精品解析：人教版2024-2025学年九年级数学上册期末练习卷

期末练习卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（　　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 80° 3. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A. 1条 B. 3条 C. 5条 D. 无数条 4. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　　) A. 80° B. 100° C. 110° D. 130° 5. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ） A B. C. D. 6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 7. 如图，在中，，点分别是边的中点，将 绕点 旋转得到，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 任意四边形 8. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A. a≤﹣1或≤a＜ B. ≤a＜ C. a≤或a＞ D. a≤﹣1或a≥ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 若二次函数 的图象经过原点，则的值为________． 12. 已知关于x一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 13. 某班同学作了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计结果如下表： 每辆私家车乘客的数目 1 2 3 4 5 私家车数目 58 27 8 4 3 请估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率为________． 14. 如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为______. 15. 一元二次方程的两个实根分别为，，若，则___________． 16. 如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°． （1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为______cm． （2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为____cm． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的方程． 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点为圆心， 为半径的圆的一部分，是中弦 的中点，经过圆心交于点．若，求隧道的高（的长）． 19. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？ （2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图； （3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级学生有多少名？ （4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 20. 如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． （1）求证∶． （2）若的度数为，求的度数． 21. 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3） （1）求抛物线的表达式； （2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积． 22. “校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ； （2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由; （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女概率. 23. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （1）求过点三点的抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末练习卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】经观察二次函数y=x2-6x+5的二次项系数是1，所以直接在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即同时加上(-3)2；合并同类项、整理上面的方程即可得解． 【详解】∵y=x2-6x+5， ∴y+(-3)2=x2-6x+(-3)2+5，即y=(x-3)2+5-9=(x-3)2-4． 故选:C． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的知识，回忆配方法解一元二次方程的步骤； 2. 如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（　　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】连接OD． ∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°． ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 3. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A. 1条 B. 3条 C. 5条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】五角星的对称轴共有5条， 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 4. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　　) A. 80° B. 100° C. 110° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数． 【详解】解：连接OC，如图所示， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=40°， ∴∠BOC=100°， ∵∠1+∠BOC=360°， ∴∠1=260°， ∵∠A=∠1， ∴∠A=130°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，即同弧所对的圆周角是其圆心角的一半． 5. 某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种， 故小明和小红分在同一个班的机会=． 故选：A． 【点睛】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键． 6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A. b2＜4ac B. ac＞0 C. 2a﹣b=0 D. a﹣b+c=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可. 【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，即，所以A选项错误； ∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴，∴，所以C选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴，所以D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 7. 如图，在中，，点分别是边的中点，将 绕点 旋转得到，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 任意四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据可得，，可证四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求解． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵绕点旋转得， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A ． 8. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】∵共6个数，大于3的有3个， ∴P（大于3）=． 故选D． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 【答案】D 【解析】 【详解】①∵AB是O的直径， ∴AD⊥BD； ②∵∠AOC是O的圆心角，∠AEC是O的圆内部的角， ∴∠AOC≠∠AEC； ③ ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴CB平分∠ABD； ④∵AB是O的直径， ∵点O为圆心， ∴AF=DF； ⑤由④有，AF=DF， ∵点O为AB中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴BD=2OF； ⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等． 故选D． 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A. a≤﹣1或≤a＜ B. ≤a＜ C. a≤或a＞ D. a≤﹣1或a≥ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可； 【详解】∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2． 观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1； 当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件， ∴a≥， ∵直线MN的解析式为y=-x+， 由，消去y得到，3ax2-2x+1=0， ∵△＞0， ∴a＜， ∴≤a＜满足条件， 综上所述，满足条件的a的值为a≤-1或≤a＜， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 若二次函数 的图象经过原点，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数自变量函数值的计算，根据题意，把原点坐标代入计算即可求解 ． 【详解】解：根据题意，把原点代入得，， 解得，， 故答案为：或 ． 12. 已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0， ∴m2﹣2m=0且m≠0， 解得，m=2， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件． 13. 某班同学作了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计结果如下表： 每辆私家车乘客的数目 1 2 3 4 5 私家车的数目 58 27 8 4 3 请估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用表中数据计算出一辆私家车载有超过3名乘客的频率，然后利用频率估计概率求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴估计调查一辆私家车而它载有超过3名乘客的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，是求实际生活中某事件概率的常用方法． 14. 如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为______. 【答案】4 【解析】 【详解】分析：利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可． 详解：∵点B坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2）， ∴AA′=BB′=2， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴A（，）， ∴AA′对应的高， ∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4． 故答案为4． 点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得出对应点坐标是解题关键． 15. 一元二次方程的两个实根分别为，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，先求出m的值，然后计算的值． 【详解】解：根据题意得， 所以， 所以 ． 故答案． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 16. 如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°． （1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为______cm． （2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为____cm． 【答案】 ①. 30 ②. 10-10 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题； （2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题； 【详解】（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H． ∵D1A=D1B1=30 ∴D1是的圆心， ∵AD1⊥B1C1， ∴B1H=C1H=30×sin60°=15， ∴B1C1=30 ∴弓臂两端B1，C1的距离为30 （2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G． 设半圆的半径为r，则πr=， ∴r=20， ∴AG=GB2=20，GD1=30-20=10， 在Rt△GB2D2中，GD2= ∴D1D2=10-10． 故答案为30，10-10. 【点睛】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的方程． 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求解a，然后再求出另一个根即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：将代入方程得， ，解得，； 方程为 设另一根为，则，． ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 18. 一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点为圆心， 为半径的圆的一部分，是中弦 的中点，经过圆心交于点．若，求隧道的高（的长）． 【答案】隧道的高（的长）为 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的综合，连接，可得，，运用勾股定理可得的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵过圆心，点是中点， ∴，且， 在中，， ∴， ∴隧道的高（的长）为． 19. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？ （2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图； （3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？ （4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）抽取的两人恰好都是男生的概率为，树状图见解析 【解析】 【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量； （2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数； （4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）10÷20%=50（名） 答：本次抽样调查共抽取了50名学生. （2）50-10-20-4=16（名） 答：测试结果为C等级的学生有16名. 图形统计图补充完整如下图所示： （3）700×=56（名） 答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名. （4）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2， 所以抽取的两人恰好都是男生的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 20. 如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． （1）求证∶． （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 21. 已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3） （1）求抛物线的表达式； （2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）． 【解析】 【分析】（1）把A，B，C三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，即可求出函数解析式； （2）把x=﹣2代入抛物线解析式求出y的值，确定出D坐标，由OA为底，D纵坐标绝对值为高，求出三角形AOD面积即可． 【详解】（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得： ， 解得：， 则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5）， ∵A（3，0），即OA=3， ∴S△AOD=×3×5=． 22. “校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下： （1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ； （2）赛前规定，成绩由高到低前60%参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由; （3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率. 【答案】（1）50，30%；（2）不能，理由见解析；（3）P= 【解析】 【详解】【分析】（1）由直方图可知59.5~69.5分数段有5人，由扇形统计图可知这一分数段人占10%，据此可得选手总数，然后求出89.5~99.5这一分数段所占的百分比，用1减去其他分数段的百分比即可得到分数段69.5~79.5所占的百分比； （2）观察可知79.5~99.5这一分数段的人数占了60%，据此即可判断出该选手是否获奖； （3）画树状图得到所有可能的情况，再找出符合条件的情况后，用概率公式进行求解即可. 【详解】（1）本次比赛选手共有（2+3）÷10%=50（人）， “89.5～99.5”这一组人数占百分比为：（8+4）÷50×100%=24%， 所以“69.5～79.5”这一组人数占总人数的百分比为：1-10%-24%-36%=30%， 故答案为50，30%； （2）不能；由统计图知，79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%，而78＜79.5，所以他不能获奖； （3）由题意得树状图如下 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的共有8种结果，故P==. 【点睛】本题考查了直方图、扇形图、概率，结合统计图找到必要信息进行解题是关键. 23. 如图，AB是⊙O直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）MC=. 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）连接OC， ∵CN为⊙O的切线， ∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°， ∵OM⊥AB， ∴∠OAC+∠ODA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM， ∴MD=MC； （2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC==2， ∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AOD∽△ACB， ∴，即， 可得：OD=2.5， 设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52， 解得：x=， 即MC=． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，正确寻找相似三角形是解决问题的关键. 24. 在平面直角坐标系中，为原点，直线与轴交于点，与直线交于点，点关于原点的对称点为点． （1）求过点三点的抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，它关于原点的对称点为．当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）当四边形为菱形时，点的坐标或 【解析】 【分析】（1）根据直线与坐标系的交点，两直线交点与解二元一次方程组，关于原点对称点的特点分别求值点的坐标，再运用待定系数法即可求解抛物线解析式； （2）当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，即，设，可知点在第一、三象限，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：已知直线与轴交于点， ∴令时，， ∴， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， ∵点关于原点的对称点为点， ∴， 设过点三点的抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴过点三点的抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当四边形为菱形，，则，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 设，且， ∴点在第一、三象限， ∴， 解得，，， ∴，； ∵点关于原点的对称点为点，点关于原点的对称点为，即， ∴此时，四边形为菱形， ∴当四边形为菱形时，点的坐标或． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，两直线交点与二元一次方程组，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$