精品解析：河南省郑州市中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024——2025学年高二上学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三棱锥，点M，N分别为BC，PA的中点，且，用表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线 D. 在上的投影向量为 11. 如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________. 13. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 14. 在空间直角坐标系中,已知,，点分别在轴,轴上.且,那么的最小值是______. 四、解答题（5小题，77分） 15. 如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. （1）用，，分别表示向量与； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求三棱柱的侧棱长； （2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 17. 在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． （1）当时，求证：； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 19. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年高二上学期第一次月考 数学试题 一、单项选择题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量平行列出方程即可求解. 【详解】由题意，，且，所以，解得. 故选：D. 2. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 3. 已知三棱锥，点M，N分别为BC，PA的中点，且，用表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体，结合向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】 故选：D 4. 三棱锥中，点面，且，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解. 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得. 故选：D. 5. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面内的点与点构成的向量与垂直来逐一判断. 【详解】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 6. 已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的方法求线面角. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 ∴可取. 设直线与平面所成角的，则， 于是直线与平面所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 8. 如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 二、多项选择题（3小题，每题6分，共18分） 9. 已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用法向量及直线的方向向量的关系来判断位置关系. 【详解】因为，，所以，所以，A正确； 因为，且，所以，B正确； 因为，所以或者，C不正确； 因为，所以不垂直，D不正确. 故选：AB 10. 若平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线 D. 在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算判断线面的平行垂直关系，可判断A、B、C选项；利用投影向量的计算公式计算可判断D选项. 【详解】∵，∴，故A正确； ∵，∴或，故B错误； 设，则，此方程组无解，则与为相交直线或异面直线，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD 11. 如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出向量的坐标，利用二次函数的基本性质可求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 故选：BD． 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可. 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 14. 在空间直角坐标系中,已知,，点分别在轴,轴上.且,那么的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用题意假设，得到，利用可得，然后利用向量的模可得到，利用二次函数的性质即可求得答案 【详解】解：因为点分别在轴,轴上，所以设,, 由于,所以即， 因为, 所以当时，， 故答案为： 四、解答题（5小题，77分） 15. 如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. （1）用，，分别表示向量与； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案. （2）设异面直线与所成角为，将用基底，，表示，代入公式计算得出答案. 【小问1详解】 在正四面体中，，分别为棱，的中点， 则， ； 【小问2详解】 由（1）知，，. 又，设异面直线与所成角为， 则 . 16. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求三棱柱的侧棱长； （2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到求解即可. （2）利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 设侧棱长为，则， 所以. 因为， 所以，解得. 故三棱柱的侧棱长为. 【小问2详解】 由（1）知. 因为，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 17. 在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且． （1）当时，求证：； （2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）计算出当时，取得最小值，求出两平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，所以， 故， 由勾股定理逆定理得， 又平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得，， 当时，分别为的中点， ， 则， ，故， ； 【小问2详解】 ， 故， 故， 当时，取得最小值， 此时， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 所以平面与平面夹角的余弦值为 . 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 分别是的中点， ，且， 又，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面 （2）证明：底面，平面，， ，，， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题可得和，可得平面，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可； （2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可. 【小问1详解】 以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $