天津市耀华中学2025届高三上学期数学学科综合练习

天津市耀华中学2025届高三数学学科综合练习 第I卷（选择题共45分) 一，选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小恩的4个选项中，只有 项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上。 上已知集合A=山，2,35,61，若aeA,beA,则离心率互不相同的椭圆兰 y +京 的个数为 A.15 B.13 C.13 D.11 设a,b为正实数，则“a<b”是“a-。<b-”成立 b A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C。充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设函数g()的图像与f)=2红+ 4x+3 (x∈R且x≠为的图像天十直线y=x对称， 则g(2)的值等于 人君 R号 品 4.已知1是虚数单位，使(1+)”为实数的最小正整数n为 A.2 B.4 C.6 D.8 5通数倒=C后-功+s加管+习+血x+a风在-受孕上的摄小值等于 1,则a= A.1 B.2 C.0 D.-2 6.己知直线m、n,平面a必、B,且mLa,ncB,给出下列命题：①若a/1B,则m山n: ②若m山n,则aI1B:®若alB,则m/n:④苦m/n,则LB,其中正确的命题是 A.①④ B①③ C.②③ D.③④ 7.已知实数m,n满足0<1.<m<1,给出下列关系式 ①2"=3”②10g2m=log,n③m2=n 其中可能成立的有 4.0个 3.1个 C.2个 D.3个 第1页共4页 8.在△MBc中，而C=历--2.则@+C的值为： A.4 B.2 C.8 D.6 9.已知定义在R上的函数f(),当x>-1时，f()= [2x+1,-1<x≤0， 且f(x-1) 1n,x>0, 为奇函数，若方程()=在+k(k∈R)的根为名，为2，…，xn,则名+2+…+x的所有 的取值为 A.6或-4或-2 B.-7或-5或-3 C.-8或6或4或-2 D.-9或-7或-5或-3 第Ⅱ卷（非选择题共55分） 二，填空题：，本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答警填写在答题纸上 10.4个男生2个女生排成-排，若女生不能排在两端，且又不相邻，则不同的#法数有 种 11.以抛物线C:y2=8x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 12甲、7两使句学进行定点投篮比赛，每局比赛甲、乙每人各投篮一次，若一方命中 且另+方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局.已知甲、乙每次投篮命中的 概率分别为兰和子，且每局比赛甲、乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响，设共进 5 4 行了3局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X,则X的数学期望E(X)=一一 1点.已加函数因=加@rx+号o>0,若数f倒图象上的-个对称中心树 称轴的距离的最小值为行，则0的值为 14.若x-2x3+x2+1=a(x+1)+b(x+1)3+c(x+1)2+dx+10+5,则b= 15.如图，n2(n之4)个正数排成n行n列方阵.符号a,0≤1≤nml≤J≤nij∈N表 示位于第1行第j列的正数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成比数列，且 各列数的公比都等于q.若1=乞4=1m=行则0%= 第2页共4页 au an au ajn aa an au aan ant dn2 an Dun 三.解答题：本大题共3个小题，共计31分，请在解答时写出必要的文字说明、证明过 程或滴算步骤答案写在答题卡的相应位置上。 16.(本小题满分10分) 在ABC,角4，B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA:sinB:sinC=2:l:√互，b=√互， (I)求a的值： (II)求cosC的值： (mD求如2C-孕的值 17.（小题满分10分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2, PD=2√5，∠PAB=60°. p B (1)证明AD⊥平面PAB: (2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值： (3)求二面角P-BD-A的正切值， 第3页共4页 18.(本小题满分11分) 已知函数f(x)=ax+x山x的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (1)求实数a的值： (2)若kez,且k<I☒ 时任意x>1恒成立，求k的最大值： x-1 第4页共4页天津市耀华中学2025届高 一、单选题 1 2 3 4 5 0 & A & 、 填空题 10 11 12 144 (x-1)2+(y±2W2)2=9 0.2:0.6 三、解答题 16.【考查目标】必备知识：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒 等变换等知识.关键能力：逻辑思维能力和运算求解能力.学科素 养：理性思维和数学探索 【解题思路】(1）利用正弦定军交形得出a=6~册，结合摄日 中条件即可求解；（Ⅱ）通过正弦定理角化边，得到边长之比，再用余 弦定理，求得cosC;(Ⅲ)由（Ⅱ）求得sinC,进而由二倍角公式求得 sin2C,cos2C,最后利用两角差的正弦公式求解. 解，(1）由正弦定理后品A品B得a6,品台 因为sinA:sinB=2:1,b=√2， 所以a=2×子=22 (Ⅱ)由正弦定理可得a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:1:√2 不妨设a=2k(k>0),则b=k,c=2k, 由余弦定理可得cosC=。+B-d。(2k)2+2-(2k) 2ab 2×2k×k 3k23 4农=4 ()由题意结合围可知，血=个-C=√-（子产-， 所以m2c=2血6mc=2×4×}-7m20=2omc-1 2x(2)2-1=8 1 所以m(2c-名)=m20m8-w20m君-7×9-日 6 6 }。 16 17、 )证明：在△PAD中，由题设PA=2,PD=2V2, 可得PA2+AD2=PD于是ADLPA. 在矩形ABCD中，AD⊥AB.又PAOAB=A, 所以AD1平面PAB. (由题设，BCAD, 所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角， 在△PAB中，由余弦定理得 PB =VPA+AB-2PA·AB·cos PAB =V7 由(I)知ADI平面PAB,PBC平面PAB, 所以AD⊥PB,因而BC1PB,于是△PBC是直角三角 形，故mPoB=股= 所以异面直线Po与AD所成的角的大小为tm受， 数学学科综合练习答案 6 7 8 9 A D 13 14 15 1 2 -6 16 (I过点P做PH⊥AB于H,过点H做HE⊥BD于E,连接 PE 因为AD⊥平面PAB,PHC平面PAB,所以AD⊥PH.又 ADOAB=A, 因而PH⊥平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射 影. 由三垂线定理可知，BD⊥PE,从而∠PEH是二面角 P-BD-A的平面角， 由题设可得， PH=PA·sin60°=V3,AH=PA.cos60°=1， BH=AB-AH=2,BD=VAB2 +AD2=VI3, HB=品册=品 于是在Rr△PHE中，tanPEH=y网 所以二面角P-BD-A的大小为arctan 4 18 1.因为f(x)=ax+xlnc.所以 f(x)=a+lnx+1.因为函数 f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜 率为3，所以f(e)=3,即a+lne+1=3,所 以a=1. 2.由（1)知，f(x)=x+xlnx,所以 k< (@）对任意x>1恒成立，即 2北-1 k< +lnC对任意>1恒成立.令 e-1 9()十x山x，则g(x)=C x-Inc-2 (x-1)2 令h(x)=x-lnx-2(x>1),则 w()=1-1=-1>0, 所以函数h(x)在 (1,+o)上单调递增.因为h(3)=1-ln3<0, h(4)=2-21n2>0,所以方程h(c)=0在 (1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4). 当1<x<x0时，h(x)<0,即gl(x)<0;当 x>x0时，h(x)>0,即(x)>0,所以函数 9e)=心+在1,0)上单调递减，在 c-1 (c0,+oo)上单调递增，所以 [g(2)]min=g(20)= 0(1+lnc0) c0-1 x0(1+c0-2) =c0∈(3,4) 2c0-1 所以<[g(x)lmin=x0∈(3,4)， 故整数k的 最大值是3，