精品解析：重庆市2024-2025学年高三上学期开学9月调研测试数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 9月调研测试卷数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式后可得集合，再利用交集定义即可得解. 【详解】由可得，解得或， 即或，则. 故选：C. 2. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：B. 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解. 【详解】，则. 故选：B. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由于，所以， 由于，所以. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以. 所以. 故选：A 6. 某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ） 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 A. 6尾 B. 10尾 C. 13尾 D. 17尾 【答案】C 【解析】 【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解. 【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的， 所以品种A约所占比为：， 所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有尾， 故选：C 7. 若函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得在上恒成立，即在上恒成立，对分，，讨论即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 在上恒成立， ， ，即在上恒成立， 当时，不具有单调性，不符合题意； 当时，，则，即，与矛盾， 当时，，则，即，又，符合题意. 综上可得. 故选：. 8. 已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理与锥体体积公式可得，构造相应函数，再借助导数研究其单调性即可得其最大值. 【详解】由题意，设内角所对的边为，则有， 则该圆锥的体积， 设，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（ ） A. B. C. 若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D. 若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，根据正态分布的特征逐一判断即可. 【详解】解：由题意可得， 对于A，因为正态分布求得是随机变量在某一区域内的概率（在某一处的概率约为0）， 所以接近于0，或或，故A错误； 对于B，因为服从正态分布，所以关于对称， 所以，故B正确； 对于C，因为，即零件长度在内的是正常的，否则就为不是正常零件，所以C正确； 对于D，由C的分析，可知，所以需要对生产线进行检修，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知曲线，则（ ） A. 将向右平移个单位，可以得到 B. 将向左平移个单位，可以得到 C. 与在有2个公共点 D. 在原点处的切线也是的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质即可求解AB,利用正弦函数的性质即可求解C，利用导数求解切点处的斜率，即可求解D. 【详解】对于A，将向右平移个单位，可以得到，故A正确， 对于B，将向左平移个单位，可以得到，故B错误， 对于C，令，则或， 解得，由于，取，则或， 故与有两个公共点，C正确， 对于D，故， ，则， 故斜率不相等，因此，在原点处的切线不相同，故D错误， 故选：AC 11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得三点共线，即直线是过焦点的直线，设其倾斜角为，，由焦点弦公式计算可判断；由焦半径公式，，可得，可判断；由与互补，结合诱导公式可得，继而可判断；由两点间的距离公式和弦长公式可得，可得，即可判断. 【详解】由可知，三点共线， 所以直线是过焦点的直线， 设其倾斜角为，， 所以焦点弦，故A正确， 设直线与的夹角为， 设（轴上方的焦半径），（轴下方的焦半径）， 所以，故B正确， ， 故，故C正确， 所以， 即不存在，使，故D错误. 【点睛】焦点弦常用结论： 若抛物线焦点弦所在直线的倾斜角为， 则，，，， 证明：设，， 又， ， 解得， ， 同理可得， 注：表示轴上方的焦半径，表示轴下方的焦半径. ， . 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件，利用等差数列的通项公式求得，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，得到，即， 又，得到，所以 故答案为：. 13. 已知直线和平面，与存在位置关系M．若“且M”是“”的充分条件，则M可以是__________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义，直线与平面内的直线之间的关系，根据平行线的性质，可得答案. 【详解】由，则，，且，，由题意可知或. 故答案为：（或） 14. 有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 【答案】576 【解析】 【分析】需要填入6个数字0和10个数字1，按顺序先填6个数字0，先找到一行并填入3个数字0，再选出一列需填入3个数字0把0填入，再填入最后一个数字0，最后填入所有的1，结合分步计数原理和组合数公式求解. 【详解】显然在符合要求的填法中，应该填入6个数字0和10个数字1， 按照下面的顺序填入这6个数字0. ①先找到一行并填入3个数字0，选出这样1行共有4种选法， 而从该行的4格中选出3个填入数字0，也有种填法. 因此这一步共有种不同的填法. ②选出一列填入3个数字0，以图为例，可知这一列必为已填入了一个数字0的列， 否则就没有一列的数字之和为4，从而选出这一列共有3种选法. 而该列中已经填入了一个数字0，所以填入另外两个数字0有种填法. 这一步共有种不同的填法. ③当完成前面两步后，最后一个数字0所在行与列都有两个0，只有4个位置可以选择. 最后剩下所有的格都填1，有1种填法. 因此，符合要求的不同填法共有种. 故答案为：576. 【点睛】思路点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，其面积. （1）若，求； （2）若，求的最大值，并判断此时的形状. 【答案】（1） （2）最大值为，等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式列方程，从而求得. （2）利用余弦定理、三角恒等变换等知识求得的最大值，再由此求得、，从而判断出三角形的形状. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由得， 所以得最大值为， 此时， 所以（舍去）或， 从而，故是以为直角顶点的等腰直角三角形. 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又因为，可得为边上的高， 所以因为平面且平面 所以又因为且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 17. 甲､乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5. （1）求比赛只进行了三局就结束的概率： （2）已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望. 【答案】（1）0.26； （2）4.05. 【解析】 【分析】（1）由题意可得此三场都是甲赢或都是乙赢，然后计算即可； （2）由题意可得可取值为，分别求出对应的概率即可得期望. 【小问1详解】 解：比赛只进行三场，则都是甲赢或都是乙赢， 所以概率为； 【小问2详解】 可取值为 时，则前三场都是甲赢，， 时，， ， 故. 18. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. （1）设直线的斜率为，已知，求证：； （2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） 设， 由，得，变形得， 即，故，又，解得，故. （2） 【解析】 【分析】（1）利用点差法表示直线和直线的斜率关系，再利用点在椭圆内，建立不等式，即可求解； （2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，以及点的坐标，并得到直线的方程，并求解弦长，根据条件得到代入公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 可得. ， 则弦的中点的坐标为， 故的方程为.联立，得， 由对称性，不妨设，则，其中. 可得. 由题意， 且， 故，即 代入，得， 解得，故直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是将条件等式转化为，从而利用韦达定理表示弦长和. 19. 已知数列. （1）证明：是等比数列； （2）已知数列. ①求的最大值； ②对任意的正整数，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助所得表示出及，再作商后结合等比数列判定定理即可得证； （2）①结合（1）中所得可得数列的通项公式，再借助分离常数法可得数列的单调性，即可得解；②将所需证明的转化为证明，从而只需证明，借助数列的通项公式，结合基本不等式放缩得到即可得证. 【小问1详解】 由可得， ， 两式相除可得，又， 故是首项为公比为的等比数列； 【小问2详解】 ①由（1）可知，，解得，故， ，故随的增大而减小， 即时的值最大，且最大值； ②， ， 当且仅当时取等； ， 其中，当且仅当时取等； ，其中， 故，当且仅当时取等； 故，当且仅当时取等； 由此对任意恒成立，即原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将所需证明的转化为证明，再利用基本不等式放缩得到即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 9月调研测试卷数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名､班级填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ） 采样点 品种A 品种B 东 20 9 南 7 3 西 17 8 A. 6尾 B. 10尾 C. 13尾 D. 17尾 7. 若函数在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 在实际生产中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则，若在外，可以认为生产线是不正常的，已知.某生产线上生产的零件长度服从正态分布（单位：厘米），则（ ） A. B. C. 若抽检的10个样本的长度均在内，可以认为生产线正常 D. 若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修 10. 已知曲线，则（ ） A. 将向右平移个单位，可以得到 B. 将向左平移个单位，可以得到 C. 与在有2个公共点 D. 在原点处的切线也是的切线 11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上两点，且，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则______. 13. 已知直线和平面，与存在位置关系M．若“且M”是“”的充分条件，则M可以是__________. 14. 有一个4行4列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得4行中所填数字之和恰好是各一个，4列中所填数字之和恰好也是1，2，3，4各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法共有__________种. 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，其面积. （1）若，求； （2）若，求的最大值，并判断此时的形状. 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 17. 甲､乙两名围棋手对弈，比赛实行五局三胜制，第一局通过猜子确定甲执黑先行，其后每局交换先行者，直至比赛结束，已知甲先行时他赢下该局的概率为0.6，乙先行时他赢下该局的概率为0.5. （1）求比赛只进行了三局就结束的概率： （2）已知甲胜了第一局，求比赛进行局数的期望. 18. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点. （1）设直线的斜率为，已知，求证：； （2）直线不与坐标轴重合且经过的左焦点，直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程. 19. 已知数列. （1）证明：是等比数列； （2）已知数列. ①求的最大值； ②对任意的正整数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $