精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试卷

哈尔滨市第九中学2024-2025学年度高三上学期 8月份考试数学学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式，得到，由指数函数单调性求值域得到，利用交集，并集和补集的概念进行求解，得到答案. 【详解】， 因为，所以，故，， 故，，，A正确，BCD错误； 故选：A 2. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.” 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，满足题意，但不成立，即充分性不成立； 例如，则， 即，满足题意，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于选项B：若，满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确； 对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确； 对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确. 故选：C. 3. 已知函数满足，求在的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，求得，在中，令求得答案. 【详解】因为， 所以，解得， . 故选：D. 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，， 对于A，因为，，所以函数是偶函数，又，， 则，所以函数在上单调递增， 所以，故解析式可能为A，故A正确； 对于B，由，不合题意，故B错误； 对于C，因为，所以且， 所以函数是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，由，不合题意，故D错误. 故选：A. 5. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又因为的值域为， 则需满足， ，解得. 故选：B. 6. 定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由定义在上奇函数的性质求得，进而求得，再结合函数的奇偶性及对称性得出周期，进而求得，结合列出方程求解即可． 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 所以， 由及得，， 所以，即周期为4， 所以，， 因为， 所以，解得， 所以， 故选：C． 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题等价转换为关于的方程在上有两个不同的实数根，结合二次函数性质即可求解. 【详解】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：A. 8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象按、、分类讨论，利用函数图象的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数的取值范围. 【详解】令，的对称轴为， 则实根的个数即为函数与函数图象交点个数， 如下图， 当时， 函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1， 即，函数与函数有2个交点， 且2个交点关于对称， 则方程有两根，且两根和为2，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点，， 时，可得，或， 时，，可得，，， 即函数与函数的图象有5个交点， 则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意； 当时，函数与函数的图象有2个交点， 即函数与函数的图象有2个交点，分别为， 即，或，， 当时，函数与函数无交点，不符合题意； 当时，函数与函数有4个交点，且关于对称， 所以4个交点横坐标之和为4， 则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，若存在，使得成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意，得，可判断A项；由， ，可判断B项；由，故，设，利用导数求出单调性即可求出最大值判断D项. 【详解】解：由，得， 因为，所以， 得，故A项正确； 由，得，两边同时取对数可得， ， 由于函数在上为增函数，则， 即，故B项正确； 则，故， 设 则， 由，得， 由，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，因此的最大值为，故C项错误，D项正确. 故选：ABD 11. 对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BD 【解析】 【分析】由，可得，可得，故只需判断四个选项中的是否为最大值即可，利用函数函数为减函数，为减函数可判断AB；构造函数，利用单调性可得，进而再构造函数，求导可得，再构造函数，利用单调性可判断CD． 【详解】由，可得，即， 若，可得，符合题意， 若，可得，不符合题意， 若，可得，不符合题意， 若，可得，不符合题意， 综上所述，，可得， 故只需判断四个选项中的是否为最大值即可． 对于A，B，由题知，而， ，所以． （点拨：函数为减函数，为减函数）， 对于A，；对于B，，故A错误，B正确． 对于C，D， （将0.9转化为，方便构造函数）构造函数， 则，因为，所以单调递减，因为，所以， 即，所以．（若找选项中的最大值，下面只需判断与的大小即可） ， 构造函数，则， 因为，所以，令，则， 当时，单调递减，因为， 所以，即单调递减，又，所以， 即，所以． 综上，．对于C，；对于D，，故C错误，D正确． （提醒：本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断， 即， 构造函数， 则， 因为，所以单调递增，因为，所以， 即，所以） 故选：BD. 【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 13. 已知曲线与直线相切，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组，消元构造函数，再利用导数及零点存在性定理求解即得. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线的切点为， 则，整理得， 令，求导得，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 则函数有唯一零点，该零点在内，又， 于是方程的解为，所以. 故答案为：2 14. 已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，由于在上时，与同解，即可根据求解. 【详解】令，则 ， 所以在上单调递增． 由于当，当， 而， 故在上，不等式与同解， 即，又，得，即， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式问题的常用方法： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【小问1详解】 当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． 【小问2详解】 令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 16. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳. （1）试求的函数关系式； （2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由. 【答案】（1） （2）老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解； （2）分，，由求解即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得． 又当时，曲线是函数（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，解得， 则 则． 【小问2详解】 由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳， 当时，令，解得：； 当时，令，解得：. 综上可得，. 故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 17. 已知函数，其中实数. （1）求在处的切线方程； （2）若在上的最大值是0，求的取值范围； （3）当时，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，，不等式， 令函数，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则存在，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以恒成立，即成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）按分类，利用导数探讨函数的单调性，确定最值情况即可. （3）把代入，等价变形不等式，再构造函数，利用导数求出最小值并判断大于0即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以函数图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，无最大值； 当时，由，得，函数在上单调递增， ，，则0不可能是在上的最大值； 当时，恒成立，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递减， ，，即0是在上的最大值， 所以的取值范围. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 18. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有. （1）证明函数在上单调递增； （2）解不等式； （3）若对所有，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 且， 则， 因为，， 由已知可得，， 所以，所以， 所以函数在上单调递增； （2）不等式的解集为 （3）实数的取值范围 【解析】 【分析】（1）设且，再利用函数的奇偶性和已知的条件，结合单调性定义即可证得结论； （2）利用函数的单调性解不等式即可得解； （3）将已知变形为恒成立，设,对，恒成立，即,解不等式组求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，又在上为增函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 由在上为增函数，所以，， 所以对所有，，恒成立， 等价于对任意恒成立， 设，对，恒成立， 所以，解得， 所以或或， 所以实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：二次函数的“轴动区间定”求参数范围问题，可转化为关于参数的一次函数问题，借用一次函数的图象和性质去分析问题更简便. 19. 已知函数，其中. （1）令，讨论的单调性； （2）若对任意两个不相等的正实数m，n，均有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导函数，分为，两种情况讨论的符号，从而得出函数的单调性； （2）将原不等式整理为，由于，从而问题转化为，由此利用导数结合分类讨论的方法，可求得答案． 【小问1详解】 ,定义域为, , 方程的判别式， 当时，，恒成立， 所以，在单调递增； 当时，，方程有两个不等实根 ，， ∵，∴， ∵，∴， ∴当或时，；当时，， ∴在单调递增； 在单调递减. 【小问2详解】 不妨设，原不等式即， 即，整理得， 由于，从而问题转化为． ， 当时，在单调递增， 所以，当时，，符合题意． 当时， 令，对称轴， 在内单调递减，在内单调递增． 则，且． 由零点存在性定理及的单调性知，存在，使得， 且当时，在内单调递减． 由此，当时，，与已知矛盾． 综上，实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：第（2）问根据不等式恒成立求参数的取值范围，要将原不等式整理变形为，从而同构函数，这是解决本题关键的一步，结合题意即，从而利用导数结合分类讨论解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学2024-2025学年度高三上学期 8月份考试数学学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.” 3. 已知函数满足，求在的导数（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知函数，若存在，使得成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 13. 已知曲线与直线相切，则______． 14. 已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若时，的最小值为，求的值． 16. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳. （1）试求的函数关系式； （2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由. 17. 已知函数，其中实数. （1）求在处的切线方程； （2）若在上的最大值是0，求的取值范围； （3）当时，证明：. 18. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有. （1）证明函数在上单调递增； （2）解不等式； （3）若对所有，，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）令，讨论的单调性； （2）若对任意两个不相等的正实数m，n，均有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $