专题3.3 一元二次方程和一元二次不等式（八个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题3.3 一元二次方程和一元二次不等式 一、解不含参的一元二次不等式 五、解简单的分式不等式 二、三个“二次”的关系 六、一元二次不等式的实际应用 三、解含参的一元二次不等式 七、一元二次不等式恒成立问题 四、二次根的分布问题 八、一元二次不等式有解问题 知识点1一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 重难点一 解不含参的一元二次不等式 【例1】若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】求不等式的所有正整数解． 【变式1-2】求解下列不等式： (1) (2) 【变式1-3】函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 重难点二 三个“二次”的关系 【例3】（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是 . 【变式2-1】（多选）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 【变式2-2】已知不等式的解集为，则函数的所有零点之和等于 . 【变式2-3】已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值． 重难点三 解含参的一元二次不等式 【例5】已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【例6】解不等式 【变式3-1】若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）不等式的解集可能为（    ） A．R B． C． D． 【变式3-3】解关于的不等式：． 重难点四 二次根的分布问题 【例7】（多选）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【例8】已知关于的一元二次方程. (1)若方程有两个不等实数根，求的取值范围； (2)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (3)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【变式4-1】对一元二次方程，证明：是该方程有两个异号实根的充要条件. 【变式4-2】求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【变式4-3】已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 知识点5分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 重难点五 解简单的分式不等式 【例9】使不等式成立的一个充分不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知集合，． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式5-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】不等式的解集为 . 【变式5-3】已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 知识点6利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 重难点六 一元二次不等式的实际应用 【例11】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【变式6-1】（多选）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【变式6-2】甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ． 【变式6-3】如图所示，已知边长为的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中，.为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上. (1)设，矩形的面积为，试写出的取值范围及与的关系式； (2)要使矩形的面积不小于，试求的取值范围. 知识点7一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 重难点七 一元二次不等式恒成立问题 【例13】若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【例14】已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 【变式7-1】“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ． 【变式7-2】函数当时，恒成立，则实数的取值范围为 【变式7-3】若命题“，”为假命题，则的取值范围是 . 重难点八 一元二次不等式有解问题 【例15】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例16】设函数． (1)若不等式的解集为，求a，b的值; (2)若当时，．若在R上有解，求实数a的取值范围． 【变式8-1】若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 【变式8-2】（多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-3】若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若关于x的不等式的解集为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．关于的不等式的解集为，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 7．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 三、填空题 9．已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为 .（用集合或区间表示） 10．若关于的不等式的解集为，且，则的值为 . 11．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 四、解答题 12．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 13．已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 15．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 一元二次方程和一元二次不等式 一、解不含参的一元二次不等式 五、解简单的分式不等式 二、三个“二次”的关系 六、一元二次不等式的实际应用 三、解含参的一元二次不等式 七、一元二次不等式恒成立问题 四、二次根的分布问题 八、一元二次不等式有解问题 知识点1一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标； (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 重难点一 解不含参的一元二次不等式 【例1】若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 【例2】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)或． 【详解】（1）原不等式可化为． 因为方程的判别式， 所以函数的图象开口向上，与x轴无交点（如图所示）． 观察图象可得，原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为． （3）方程的两根是，． 函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点和， 如图所示． 观察图象可得不等式的解集为或． 【变式1-1】求不等式的所有正整数解． 【答案】 【详解】因为，即， 解得，则或， 且，可得， 所以不等式的所有正整数解集为. 【变式1-2】求解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以，即， 此时有，解得． 【变式1-3】函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式， 即为， 解得. 故选：B. 重难点二 三个“二次”的关系 【例3】（多选）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 【例4】已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是 . 【答案】 【详解】如图是函数的图象（图中隐去了轴）， 为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，. 故答案为：. 【变式2-1】（多选）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【详解】对A：根据题意，易知，故A错误； 对B：根据题意，都是方程的根，故B正确； 对C：根据题意，，则，又， 故不等式可化为，， 即，解得，故C错误，D正确. 故选：BD. 【变式2-2】已知不等式的解集为，则函数的所有零点之和等于 . 【答案】 【详解】由题设，易知：是的两个根，则，所以， 对于，其所有零点之和为. 故答案为：. 【变式2-3】已知关于x的不等式的解集为，求实数a、b的值． 【答案】，. 【详解】原不等式转化为，显然不等式解集不是R，设其解集为， 不等式解集不是空集，设其解集为， 因不等式的解集为，则必有，，于是得，即， 因此，3，6是方程的二根，则有，解得， 2，6是方程的二根，，解得， 综上得，，经验证，当时，不等式的解集为， 所以实数a、b的值是. 重难点三 解含参的一元二次不等式 【例5】已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 【例6】解不等式 【答案】答案见解析 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式3-1】若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 【变式3-2】（多选）不等式的解集可能为（    ） A．R B． C． D． 【答案】ACD 【详解】不等式即， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为R； 当，即时，不等式解集为， 故选：ACD 【变式3-3】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 重难点四 二次根的分布问题 【例7】（多选）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【详解】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得：，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得：，故D选项错误; 故选：BC. 【例8】已知关于的一元二次方程. (1)若方程有两个不等实数根，求的取值范围； (2)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (3)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或； (3)或. 【详解】（1）由题设， 所以或. （2）若方程两根为，则，且，， 所以，即， 所以或，经检验满足，故或. （3）若，则，可得或. 【变式4-1】对一元二次方程，证明：是该方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 【变式4-2】求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设． 依题意有，即，得． （2）设． 依题意有，解得． （3）设． 方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即 ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为，此时可得 综上所述，得． 【变式4-3】已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根， 所以， 解得. （2）当时，，因为函数的图象开口向上，且的根一根大于1，一根小于1， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 知识点5分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 重难点五 解简单的分式不等式 【例9】使不等式成立的一个充分不必要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等价于，即，解得， 因为真包含于， 所以不等式成立的一个充分不必要的条件是． 故选：B． 【例10】已知集合，． (1)求A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2）因为， 当时，，解得，满足题意， 当时，因为，所以，解得 综上所述，实数的取值范围为． 【变式5-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，可得，解得或， 即或， 又由不等式，解得，即， 则，所以. 故选：B. 【变式5-2】不等式的解集为 . 【答案】 【详解】不等式等价于， 即，即， 即为，解得， 经检验是不等式的解集. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式5-3】已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为； （2）由题意，，， 若，则， 因为，所以实数的取值范围为. 知识点6利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 重难点六 一元二次不等式的实际应用 【例11】第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 【例12】“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米 (2)平方米 【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 【变式6-1】（多选）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（    ）． A．4 B．40 C．8 D．28 【答案】CD 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：CD. 【变式6-2】甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．若要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据题意，， 即，解得或． ∵， ∴，即的取值范围是． 故答案为：. 【变式6-3】如图所示，已知边长为的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中，.为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上. (1)设，矩形的面积为，试写出的取值范围及与的关系式； (2)要使矩形的面积不小于，试求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：设，作于，所以，， 因为，所以，所以， 所以， 设矩形的面积为，则，； （2）解：依题意，解得， 又， 所以，故的取值范围为； 知识点7一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 重难点七 一元二次不等式恒成立问题 【例13】若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 【例14】已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 【答案】 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立，所以， 所以在上恒成立， 又， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，故a的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】“，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ． 【答案】5（答案不唯一） 【详解】若，则， 当时，不等式可化为， 解得，此时不等式的解集为，不合题意， 当时，不等式可化为， 此时不等式的解集为，符合题意， 当时，由不等式的解集为， 可得，即， 即，解得或， 综上可知，实数a的取值范围是， 所以一个满足条件的实数a的值可以为：5. 故答案为：5. 【变式7-2】函数当时，恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有． ，开口向上，对称轴为 随意 所以 故答案为： 【变式7-3】若命题“，”为假命题，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”真命题， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 重难点八 一元二次不等式有解问题 【例15】若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 【例16】设函数． (1)若不等式的解集为，求a，b的值; (2)若当时，．若在R上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为和，且， 又由根与系数的关系知，解得. （2）解：根据题意，当时，可得，即， 可得， 由在上有解，即在上有解， 当时，不等式在上一定有解，显然成立； 当时，要使得不等式在上有解， 则满足，解得或， 所以或， 综上可得，实数的取值范围为. 【变式8-1】若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【详解】若命题“，”为真命题， 则，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 【变式8-2】（多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 【变式8-3】若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 故答案为： 一、单选题 1．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得， 因为， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 2．若关于x的不等式的解集为，则（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且的两个根为和1， 所以，解得，， 故选：B 3．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由，等价于，解得， 所以，又， 所以，即中有个元素. 故选：C 4．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式的解集为， 可知1和是方程的两个实数根，且， 由韦达定理可得，即可得， 所以. 当且仅当时，即时等号成立； 即可得. 故选：D 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式，即， 解得或，所以. 综上，不等式的解集是. 故选：C. 6．关于的不等式的解集为，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】不等式的解集为， 与为方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， 则，即，解得， ，， 当时，，即， ，则，满足条件， 当时，，即， ，则，不满足条件， 综上，， 故选：B. 二、多选题 7．已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】令，整理得，解得， 可知：、、均为的真子集，符合题意，故ABC正确； 且，不合题意，故D错误； 故选：ABC. 8．已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 三、填空题 9．已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为 .（用集合或区间表示） 【答案】或 【详解】解：由题意可知的两根分别为， 由韦达定理可得， 所以不等式即为， 即，解得或. 所以原不等式的解集为：或. 故答案为：或 10．若关于的不等式的解集为，且，则的值为 . 【答案】 【详解】关于的不等式的解集为， ，是一元二次方程的实数根， ， 且，. ， ， 又，解得. 故答案为：. 11．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 【答案】 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 12．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 13．已知关于x的不等式的解集为. (1)求的值； (2)若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； （2）由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】由不等式，解得或， 解方程，解得或． ①若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得； ②若，即时，不等式的解集为，若不等式组只有1个整数解，则，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 15．关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根大于1，一个根小于1； (3)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1)； (2) (3). 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程的一个根大于1，一个根小于1， 由于，开口向上， 故只需，解得. （3）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$