精品解析：华东师大版2023-2024学年七年级数学下册综合试题

华东师大版七年级数学综合试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．本堂考试 120分钟，满分150分； 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共48分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若a>b，下列不等式不一定成立的是（ ） A B. C. D. 4. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 5. 若是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 下列形状能和正八边形组合在起进行密铺的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 菱形 D. 正六边形 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将他们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为（ ） A 108° B. 120° C. 135° D. 144° 9. 已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（ ） A. 6＜a≤7 B. 7＜a≤8 C. 7≤a＜8 D. 7≤a≤8 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 130° 11. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A. 27 B. 42 C. 55 D. 210 12. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 13. 小明从镜子里看到对面电子钟像如图所示，则实际时间是________． 14. 已知3x﹣2y＝10，请用含x的代数式表示y．则y＝_____． 15. 如图，ABD与EBC全等，点A和点E是对应点，AB＝1，BC＝3，则DE长等于________． 16. 若关于x的方程是一元一次方程，则________． 17. 如图，中，已知D是的中点，E是的中点，则与的面积之比为_____． 18. 如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D，点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为______． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： 20. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题： （1）将△ABC向下平移5格得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形； （3）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小． 22. 解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值． 23. 如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 2022年眉山市中考新体考从总分50分调整为60分，采取“”方式，即4个规定项目加1个选考项目，选考项目在足球、篮球、排球、乒乓球中任选一项参加考试．某校为备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元． （1）求排球与篮球的单价； （2）学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.2倍，请问有多少种购买方案？如何购买费用最低，最低费用是多少元？ 25. 【阅读材料】 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组解为． 【解决问题】 （1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求的值． 26. ∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=　　° （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D=　　　　°． ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师大版七年级数学综合试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．本堂考试 120分钟，满分150分； 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共48分） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程定义即可求解． 【详解】A、选项含有两个未知数x、y，故错误； B、选项只含有未知数x，且x的次数为1，π是数字，符合一元一次方程的条件，故正确； C、选项含有两个未知数m、n，故错误； D、选项含有三个未知数x、y、z，故错误． 故选：B 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，正确认识一元一次方程是含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程是解题关键． 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 若a>b，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、a＞b，则2+a＞2+b，所以该选项不符合题意； B、a＞b，则-a＜-b，所以25-a＜2-b，所以该选项符合题意； C、a＞b，则2a＞2b，所以该选项不符合题意； D、a＞b，则，所以该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的基本性质是解决问题的关键．特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 4. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，是解题的关键． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为3和7， 则：第三边的的取值范围为：，即：； ∴第三边长可能为5； 故选：B． 5. 若是关于x、y的二元一次方程，则k的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义列出是解题的关键． 6. 下列形状能和正八边形组合在起进行密铺的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 菱形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的镶嵌，正多边形的组合能否构成平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能镶嵌；反之，则说明不能镶嵌． 【详解】解：正八边形的每个内角为：， A、正三角形的每个内角是，，故不能正八边形进行密铺； B、正方形的每个内角都是，，故能正八边形进行密铺； C、菱形的每个内角的度数不确定，故不能正八边形进行密铺； D、正六边形的每个内角为，，故不能正八边形进行密铺； 故选：B． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 8. 如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将他们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为（ ） A. 108° B. 120° C. 135° D. 144° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出正五边形的每个内角的度数，然后由邻补角及三角形内角和定理得出∠3=36°，最后利用圆周角求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得正五边形的每个内角的度数为：， ∴∠4=∠5=108°，∠1=∠2=180°-108°=72°， ∴∠3=180°-72°-72°=36°， ∴∠AOB=360°-∠4-∠5-∠3=108°， 故选：A． 【点睛】题目主要考查正多边形的每个内角的度数及三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． 9. 已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（ ） A. 6＜a≤7 B. 7＜a≤8 C. 7≤a＜8 D. 7≤a≤8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解，最后确定整数解，进而求出参数的值． 【详解】解： 解不等式①得：x＞2； 解不等式②得：x＜a； 因为不等式组有解；所以不等式组的解集为2＜x＜a， 因为不等式有五个整数解，所以这五个整数解为x=3，4，5，6，7， 所以7＜a≤8， 故答案为：B． 【点睛】本题考查含参不等式组的解法以及整数解的确定，在确定参数范围时可利用数轴通过数形结合思想确定，特别注意边界值的取等情况． 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 130° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质及题意易得∠EAB的度数，然后直接进行求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝105°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75° ∴旋转角α的度数是75°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解． 11. 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ） A. 27 B. 42 C. 55 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，孩子出生的天数的五进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的五进制数为132， 化为十进制数为：132＝1×52＋3×51＋2×50＝42． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了进位制，解题的关键是会将五进制转化成十进制． 12. 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，即可判定①②正确；根据等角的余角相等，即可判定④正确． 【详解】∵AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠BAF＝∠BAC，∠ABF＝∠ABC， 又∵∠C＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝45°， ∴∠AFB＝135°，故①正确； ∵DG∥AB， ∴∠BDG＝∠ABC＝2∠CBE，故②正确； ∵∠ABC的度数不确定， ∴BC平分∠ABG不一定成立，故③错误； ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， 又∵∠C＝∠ABG＝90°， ∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠ABF+∠FBG＝90°， ∴∠BEC＝∠FBG，故④正确． 故选：C 【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形内角和定理、平行线的性质以及等角的余角相等等知识，熟练运用这些知识点是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 13. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是________． 【答案】15：01 【解析】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为15：01； 故答案为：15：01 【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 14. 已知3x﹣2y＝10，请用含x的代数式表示y．则y＝_____． 【答案】x﹣5 【解析】 【分析】通过移项，化系数为1，用含x的代数式表示y． 【详解】解：∵3x﹣2y＝10， ∴2y＝3x﹣10， ∴y＝x﹣5， 故答案为：x﹣5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确的将方程变形是解题的关键． 15. 如图，ABD与EBC全等，点A和点E是对应点，AB＝1，BC＝3，则DE的长等于________． 【答案】2 【解析】 【分析】再根据全等三角形对应线段相等，从而DE=BD-BE=BC-AB得解． 【详解】解：因为△ABD≌△EBC 所以BE=AB，BC=BD， 因为AB＝1，BC＝3， 所以DE=BD-BE=BC-AB=3-1=2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，首先分清楚对应点和对应线段是解题关键． 16. 若关于x的方程是一元一次方程，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，或0， ∴． 故答案为：0． 17. 如图，中，已知D是的中点，E是的中点，则与的面积之比为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由图可知，和等底等高，所以，同理可得，代入即可求出． 【详解】解：∵中，是中点， ， 又是的中点， ， ． 的面积与的面积之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积的等积变换，熟练找出相关联的底、高是解答本题的关键． 18. 如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D，点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】由折叠性质可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性质得∠A=∠B=∠3= 45°，即可得到∠3+∠B= 90°；设∠ADE=∠FED=，∠AED=∠FED=，可得∠1 +∠ADE+∠FED=∠1 + 2=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+ 2= 180°②，∠A++= 180°，即可推导出∠1 +∠2=90°；∠1与∠2不一定相等，DF与AB不一定平行，即可确定答案． 【详解】解：由折叠的性质，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED =∠FED， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠C = 90°， ∴∠A=∠B=∠3= 45°， ∴∠3+∠B= 90°， 故选项③正确； 设∠ADE=∠FED=，∠AED=∠FED=， ∴∠1 +∠ADE+∠FED=∠1 + 2=180°①， ∠2+∠AED+∠FED=∠2+ 2= 180°②， ∠A++= 180°， 由①＋②得：， ∴∠1 +∠2=90°， 故②正确； ∵∠1 +∠2=90°，∠1与∠2不一定相等， 故①不一定正确； ∵点F是边上的一点，不固定， ∴DF与AB不一定平行， 故④不一定正确． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题要注意：去分母时无分母项不要漏乘公分母． 20. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】-4≤x<4，见解析 【解析】 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”写出不等式组的解集，然后根据“小左大右，含等号用实心点，不含等号用空心圈”在数轴上画出解集． 【详解】解：解 解不等式①得x≥－4 解不等式②得x＜4 ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查解不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的基本思路是关键． 21. 如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题： （1）将△ABC向下平移5格得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形； （3）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析. 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）如图所示: △A1B1C1即为所求； （2）如图所示: △DEF即为所求； （3）如图所示: P点位置,使△ABP周长最小． 22. 解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得方程组的解为，乙因看漏c，从而求得方程组的解为，试求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】甲同学因看错a符号，把x=3，y=2代入x+cy=4，求出c，因看错a符号，得-3a+2b=6，乙因看漏c，把x=6，y=-2代入ax+by=6，组成新的二元二次方程组，解出即可． 【详解】解：∵甲同学因看错a符号， ∴把，代入， 得， 所以． ∵乙因看漏c， ∴把，代入， 得， 得， 解得，，． 所以. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键理解看错字母得出方程组的解的含义． 23. 如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）35° 【解析】 【分析】（1）根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证； （2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED=∠CAE，即可求解． 【详解】（1）证明：∵≌， ∴∠BAC=∠DAE， 即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE， ∴； （2）∵，， ∴∠CAE=35°， ∵≌， ∴∠C=∠AED， ∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED， ∴∠BED=∠CAE=35°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键． 24. 2022年眉山市中考新体考从总分50分调整为60分，采取“”方式，即4个规定项目加1个选考项目，选考项目在足球、篮球、排球、乒乓球中任选一项参加考试．某校为备考练习，准备购买一批新的排球、篮球，若购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元． （1）求排球与篮球的单价； （2）学校决定购买排球和篮球共80个，且排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.2倍，请问有多少种购买方案？如何购买费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）每个排球30元，每个篮球80元； （2）有4种购买方案；购买篮球37个，排球43个，购买费用最低，最低费用是4250元． 【解析】 【分析】（1）设每个排球x元，每个篮球y元，根据“购买10个排球和15个篮球，共需1500元；若购买12个排球和10个篮球，共需1160元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买费用是W元，购买篮球a个，则购买排球（80-a）个，根据排球的数量超过篮球的数量，但不多于篮球数量的1.2倍，可得a的取值范围，而W=80a+30（80-a）=50a+2400，由一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每个排球x元，每个篮球y元， 依题意得：， 解得：． 答：每个排球30元，每个篮球80元； 【小问2详解】 解：设购买费用是W元，购买篮球a个，则购买排球（80-a）个， 依题意得：， 解得：36≤a≤40， a的值为37、38、39、40， ∴有4种购买方案； 又W=80a+30（80-a）=50a+2400， ∵50＞0， ∴W随a的增大而增大， ∴a=37时，W取最小值，最小值为50×37+2400=4250（元）， 此时80-a=80-37=43（个）， 答：有4种购买方案；购买篮球37个，排球43个，购买费用最低，最低费用是4250元． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组的应用及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． 25. 阅读材料】 善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：，即，把方程①代入③得：，所以，将代入①得，所以原方程组的解为． 【解决问题】 （1）请模仿小明“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，即可得到答案； （2）根据题意，利用整体的思想进行解方程组，求得，再整体代入即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 将方程变形得：， 把方程代入得：， 所以， 将代入得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 把方程变形，得到， 然后把代入，得， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了方程组的“整体代入”的解法．整体代入法，就是变形组中的一个方程，使该方程左边变形为另一个方程的左边的倍数加一个未知数的形式，整体代入，求出一个未知数，再代入求出另一个未知数． 26. ∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． （1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=　　° （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D=　　　　°． ②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． （3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数． 【答案】（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45° 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； ②证明和推理过程同①的求解过程； （3）由（2）的证明求解思路，不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】（1） （2）①如图所示 AD与BO交于点E， ②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化 设，因为AD平分∠BAO，所以，因为∠AOB=90°，所以。因为BC平分，所以。又因为。所以 （3）因为∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E， 所以， 所以 因为AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线， 所以在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍， 则①当时，得，此时 ②当时，得，此时，舍去。 ③当时，得，此时 ④当时，得，此时，舍去。 综上可知，∠ABO的度数为60°或45°。 【点睛】前两问熟练运用三角形内角和定理、两角互余、两角互补、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明=90°，再分情况进行讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$