福建省福清第一中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试卷

2023—2024学年福建省福清一中高二（上）月考 数学试卷（1月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，平行六面体的各棱长均为2， ，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知矩形中，为线段上一动点（不含端点），记，现将沿直线翻折到的位置，记直线与直线所成的角为，则（ ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，若，则（ ） A． B．3 C． D．2 4．已知直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线与曲线相交，交点依次为，若，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点均在椭圆上，且则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点点在上， ，且的面积为1，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．如图，在直三棱柱中，若，，是棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A．点到平面的距离为 B．是平面的一个法向量 C．点到平面的距离为 D． 10．已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（ ） A．线段的垂直平分线所在的直线方程为 B．直线的方程为 C． D．若点是圆上的一点，则面积的最大值为 11．如图，双曲线的光学性质：是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分．若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A．若射线所在直线的斜率为，则 B．当时， C．当时， D．若点的坐标为，直线与相切，则 12．下列说法中不正确的是（ ） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且， ，则______． 14．已知，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为______． 15．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点。且，则______． 16．已知的三个顶点都在抛物线上，且点为抛物线的焦点，若，则______． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题10分） 如图，四边形为正方形，平面于点，交于点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值。 18．（本小题12分） 如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，四边形是梯形，且，为圆上一点。 （1）若点在线段上，且，求证：平面； （2）当直线与平面所成的角为时，求二面角的正弦值。 19．（本小题12分） 如图，已知圆，点． （1）求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程： （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程 20．（本小题12分） 已知直线，直线，其中． （1）若直线经过点，且，求； （2）若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程 21．（本小题12分） 已知双曲线的右焦点为，直线与的渐近线相交于点，且的面积为． （1）求的标准方程： （2）过点作直线与的右支相交于两点，若轴上的点使得等式恒成立，求证：点的横坐标为． 22．（本小题12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过点作直线轴，与交于两点（在上方），且四边形的面积为10，的面积为 （1）求椭圆的方程： （2）已知，是否存在过点的直线与曲线交于在上方）两点，使得与的面积比为?若存在，请求出直线的方程：若不存在，请说明理由． 答案和解析 1．【答案】B 【解析】解：平行六面体的各棱长均为2，， 故选：B． 分析得出，利用平面向量数量积即可求得的值． 本题考查知识点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于基础题。 2．【答案】B 【解析】解：A、B选项： 因为， 所以， 所以，A错误，B正确： 由于在上单调递减，故，不确定和的大小关系，CD错误。故选：B． 利用空间向量夹角余弦公式和向量数量积公式得到 ，由三角形三边关系得到，求出答案 本题考查向量的夹角公式，属于难题， 3．【答案】A 【解析】解：由题意可得， 因为， 所以， 解得． 故选：A． 根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可， 本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题 4．【答案】A 【解析】解：由直线的方程为，得斜率， 则 故选：A． 根据直线一般方程可求得的值，再利用诱导公式及同角三角函数之间的基本关系可得其结果． 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系的应用及三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 5．【答案】A 【解析】解：令，由， 得曲线关于点对称，且在上单调递增， 由直线与曲线依次交于点，，得点， 由消去得即 令则 则函数为偶函数，又函数在上单调递增， ，有则 即函数在上单调递增，而在上单调递增，则在上单调递增， 而，于是的解为或，则点 所以直线的方程为，即． 故选：A． 根据给定条件，探讨函数的对称性求出点坐标，再怀线段长建立方程组，借助函数单调性及奇偶性求出点即可得解。 本题主要考查曲线与方程，函数的对称性，考查运算求解能力，属于中档题。 6．【答案】D 【解析】解：圆的圆心为，半径为， 由题意得，故在圆外， 所以的最大值为． 故选：D． 根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解。 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，考查运算求解能力，属于基础题． 7．【答案】C 【解析】解：设由，可得， 连接，则 由椭圆的定义，可得 又由知，点在上， 所以 即，可得， 则 因此可得， 所以． 故选：C． 设根据题意，得到，连接，求得结合椭圆的定义和，知列出方程，求得，由勾股定理可求得与的关系，进而求得椭圆的离心率。 本题考查椭圆的定义及性质，考查椭圆的离心率的求法，属于中档题 8．【答案】B 【解析】解：根据题意画出图象，如图： 易知的准线过点，过作于点，由抛物线的定义可知， 由，可知， 所以在中，，在中，， 由正弦定理得， 所以，所以， 则为等腰直角三角形，所以，又的面积为1， 所以的面积为2，所以，所以， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B． 根据抛物线的定义，结合几何关系确定出的大小，然后根据的面积列出关于的方程，由此求解出的值，则即可得到准线方程。 本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，方程思想，属中档题。 9．【答案】BCD 【解析】解：因为在直三棱柱中，，所以两两垂直。 以为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示， 根据， 可得， 对于，因为向量为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为，故A项错误； 对于B，因为， 所以， 可得，， 因为平面平面，所以平面，可知B项正确： 对于C，设平面的法向量为， 由，可得 取，得， 所以点到平面的距离， 故C项正确： 对于D，由，可知D项正确 故选：BCD． 根据题意，以为正交基底建立空间直角坐标系，得出各点的坐标，从而利用空间向量的坐标、向量数量积的运算法则，对各项的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案． 本题主要考查直三棱柱的性质、利用空间坐标系研究线面垂直、点到平面的距离求法等知识，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题． 10．【答案】ABD 【解析】解：由圆知圆心为， 所以直线的方程为，即， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确： 因为圆与圆，两圆方程作差， 可得直线的方程为，故B正确： 点到直线的距离，所以故C错误： 点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为故D正确。 故选：ABD． 根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D．本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题． 11．【答案】ABD 【解析】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为． 对于A，因为从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过．所以直线与双曲线有两个交点，所以故A正确： 对于B，由双曲线的定义，结合图形，可得又， 所以 因为 所以解得故B正确： 对于C，设，在中，由余弦定理得 又 所以， ，故C错误： 对于D，因为平分，由角平分线定理知， 所以又所以解得故D正确。故选：ABD． 对于A，由题意直线与双曲线有两个交点，结合渐近线斜率即可判断：对于B，结合双曲线定义勾股定理进行验算即可判断：对于C，由双曲线定义、余弦定理以及三角形面积公式即可判断；对于D，由双曲线定义结合角平分线定理即可验证， 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，是中档题， 12．【答案】ACD 【解析】解：对于A，若直线倾斜角大于，则直线的斜率存在负值，故A错误： 直线的倾斜角为，则， 因为，所以故B正确： 对于C，设直线与轴交点为，则与轴交点为， 当时，直线过原点，斜率为，故方程为； 当时，直线的斜率， 故直线方程为，即，故C错误： 直线斜率定义为倾斜角的正切值，但不能是，故D错误 故选：ACD． 利用倾斜角与斜率的关系及截距的定义一一判定选项即可 本题考查的知识要点：直线的方程，直线的倾斜角和斜率，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 13．【答案】 【解析】解：连接，如图所示： 则 又，所以． 故答案是：． 由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解． 本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 14．【答案】 【解析】解：如图所示： 因为， 所以直线的方程为： 点关于轴的对称点， 设点关于直线的对称点， 则，解得． 所以根据反射原理的对称性， 光线所经过的路程为 故答案为：． 首先求出关于轴对称点坐标，再求得关于直线的对称点坐标，线段的长即为所求路程。 本题考查的知识点：点关于线的对称，中点坐标公式，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 15．【答案】 【解析】解：因为是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点。且， 由，知， 所以 所以 解得 故答案为：． 根据余弦定理和椭圆的定义求解即可。 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题． 16．【答案】12 【解析】解：由抛物线可得焦准距为，准线方程为； 设 则 由于， 则 故， 即， 又的三个顶点都在抛物线上， 则 故答案为：12． 由抛物线方程确定焦点坐标以及准线方程，设根据向量的坐标运算推出，再根据抛物线的定义得出和的关系式，即可求得答案。本题考查了抛物线的性质，重点考查了向量的坐标运算及抛物线的定义，属中档题． 17．【答案】（1）证明：平面平面， ，又，且平面， 平面，又平面， ，又平面， 平面，即平面； （2）解：设，在中，， ，由（1）知平面平面， ，又， ，同理可得， 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则 设向量为平面的法向量， 则有， 令， 可得， 由（1）知平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，可知为锐角， 二面角的余弦值为：． 【解析】本题考查线面垂直的判定以及二面角余弦值的计算，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属于中档题． （1）结合已知及直线和平面垂直的判定定理可证平面，即得所求： （2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可。 18．【答案】解：（1）证明：取线段的中点，连接． 因为，所以且， 因此四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，所以． 又平面，平面，所以平面． 而平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）由圆锥的对称性不妨取点为如图所示位置，在圆锥底面内过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以就是直线与平面所成的角，所以，因为， 所以． 连接，则，即点为的中点。 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 于是． 设平面的法向量为则， 取，可得． 设平面的法向量为则， 取，可得 所以 故二面角的正弦值为 【解析】（1）利用平面和平面平行即可证线面平行： （2）利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角。 本题考查了空间中直线与平面平行的证明，考查了空间向量的应用，考查了数形结合思想，属于中档题。 19．【答案】（1）解：由，化为标准方程得 所以圆的圆心坐标为， 又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为， 设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得， 则有 解得，所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为． （2）解：因为圆弧恰为圆周长的， 根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为2， ①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为2，直线即为轴， 此时直线的方程为． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 可得，即，解得， 所以直线的方程，即， 故所求直线的方程为或． 【解析】（1）根据题意，得到圆的圆心坐标为，设圆的圆心坐标为，结合，列出方程，求得解得，进而得到圆的方程： （2）根据题意，得到点到直线的距离为2，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而求得直线的方程． 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键，是中档题。 20．【答案】解：（1）因为直线经过点，将点代入直线的方程可得，解得 又因为，所以，解得． 综上所述，． （2）根据题意，直线过定点，直线过定点． 因为，所以与之间的距离 当时，与之间的距离取得最大值， 此时， 又因为直线的斜率，直线的斜率为， 所以，解得， 所以直线的方程为． 【解析】（1）先利用点在直线上，求出，再利用两直线垂直的充要条件求出即可： （2）与之间的距离的最大值问题转化为两直线定点间的距离进行求解即可 本题考查了两直线平行垂直关系的运用，是基础题。 21．【答案】解：（1）双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线的交点坐标为 不妨设 则即， 所以，且，得， 所以双曲线的标准方程为； （2）由可知，， 根据正弦定理可知，，而， 所以， 所以，则， 所以， 设直线 联立得 所以 即 则，解得：， 所以点的横坐标为 【解析】（1）首先求点的坐标，并利用坐标表示的面积，即可求解双曲线方程： （2）首先由几何关系确定，再利用坐标表示，代入韦达定理，即可求解。 本题考查双曲线综合问题，属于中档题。 22．【答案】解：（1）设的焦距为，则，代入椭圆的方程， 得，解得，所以 由得， 由，得， 又，所以， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，假设存在直线，使得， 若存在斜率，设的方程为， 直线的方程为，所以直线过点， 所以 所以， 所以， 所以， 设 则 所以． 联立消去并整理得 则， 又，所以， 所以 解得， 所以的方程为； 若不存在斜率，则， 故， ，不合题意。 综上所述：存在直线，使得，且直线的方程为． 【解析】（1）根据题意分别求出，从而求解。 （2）分类讨论直线斜率存在和不存在的情况，当斜率存在时联立椭圆方程式利用根与系数的关系，从而求解． 本题考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想，属于中档题。 学科网（北京）股份有限公司 $$