精品解析：辽宁省七校2024-2025学年高二上学期期初考试数学试卷

数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数运算，结合复数的定义计算即得. 【详解】依题意，复数，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 2. 已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，然后计算圆锥侧面积即可. 【详解】设圆锥母线长为，由题意，所以， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 3. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A. 若上有两个点到平面的距离相等，则 B. 若是异面直线，，则 C. 若不垂直于，则必不垂直于 D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，根据面面平行的判定定理进行判断；对于C，通过画图排除即可；对于D，根据面面垂直的判定及性质进行判断； 【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误； 对于B，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故B正确； 对于C，如下图： 故C错误； 对于D，若，，，则，又，所以； 当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 4. 已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的图象，以及正弦函数的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，所以，可得， 所以函数， 又由，可得， 因为，可得只有时满足题意，可得， 又因为，可得，所以. 故选：C. 5. 如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为靠近处的四等分点，则，故或其补角即为与所成的角，由余弦定理可求，故可取线线角的余弦值. 【详解】 设为靠近处的四等分点，则， 故或其补角即为与所成的角， 设正四面体的棱长为，则，故， 同理，而，故， 故选：A. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则不共线 C. 若是平面内不共线的向量，且存在实数y使得，则A，B，C三点共线 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可判断A，利用向量共线定理可判断BC，利用投影向量的定义可判断D. 【详解】若，且，则，所以A选项错误； 若满足，但不满足不共线，所以B错误； 由，可得，即，故A，B，C三点共线，所以C正确； 若在上的投影向量为，所以D错． 故选：C． 7. 已知，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据二倍角余弦公式求，解得，最后根据两角差余弦公式得结果. 【详解】或 因为，所以 故选：B 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，将向量用表示，得到，进而判断的形状. 【详解】取的中点，的中点，连接（如图所示），则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即△为钝角三角形， 故选：B. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面对应的点是 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合模长公式和复数的乘方运算，举反例判断AB，根据复数的四则运算及复数的几何意义可判断C，得到为方程的另一个根，根据韦达定理即可判断D. 【详解】若，则不一定成立，比如， 满足，但，不满足，A选项错误； 比如，满足， 由复数定义可知，两个复数不能比大小，故大小无法判断，B选项错误； ， 所以在复平面对应的点是，C选项正确； 若是关于的方程的一个根， 则为方程另一个根， 故，即，D选项正确. 故选：CD 10. 设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的取值范围是 C. 在上单调递增 D. 在上，方程的根有3个，方程的根有3个 【答案】BC 【解析】 【分析】根据零点个数可得，故可判断B的正误，根据的值可判断A的正误，根据结合正弦函数的性质可判断CD的正误. 【详解】由题设有，当时，， 因为已知在上有且只有5个零点，故， 故，故B正确. 对于A，，无法确定是否为，故A错误； 对于C，当时，， 而，故在上单调递增，故C正确. 对于D，当时，，而， 故在有3个不同的解，有2个或3个不同的解， 故D错误. 故选：BC. 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ） A. 正八面体的外接球体积为 B. 正八面体的内切球表面积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形的中心即为外接球球心，再利用球的体积公式计算即可；对于B项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即可；对于C项，通过两个侧面翻折共面后即得共线时取最小值；对于D项，通过发现并证明平面，将三棱锥的体积进行多次转化成三棱锥的体积，计算即得. 【详解】对于A项，设该正八面体外接球的半径为，由图知，是正方形，, 在中，，利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的体积为，故A项错误； 对于B项，设该正八面体内切球的半径为，由内切球的性质可知正八面体的体积， 解得，故它的内切球表面积为，故B项正确； 对于C项，如图，因与是边长为4的全等的正三角形，可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形. 连接与相交于点，此时，则 ，因此取得最小值为，故C项正确； 对于D项，易知，因为平面，平面，所以平面， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图， 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到，化弦为切，代入求值求出答案. 【详解】，. 故答案为：3 13. 在中，，为的外心，若，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积的定义以及三角形外心的性质，可得，从而求解，然后利用向量数量积定义代入求解即可. 【详解】如图，作，，因为，由为的外心，所以可知为的中点，所以，得，同理可得，所以. 故答案为： 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理结合两角和差的正余弦公式求解可得，再根据正弦定理化简，结合三角函数值与角度范围的关系求解即可. 【详解】由正弦定理结合，得， 则，即， 故，则，故，解得. 由正弦定理，有， 故 ， 设，且，则. 又，故，且，故. 故，即， 故. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面⊥平面. 【答案】（1）连接交于点,连接． 四边形是矩形，是的中点． 又为的中点，． 平面，平面，平面 （2）面，面，． 是矩形，． 而，，平面平面 又平面．平面平面． 【解析】 【分析】(1)结合三角形中位线的性质即可. (2)结合面面垂直的证明方法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知等式化简后，利用余弦定理可求出角A； （2）先求出角三角形外接圆的半径，再由正弦定理可求出，将已知等式利用正弦定理统一成边的形式可求出，再结合（1）可求出，从而可求出三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为△ABC的外接圆的面积为，所以△ABC的外接圆半径为， 由正弦定理得，， 因为，所以由正弦定理得， 由（1）知， 所以，得，则， 所以△ABC的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面成角的正弦值； （3）设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值. 【答案】（1） 因为平面平面，所以， 又平面， 所以平面； （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合即可得证； （2）首先求得为直线与平面所成角的平面角，再求解即可； （3）由线面平行的性质得到，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面， 平面，得为直线与平面所成角的平面角， 中，， 中，， ； 【小问3详解】 因为平面，平面平面，平面， 所以，因为点为的中点， 所以点为的中点，所以. 19. 若函数满足：对任意，则称为“函数”． （1）判断是不是函数（直接写出结论）； （2）已在函数是函数，且当时，．求在的解析式； （3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和． 【答案】（1）是函数，是函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设，直接检验是否成立，即可判断出结果； （2）根据条件得出函数的周期为，关于直线对称，再根据条件，利用周期性和对称性即可求出结果； （3）由（2）可得出，再利用周期性作出的图像，再结合图像即可求出结果. 【小问1详解】 是函数，证明如下： 因为，又，，所以，故是函数， 是函数，证明如下： 因为， ，所以，故是函数. 【小问2详解】 因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称， 因为时，所以， 当，即时，， 当，即时，， 又时，，所以， 综上，在上的解析式为； 【小问3详解】 由（2）知，当时，，所以，得到， 又函数的周期为，所时，的图像如图， 由图知，当时，有5个解，其和为， 当时，有8个解，由对称知，其和为， 当时，有12个解，由对称知，其和为， 当时，有16个解，由对称知，其和为， 当时，有8个解，由对称知，其和为， 综上，方程所有解的和. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A. 若上有两个点到平面的距离相等，则 B. 若是异面直线，，则 C. 若不垂直于，则必不垂直于 D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 4. 已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则不共线 C. 若是平面内不共线的向量，且存在实数y使得，则A，B，C三点共线 D. 若，则在上的投影向量为 7. 已知，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若复数满足，则在复平面对应的点是 D. 若是关于的方程的一个根，则 10. 设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的取值范围是 C. 在上单调递增 D. 在上，方程的根有3个，方程的根有3个 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ） A. 正八面体的外接球体积为 B. 正八面体的内切球表面积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，则_________. 13. 在中，，为的外心，若，则的值为______________. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面⊥平面. 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面成角的正弦值； （3）设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值. 19. 若函数满足：对任意，则称为“函数”． （1）判断是不是函数（直接写出结论）； （2）已在函数是函数，且当时，．求在的解析式； （3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $