件日平均增长率为， 根据题意，可列方程：， 故选：A． 8. 如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点D，连接．若平分，，则线段的长是（　　） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，已知切线作过切点的半径是常作的辅助线；连接，由等腰三角形的性质及角平分线的定义得，得；设，由含直角三角形的性质，可得，由勾股定理得，由建立方程即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的半径，是的切线，点D是切点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，四边形为正方形，E为上一点，于点F，连接，设，若，则可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点D作于G，根据正方形性质得到，证明得到，再由线段之间的关系推出，则是等腰直角三角形，得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，过点D作于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 在多项式中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得，此时．再将“+b”改为“”，可得．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：或．下列说法正确的个数为①若，，则；②共有2种“绝对操作”，可能得到；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“”（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意，读懂题目然后根据绝对值的意义进行化简即可得解． 【详解】解：依据题意，分别分析如下： ①，即， 又0的绝对值是0， ． ． ①正确． ②，，则可能． ，则可能． ，，则可能． ②正确． ③时只有1个“”， 时，有2个“”， 时，有3个“”． ③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题时注意结合分类讨论是关键． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂的运算是解题的关键． 先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后求和即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，，0，2，把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据概率公式求概率，掌握事件A的概率等于所求事件数与总情况数之比，是解题的关键．直接用概率公式计算即可． 【详解】解： 四张标有数字，，0，2，的卡片，摸到每一张的可能性是均等的， ∵所有等可能的结果有4种，其中的有3种， ∴随机抽取1张将上面的数字记作a，则的概率是． 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 14. 如图，直线解析式为，轴于点B，反比例函数过中点C，若的面积为2，则k的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键．连接，根据为的中点，求出，根据k的几何意义求出即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的中点， ∴， ∵轴于点B， ∴． 故答案：2． 15. 如图，，，于D，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 故答案：4． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16. 如图，矩形中，，．以A为圆心，为半径作弧交于点E，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】可得，可求，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， 四边形是矩形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，勾股定理等，掌握相关的性质是解题的关键． 17. 若关于x的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数a的和为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由分式方程有正整数解，确定出满足条件a的值，将不等式组整理后，由不等式组至少有两个整数解确定出a的范围，综合求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴． ∵分式方程有可能产生增根2， ∴， ∴． ∵关于x的分式方程有正整数解， ∴，1，5， ， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于y的不等式组至少有两个整数解， ∴， ∴． 综上，整数，0． ∴满足条件的整数a的和为． 故答案为：1． 18. 一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n，把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算_________；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且F（s）被11除余7，，则满足条件的所有s的平均数为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题属于新定义题型．由题意可得：，，可计算，设，，可得，，进而可得，可确定值，再由被11除余7，分当时，，和当时，，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 设，， ， 同理， ， 即， ， 或， 被11除余7， 当时，，， 当商为1时，， ， 当商为2时，， （舍， 当商为3时，， （舍， 当商为4时，， （舍， 当商为5时，， （舍， 当商大于等于6，即时，（舍， 当时，，， 当商为1时，， ， 当商为2时，， （舍， 当商为3时，， （舍， 当商为4时，， （舍， 当商为5时，， （舍， 当商为6时，， （舍， 当商大于等于7，即时，（舍， 综上所述：，，或，，， 或， 即的平均数为：． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 在学习矩形的过程中，小明发现将矩形折叠，使得点B与点D重合，所得折痕在的垂直平分线上，折痕平分矩形的面积．他想对此折痕平分矩形的面积进行证明．他的思路是首先作出线段的垂直平分线，通过三角形全等的证明，将折痕左侧的四边形的面积转化为三角形的面积，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：用直尺和圆规，作的垂直平分线，交于点M，交于点N，垂足为点O． ∵四边形矩形， ∴① ， ∴，， ∵② ， ∴③ ， ∴， ， ， ， 又∵， ∴④ ， 即平分矩形的面积． 【答案】，垂直平分线段，，． 【解析】 【分析】根据要求作出图形，证明推出，可得结论． 【详解】解：图形如图所示： 四边形是矩形， ①， ，， ②垂直平分线段， ③， ， ， 又， ④， 即平分矩形的面积． 故答案为：，垂直平分线段，，． 【点睛】本题考查作图复杂作图，矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和分式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先用完全平方公式和平方差公式计算，同时计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （2）先算括号里面的加减法，再算括号外面的除法． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 21. 某中学以“守法规知礼让，安全文明出行”为主题，组织全校交通安全知识竞赛．现从七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩均为整数，成绩得分用表示），共分成五个等级：、，、，、，、，、（其中成绩大于90为优秀），下面给出了部分 信息、七年级抽取的20名学生的成绩在等级中的数据是：81，85，85，85，85，89． 八年级抽取的20名学生的成绩在等级中的数据是：82，84，85，85，87，89，89． 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 81.4 85 八年级 83.3 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图，并直接写出a、b的值； （2）根据以上数据分析，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知该校七、八年级各有800名学生参与了知识竞赛，请估计两个年级竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？ 【答案】（1）图见解析，83，100； （2）八年级的成绩好一些，理由见解析； （3）估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有440人． 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，利用数形结合的思想解答． （1）根据总人数是20人，可得组的人数为：（人），从而补全条形统计图，然后根据中位数和众数的定义求出、的值； （2）根据表格中的数据，可以得到哪个年级的成绩好一些，并说明理由； （3）用样本估计总体可得结果． 【小问1详解】 解：七年级抽取的20名学生的竞赛成绩在等级人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 因为七年级取的20名学生的竞赛成绩从小到大排在中间的两个数分别是81，85，所以； 八年级满分率为，也就是有5人，故众数为100； 【小问2详解】 解：八年级的成绩好一些， 理由：八年级的平均成绩好于七年级，中位数也大于七年级，故八年级的成绩好一些； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级竞赛成绩优秀的学生共有440人． 22. 随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售，已知B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元． （1）梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？ （2）已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，1440元购买B款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？ 【答案】（1）去年5月款玩具销售单价为25元，款玩具销售单价为40元； （2）去年5月购进款玩具60套． 【解析】 【分析】（1）设去年5月款玩具销售单价为元，款玩具销售单价为元，根据款玩具每套售价比款玩具每套售价的两倍少10元．买了3个款玩具和5个款玩具一共花费275元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设一个款玩具的成本为元，则一个款玩具的成本为元，根据去年5月某儿童用品超市购进，两款儿童玩具共180套，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【小问1详解】 设去年5月款玩具销售单价为元，款玩具销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：去年5月款玩具销售单价为25元，款玩具销售单价为40元； 【小问2详解】 设一个款玩具的成本为元，则一个款玩具的成本为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （套， 答：去年5月购进款玩具60套． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 23. 如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为t． （1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合图象直接写出时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）画图见解析，当时，取最小值3 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，，可得，，分两种情况：当时，，，当时，，； （2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质； （3）观察图象可得答案． 【小问1详解】 根据题意得：，，， ，， ， ， ， 当时，如图： ， ， 当时，如图： ， ； ； 【小问2详解】 当时，，当时，；当时，， 画出函数图象如下： 由图象可知，当时，取最小值3（答案不唯一）； 【小问3详解】 观察图象可得，时，或． 【点睛】本题考查三角形综合应用，等边三角形的性质，涉及一次函数及图象，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24. 如图，小明家在地，小亮家在地，图书馆在地，在处测得图书馆在的西北方向上，在处测得图书馆在的北偏东方向上，已知米．（参考数据：，，） （1）求小明家A到小亮家B的距离；（结果保留根号） （2）如图，分别是，的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？ 【答案】（1）小明家A到小亮家B的距离是米； （2）小亮先到达图书馆，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用—方向角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． （1）作于，得到，由锐角的正弦求出的长，由是等腰直角三角形，得到（米； （2）由三角形中位线定理求出的长，即可求出小亮行走的路程，求出的长即可得到小明行走的路程，从而求出小明，小亮行走的时间，即可解决问题； 【小问1详解】 作于， ，， ， ，米， （米， 是等腰直角三角形， （米， 小明家到小亮家的距离是米． 【小问2详解】 小明的路程是（米，小明的速度是米分钟， 小明从家到图书馆的时间是（分钟）， ，分别是，的中点， 是的中位线， （米， 小亮的路程是（米， 小亮从家到图书馆的时间是（分钟）， 小亮先到达图书馆． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，连接，． （1）求出的面积； （2）如图，点是直线上方抛物线上一点，是线段上一点且满足，求的最大值及此时点的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线，为与轴的交点，为新抛物线对称轴上一点，点平移后的对应点为，在平面内确定一点，使得以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）最大值为，的坐标为：； （3）点的坐标为：，或，；过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用． （1）分别求得的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）先求得， 则，进而求得直线的表达式为：，设，则点，得出，根据二次函数的性质即可求解； （3）由点、的坐标得：点向左平移个单位向下3个单位得到点，则点且向左平移个单位向下3个单位得到点且，列出方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：对于①，当时，， 令，则或， 即点、、的坐标分别为：、、， 则的面积； 【小问2详解】 由点、的坐标知，， ， ∴， 由点、，设直线解析式为， ∴ 解得： 直线的表达式为：， 设，则点， 则 ， 则， ， 故有最大值为，此时点的坐标为：； 【小问3详解】 抛物线沿射线方向平移2个单位，相当于抛物线向右平移个单位、向下平移1个单位，则点，， 则， 则点， 设点，，点， 由点、的坐标得，， 由点、的坐标得：点向左平移个单位向下3个单位得到点， 则点且向左平移个单位向下3个单位得到点且， 则或， 解得：或， 故点的坐标为：，或，． 26. 如图，中，在上，在上，，在上，． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，在上，，求证：； （3）如图，若，当周长最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形、相似三角形等，解题的关键在于画出辅助线． （1）先说明，然后用证明，得到；（2）仿照（1）得，出现中点倍长中线，利用相似得；（3）先说明，即点的轨迹是条直线，然后考虑将军饮马，最后求的面积． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：延长至使，由（1）得， ， 延长至使，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长至使， ， ， ， ， ， ， ， 过作的对称点，连接， ， 当三点共线时周长最小， 当周长最小时如图所示： ， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$