精品解析：山东省淄博市张店区第七中学2023－2024学年九年级上学期自招选拔数学试卷（2023.12.1）

2023.12.1日张店七中初四校内自招选拔 一、选择题（共10小题） 1. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 2. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 3. 一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4.5 D. 6 6. 如图，四边形中，，，，依次是各边中点，是四边形内的一点.若四边形，，的面积分别为5，6，7，则四边形的面积为（ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 7. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 8. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ） A. 4 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1 9. 将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是正方形内一点，点到点，和的距离分别为1，，，延长与相交于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（共5小题） 11. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 12. 若双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1），则的值是______． 13. 如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则______°． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______． 15. 如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 三、解答题（共9小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若直线与抛物线的对称轴l交于点E，连接，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE． （1）求证：AC＝CD； （2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数． 19. 如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米? （2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 20. 某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元． （1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ （2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 21. 如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，． （1）求证：是圆的切线； （2）求的值． 22. 如图，P为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点E，过P作分别交，于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线对称，连接并延长交直线于点G，连接． ①设的度数为x，求的度数； ②猜想与之间的数量关系，并证明． 23. 平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点． （1）求抛物线的解析式和tan∠DAC； （2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE=2S△ACD，求点E的坐标； （3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ=∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长． 24. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023.12.1日张店七中初四校内自招选拔 一、选择题（共10小题） 1. 点经过某种图形变化后得到点，这种图形变化可以是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 绕原点逆时针旋转 D. 绕原点顺时针旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到即可． 【详解】因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4）， 所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 2. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误； B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误； C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误； D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 3. 一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式可以判断其必过点(2,0)，再根据一次函数是递增函数，将点(2,0)与选项各点逐一比较即可得解． 【详解】∵， ∴可知一次函数必经过点(2,0)， A．1＜2，1＞0，此时不满足y随x的增大而增大，故A项错误,不符合题意； B．-1＜2，3＞0，此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误,不符合题意； C．0＜2，-1＜0，此时满足y随x的增大而增大，故C项正确,符合题意； D．3＞2，-1＜0，此时不满足y随x的增大而增大，故D项错误,不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，找到一次函数经过定点(2,0)是解答本题关键． 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AF，利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，则∠BAF=90°，再根据线段垂直平分线的性质得到FA=FC，则∠FAC=∠C=30°，然后在Rt△AED中就是出AE=，在Rt△AEF中就是出EF=AE=1，AF=2EF=2，最后在Rt△ABF中就是出BF． 【详解】连接AF，如图， ∵AB=AC，∠BAC=120°． ∴∠B=∠C=30°， ∵ED垂直平分AC， ∴FA=FC， ∴∠FAC=∠C=30°， ∴∠AFD=60°，∠D=30°， ∴∠BAF=90°， 在Rt△AED中，AE=ED=， 在Rt△AEF中，EF=AE=1，AF=2EF=2， 在Rt△ABF中，BF=2AF=4． 故选：A． 【点睛】此题考查含30度角的直角三角形, 线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,解题关键在于掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之比为1：：2． 5. 如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短． 作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 6. 如图，四边形中，，，，依次是各边中点，是四边形内的一点.若四边形，，的面积分别为5，6，7，则四边形的面积为（ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可以得出，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，由此可以求出S四边形DHOG． 【详解】解：如图，连接， ∵E、F、G、H依次是各边的中点， ∴和等底等高， ∴， 同理可证，，， ∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE， ∵四边形，，的面积分别为5，6，7， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了关于四边形中点的面积问题，解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论． 7. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似建立等式，再根据根的判别式等于0建立方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵满足条件的点P有且只有一个， ∴方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理及性质，方程的思想，解题的关键是：掌握相似三角形的判定定理及建立方程进行求解． 8. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a＋m）（ a＋n）=2，（b＋m）（ b＋n）=2，则ab-mn的值为（ ） A. 4 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn2，从而得到abmn的值． 【详解】解：∵（a+m）（a+n）=2，（b+m）（b+n）=2， ∴a2+（m+n）a+mn2=0，b2+（m+n）b+mn2=0， 而a、b、m、n为互不相等的实数， ∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn2=0的两实数根， ∴ab=mn2， ∴abmn=2． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 9. 将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线与图象只有四个交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由题意知，直线在之间平移变化时，交点个数为4个，分别求出与图象只有3个交点时的值；当有3个交点时，将代入求解即可；当有3个交点时，根据与有1个交点，列一元二次方程，根据求解即可；进而可得的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，， 解得， ∴过点时，直线与图象有3个交点， 将代入得， 解得； 当与有1个交点时，与翻折后的图象有3个交点， ∴， 整理得， 令， 解得， ∴由图象可知，当时，直线与图象有4个交点 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，一元二次方程的根等知识．解题的关键在于数形结合找出交点为4个时一次函数的位置． 10. 如图，点是正方形内一点，点到点，和的距离分别为1，，，延长与相交于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转90°得到，作垂足为，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，求出，，利用∽得到，可得结论． 【详解】解：作垂足为，将绕点顺时针旋转得到，连接． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴AM=AE+EM=1+2=3， 在中，， 在和中，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选择：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理与勾股定理逆定理，解题关键是通过旋转构建直角三角形，利用勾股定理与逆定理，相似三角形性质和锐角三角函数求解是解题关键． 二、填空题（共5小题） 11. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1），则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先根据“双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1）”得到双曲线没有移动前经过的点的坐标，从而确定k的取值． 【详解】解：∵双曲线向右平移2个单位后经过点（4，1）， ∴双曲线没有移动时经过（2，1）， ∴k-1=2×1， 解得：k=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应两点的关系是解决问题的关键． 13. 如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则______°． 【答案】127.5 【解析】 【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数． 【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示． ∵和的度数分别是30°和120°， ∴∠AOD=30°，∠BOC=120°． ∵AB=CD， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定理是解题的关键． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE＝3，则sin∠BFD的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4， ∴∠A=∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF=∠A， ∴∠EDF=∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°， ∴∠CDE=∠BFD． 又∵AE=DE=3， ∴CE=4-3=1， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE= ； 故答案是：． 15. 如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值． 【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值 由题意可得：CD=,AE= ∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 ∴ 当y=0时，x=． 故填． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键． 三、解答题（共9小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且，求证：； （3）在（2）的条件下，若直线与抛物线的对称轴l交于点E，连接，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）在平面直角坐标系中， 在和中 ∴ ∴（全等三角形的对应边相等） （3）存在，当P点坐标是时，四边形面积的最大值是 【解析】 【分析】（1）由一次函数可求得A、B两点的坐标，从而用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）证明即可解决； （3）过点E作轴于点M，由可求得△ABE的面积为定值12；因此只要求出点P的位置使△PAB的面积最大，从而使四边形的面积最大；为此过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，设点P的坐标为，则可求得PN，且，由可得关于t的二次函数，从而求得△PAB面积的最大值，因而可得四边形BEAP面积的最大值，且可求得此时点P的坐标． 【详解】（1）一次函数与x轴的交点，令，则，解得； 与y轴的交点，令，则 ∴， 设抛物线的解析式为 把A，B，C三点坐标代入解析式，得解得 ∴抛物线的解析式为 （2） 略 （3）存在，理由如下： 过点E作轴于点M ∵ ∴抛物线的对称轴是直线 ∴E点的横坐标是2，即 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设点P的坐标为 过点P作轴于点，交直线AB于点N，过点B作于点，如图 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∵，抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当时，面积的最大值是，此时四边形的面积最大 ∴， 当时， ∴ ∴当P点坐标是时，四边形面积的最大值是． 【点睛】本题是二次函数与图形面积的综合问题，它考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，求二次函数的最值，求图形的面积等知识，求图形面积时用到了割补法，这是在平面直角坐标系中常用的求面积方法，用到了转化思想，即求四边形面积最大值问题转化为求三角形面积最大值问题． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将不等式的解集表示在数轴上如下： ． 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀即可确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查解不等式和不等式组的基本技能，熟练掌握解不等式和不等式组的基本步骤是解题的关键． 18. 如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE． （1）求证：AC＝CD； （2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数． 【答案】 （1）证明：∵∠BCE=∠ACD=90°， ∴∠3+∠4=∠4+∠5， ∴∠3=∠5， 在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AC=CD； （2）115° 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论； （2）根据∠ACD=80°，AC=CD，得到∠2=∠D=50°，根据等腰三角形的性质得到∠4=∠6=75°，由平角的定义得到∠DEC=180°-∠6=105°． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠ACD=80°，AC=CD， ∴∠2=∠D=50°， ∵AE=AC， ∴∠4=∠6=65°， ∴∠DEC=180°-∠6=115°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，等边对等角，（1）中掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，（2）中注意等腰三角形等边对等角． 19. 如图，一个梯子斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端距地面的垂直距离为的长． （1）若梯子的长度是，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端向外滑动多少米? （2）设，，，且，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1）梯子的底端向外滑动米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是米． 【解析】 【分析】（1）已知AB、BC，在直角中即可计算AC的长度，设梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可； （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得，，求解即可． 【详解】（1）在中，，， . 设梯子的底端向外滑动米，由题意得， ， 解得，（舍去） 即梯子的底端向外滑动米. （2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动米，由题意得， ， 解得，（舍去）， ，即梯子的底端向外滑动的距离是米． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际中生活中的应用，本题中根据梯子长度不会变的等量关系求解是解题关键． 20. 某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元． （1）商场第一次购入的空调每台进价是多少元？ （2）商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？ 【答案】（1）商场第一次购入的空调每台进价是元 （2）最多将8台空调打折出售 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．解答分式方程时，一定要注意验根． （1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元”列出分式方程解答即可； （2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得： ， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元； 【小问2详解】 设将y台空调打折出售，根据题意，得： ， 解得：， 答：最多将8台空调打折出售． 21. 如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，． （1）求证：是圆的切线； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ; ∵点是线段的中点，交于点， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是圆的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，，根据垂直平分线的判定与性质得，，再证明，最后根据相似三角形的性质即可求证； （）连接，利用相似三角形的判定与性质解答即可； 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 由已知可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，P为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点E，过P作分别交，于M，N． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F与点C关于直线对称，连接并延长交直线于点G，连接． ①设的度数为x，求的度数； ②猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：作于点，交于点， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①， ②，证明如下： 连接、， 由对称性可知，，， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作于点，交于点，得到四边形为矩形，利用矩形性质，正方形性质，三角形内角和定理证明，即可得到； （2）①利用正方形性质得到，利用对称的性质得到，，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理进而可得，再利用三角形外角性质即可得到的度数； ②连接、，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，利用正方形性质和勾股定理得到，证明，利用相似三角形性质得到，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， 四边形为正方形， ，， ， 点F与点C关于直线对称， ，， ， ， ． ②略 【点睛】本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． 23. 平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点． （1）求抛物线的解析式和tan∠DAC； （2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE=2S△ACD，求点E的坐标； （3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ=∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长． 【答案】（1）， （2）E（1，0）或（-4，-5） （3）点Q运动的路径长为 【解析】 【分析】（1）将点A（-3，0），B（1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+3可解的a，b的值，从而得到解析式，tan∠DAC=，可根据表达式求出C，D的坐标然后计算DC和AC的长度计算； （2）可取一点E，过E作EF平行于x轴，交AC于F此时可表示出S△ACE，根据类方程S△ACE=2S△ACD，求E点坐标即可； （3）根据题能得到Q的运动轨迹为直线，且当P在A处时Q在C处，当P运动到C处时，分别求出CQ，DQ'的长，即可求解． 【小问1详解】 解：将A（-3，0），B（1，0）分别代入抛物线y=ax2+bx+3可得： ，解得； ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3， ∴D（-1，4），C（0，3）； ∴AC=3，DC=； ∴tan∠DAC=； 【小问2详解】 解：如图1所示，过E作EF∥x轴交AC于点F， 设点E（m，-m2-2m+3），直线AC的表达式为y=kx+n， 将A（-3，0），C（0，3）分别代入y=kx+n可得： ，解得， ∴直线AC表达式为y=x+3， ∴F（-m2-2m，-m2-2m+3）， ∴EF=m+m2+2m=m2+3m， ∴S△ACE=（xC-xA）EF， ∵S△ACD=AC•CD=3， ∴S△ACE=（xC-xA）EF=2S△ACD=6， ∴（m2+3m）=6， 解得m1=1，m2=-4， ∴E（1，0）或（-4，-5）； 【小问3详解】 解：如图2所示， 当点P与点A重合时， ∵∠ADQ=∠DCA=90°， ∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC， ∴∠DAC=∠QDC， 又∵∠DCA=∠DCQ=90°， ∴△ADC∽△DQC， ∴， ∴CQ=， 当点P与点C重合时， ∴∠Q'DC=∠ACD=90°， ∴DQ'∥CQ， ∵∠DAC=∠Q'P'D，∠Q'DP'=∠ACD=90°， ∴△ADC∽△P'Q'D， ∴， ∴DQ'=， ∴DQ'=CQ， ∴四边形DQ'QC是平行四边形， ∴QQ'=CD=． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，运用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、正切函数、求直线与抛物线的交点坐标等知识，确定点Q的运动路径是解决第（3）小题的关键． 24. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6 （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2） 【解析】 【分析】（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标； （2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解． 【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n）， 由题意得． ∵点 D在的图象上，． ∵直线的图象与轴交于点A， ∴点A 的坐标为（－4，0）． ∵CHx轴，CH//y 轴．． 点D在反比例函数的图象上， 点 D 坐标为（4，3） （2）由（1）知轴，． ． 过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M， ． ． ∴点 E 的横坐标为－8. ∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题、的几何意义，属于中档难度的综合题型．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $