精品解析：山东省济南市2024-2025学年高一上学期入学学情检测数学试题

济南市2024年高一学情检测 数学试题 本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由科学记数法要求可得. 【详解】， 故选：A 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断ABC；利用幂的运算法则判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 3. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义易得. 【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158； 根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数. 故选：D. 4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三视图的相关概念分析即可. 【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A正确. 故选：A 5. 已知点，，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先代入点的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断. 【详解】将点代入反比例函数，得， 即反比例函数的解析式是， 将点的坐标代入函数解析式，得，，， 即. 故选：B 6. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出， 然后根据列式求解即可. 【详解】 如图，连接， 四边形为矩形，，， ， ， ， ， ， 解得， 故选：B. 7. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点H，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点K，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可. 【详解】 如图所示，设直线分别交直线于，作，垂足为R， 根据题意易知分别为的角平分线，线段的垂直平分线， 所以，所以为正三角形， 则，所以， 而，则， 易证，故， 易知，故， 解之得. 故选：C 8. 如图，抛物线，顶点为A，抛物线与x轴正半轴的交点为B，连接AB，C为线段OB上一点（不与O，B重合），过点C作交y轴于点D，连接AD交抛物线于点E，连接OE交CD于点F，若，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点坐标，设点并表示点的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得. 【详解】抛物线的顶点，由，得，即点， 设直线方程为，由，解得，则直线， 设点，由，设直线方程为， 由，得，由，得，即点，直线， 设直线的方程为，则，解得， 即直线，由，解得，即点， 显然，由，得，则，因此点， 由，得，因此，解得， 所以点C的横坐标为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则（ ） A. 小明家与图书馆的距离为2km B. 小明的匀速步行速度是3km/h C. 小明在图书馆查阅资料的时间为1.5h D. 小明与小亮交谈的时间为0.4h 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象可判断A选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B选项；通过计算点C到D所需的时间，可判断C选项；通过计算点E到F所需的时间，可判断D选项. 【详解】对于A：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km，故A正确； 对于B：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料， 所以小明的匀速步行速度是，故B错误； 对于C：小明返回的路上走后遇到小亮， 则走所需的时间为， 所以小明在图书馆查阅资料的时间为，故C错误； 对于D：走所需的时间为， 所以小明与小亮交谈的时间为，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，点B在线段AD上，分别以线段AB和线段BD为边在线段AD的同侧作等边三角形和等边三角形，连接AE，AE与BC相交于点G，连接CD，CD与AE，BE分别相交于点F，H，连接BF，GH，则（ ） A. B. FB平分 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，易得，可推得D项；由此得到，可证，可得，从而得到正三角形，由易得A正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点到的两边距离相等，故得B项正确；对于C项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C项. 【详解】因和都是正三角形，故， 则,即， 由可得，故D正确； 由可得，,因， 由可得，,则有， 故为正三角形，则,故，即A正确； 如图，分别作,垂足分别是， 由上知，，故，由角平分线的性质定理，可得FB平分， 故B正确； 对于C项，假设，则,故， 而在中，,故 产生矛盾，故假设不成立，即C错误. 故选：ABD . 11. 如图1，在中，，，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为t（s），为y，y关于t的函数图象如图2所示，则（ ） A. 当时， B. C. DE有最小值，最小值为2 D. 有最小值，最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】设，列出y关于t的函数式，结合图2，列方程求出的值，判断B项，继而代值检验A项；利用二次函数的图象性质，即可得到的最小值，判断C项；最后通过建系，将转化为，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值. 【详解】设，则，则（*）， 由图2知，函数经过点，整理得，，解得或（舍去），故B正确； 由B项知，，当时，，即,故A错误； 对于C，由题意易得，，由可得，当时，， 即有最小值，最小值为,故C错误； 对于D，如图，以点为原点, 所在直线分别为轴建立直角坐标系. 则，因F为DE中点，故， 于是 结合此式特点，设,则,作出图形如下. 作出点关于直线的对称点，连接,交直线于点， 则点即为使取得最小值的点. (理由：可在直线上任取点，利用对称性特点，即可证明,即得)， 此时,即的最小值为. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______. 【答案】##04 【解析】 【分析】利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】五个点中在第一象限的点有A和D两个， 从中任选一个点共有5种等可能结果， 这个点恰好在第一象限有2种结果， 所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是. 故答案为：. 13. 在中，，，的周长为14，则AB边上的高为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果. 【详解】根据题意可设，所以， 可得， 又，利用勾股定理可得；可得； 所以，即； 设AB边上的高为，由三角形面积可得， 解得. 故答案为： 14. 如图，在矩形纸片中，，，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点为，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好也为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】过作，交于，交于，过作，利用等积法可求，再根据可求的长度. 【详解】 由题设， 过作，交于，交于，过作， 则，则，故， 所以，故，故， 设，则，故， 故， 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 先化简再求值： （1）求的值，其中； （2）求值，其中. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入即可求解； （2）先同分母进行化简并转化的表达式，进而代入即可求解. 【小问1详解】 . 即代入可得. 【小问2详解】 . 即代入可得. 16. 某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱种品牌的牛奶和2箱种品牌的牛奶共需285元；购买2箱种品牌的牛奶和5箱种品牌的牛奶共需410元. （1）求种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种品牌的牛奶共20箱，且种品牌牛奶的数量至少比种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过种品牌牛奶的3倍，购买两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 【答案】（1）种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元. （2）最小费用为（元），此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱. 【解析】 【分析】（1）设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元，根据题设列方程组后可求各自的单价； （2）购买品牌的牛奶箱，则购买总费用，由题设条件可得可为中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数. 【小问1详解】 设种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元， 则，故. 故种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是元、元. 【小问2详解】 设购买品牌的牛奶箱，则购买品牌的牛奶箱， 此时总费用， 而，故，而为整数，故可为中的某个数， 故的最小费用为（元）， 此时购买两种品牌的牛奶分别为箱、箱. 17. 如图，在中，是直径，点是上一点，，，点在上，，连接并延长交于点，连接，，垂足为. （1）求证：； （2）求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断，再利用同弧所对的圆周角相等，可得，从而证明； （2）在中，求出，，利用，设，把的三边表示出来，再利用求出，最后在中求出的值，也即是的长. 【小问1详解】 是的直径，， ， 又, . 【小问2详解】 在中，，， 又，则，， 又，， 在中，设，则，故， 又，， ，即，解得， ， 在中，， 即，解得， 即. 18. 阅读材料：直线（）上任意两点，，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，. 已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题： （1）若该抛物线经过点，求m的值； （2）在（1）的条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得……； （3）该抛物线上两点E，F，直线EF的表达式为：（）. (ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上； (ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）ⅰ. 线段EF的中点在定直线上；ⅱ. 或或. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m的值； （2）按照题中的思路先求出，再由线段的中点为求得的值，利用直线经过点即可求得直线BC的表达式； （3）(ⅰ)由消去，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得；根据函数与在时的图象特点，依题意可得，解之即得. 【小问1详解】 因经过点，则，解得，； 【小问2详解】 时，，设直线BC的表达式为：，, 则①，②. 由①-②：， 两边同除以，则， 因线段BC的中点为，则，即， 则，将点代入解得，，故直线BC的表达式为：； 【小问3详解】 （i）由消去，整理得，， 依题意，设,的中点为, 则，，即线段EF的中点在定直线上； (ⅱ) 如图，将定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线,则点转到了点, 则,设点，则 , 即，,设，则得，，解得，，即得； 因抛物线的对称轴为， 故该函数在时，随着的增大而增大，且时，，时，， 要使抛物线与只有一个交点，可分以下种情况讨论： ①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，，解得； ②抛物线顶点在直线上，如上图，即时，由，解得或，因，故符合题意； ③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足，如上图，由 消去，可得，由解得，， 代入方程可得，解得，符合题意； ④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在内只有一个交点，须使，又，解得. 综上可得m的取值范围为：或或. 19. 在中，，. （1）如图1，在中，，，F是AE中点，连接BF.若，求线段BF的长； （2）如图2，在中，，，F是AB中点，连接DF，求的值； （3）如图3，在中，，，E是AB中点，F是AE中点，连接BD，DF，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，，，可求的长； （2）将绕点顺时针旋转得，证明三点共线，，设，勾股定理求出和即可； （3）将绕点顺时针旋转，得，证明三点共线，，，设，求出和即可. 【小问1详解】 在中，，. 若，则，， 如图1，在中，，由，得 ，F是AE中点，则， 中，. 【小问2详解】 在中，，， F是AB中点， 连接，则为等边三角形，如图所示， 将绕点顺时针旋转，得， ，，则为等边三角形，， 又，则三点共线， ，，则， ，则， 中，，，为中点，连接， 则有，为等边三角形，， ，，所以为直角三角形，， 不妨设，则， ， 所以； 【小问3详解】 在中，，， 中，，，E是AB中点，F是AE中点， 将绕点逆时针旋转，得，如图所示， 由（2）同理可得为等边三角形，三点共线，， 由，有，又，则有，得， 不妨设，则， ，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南市2024年高一学情检测 数学试题 本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160 4. 某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，，都在反比例函数（）的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7. 如图，在中，，，，在和上分别截取，，使，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点H，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点K，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线，顶点为A，抛物线与x轴正半轴的交点为B，连接AB，C为线段OB上一点（不与O，B重合），过点C作交y轴于点D，连接AD交抛物线于点E，连接OE交CD于点F，若，则点C的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y（km）与时间x（h）的关系，则（ ） A. 小明家与图书馆的距离为2km B. 小明的匀速步行速度是3km/h C. 小明在图书馆查阅资料的时间为1.5h D. 小明与小亮交谈的时间为0.4h 10. 如图，点B在线段AD上，分别以线段AB和线段BD为边在线段AD的同侧作等边三角形和等边三角形，连接AE，AE与BC相交于点G，连接CD，CD与AE，BE分别相交于点F，H，连接BF，GH，则（ ） A. B. FB平分 C. D. 11. 如图1，在中，，，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为t（s），为y，y关于t的函数图象如图2所示，则（ ） A. 当时， B. C. DE有最小值，最小值为2 D. 有最小值，最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______. 13. 在中，，，的周长为14，则AB边上的高为________. 14. 如图，在矩形纸片中，，，为中点，为边上一点，连接，将沿翻折，点对应点为，为边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好也为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 先化简再求值： （1）求的值，其中； （2）求的值，其中. 16. 某超市销售两种品牌的牛奶，购买3箱种品牌的牛奶和2箱种品牌的牛奶共需285元；购买2箱种品牌的牛奶和5箱种品牌的牛奶共需410元. （1）求种品牌的牛奶，种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种品牌的牛奶共20箱，且种品牌牛奶的数量至少比种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过种品牌牛奶的3倍，购买两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？ 17. 如图，在中，是直径，点是上一点，，，点在上，，连接并延长交于点，连接，，垂足为. （1）求证：； （2）求长. 18. 阅读材料：直线（）上任意两点，，，线段MN的中点，P点坐标及k可用公式：，；计算.例如：直线上两点，，则，，即线段MN的中点，. 已知抛物线（），根据以上材料解答下列问题： （1）若该抛物线经过点，求m的值； （2）在（1）条件下，B，C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D，若点，求直线BC的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC的表达式为：，，则有①，②.①-②得：，两边同除以，得……； （3）该抛物线上两点E，F，直线EF表达式为：（）. (ⅰ).请说明线段EF的中点在一条定直线上； (ⅱ).将ⅰ中的定直线绕原点O顺时针旋转45°得到直线，当时，该抛物线与只有一个交点，求m的取值范围. 19. 在中，，. （1）如图1，在中，，，F是AE中点，连接BF.若，求线段BF的长； （2）如图2，在中，，，F是AB中点，连接DF，求的值； （3）如图3，在中，，，E是AB中点，F是AE中点，连接BD，DF，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$