专题07 有理数的乘法与除法-【知识大通关】2024-2025学年七年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题07 有理数的乘除 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数乘法法则 1、有理数的乘法法则 （1）两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与0相乘仍得0. 2、有理数的乘法符号法则（拓展） （1）如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即:ab>0↔a>0,b>0或a<0,b<0; （2）如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即:ab<0↔a>0,b<0或a<0,b>0; （3）如果两个数的积为0,那么这两个数中至少有一个数是0，反之亦然，即:ab=0↔a=0或b=0. 知识点2 倒数 1、 定义 如果两个有理数的乘积为1，我们成这两个有理数互为倒数. 2、求倒数的方法 3、倒数与相反数间的关系 知识点3 乘法运算律 1、乘法交换律： 2、乘法结合律： 3、分配律： 知识点4 多个有理数相乘 1、几个不为0的数相乘的法则 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决 定.当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘， 2、有因数为0的几个数相乘的法则 几个数相乘,有一个因数为0,积为0.同样,若积为0，则至少有一个因数为0. 知识点5 有理数的除法法则 1、有理数茶法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以一个不为0的数仍得0,0不能作为除法. 2、有理数除法法则二 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数. 用字母表示： 3、乘除混合运算中的注意事项 （1）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算. （2）积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负,见0为0”.(3)结果要化为最简分数或整数. （3）结果要化为最简分数或整数. （4）有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号,则按照从左到右的顺序计算. 【考点精讲】 考点1 利用有理数乘法法则辨别符号 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的特点，根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：、两点在数轴上的位置可知：，， ，，故、错误； ，， ，，，， ∴， 故正确，错误． 故选：． 【变式1-1】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）若，则一定有（   ） A． B．，且 C． D．a，b异号，且 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据，可以分析出a与b异号，且分母不能为0，即，最后进行选择即可． 【详解】解：由题可知，， 即a与b异号，且分母不能为0，即， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的乘法运算法则，能根据数轴得出是解此题的关键．根据数轴得出，求出，，，，，，再根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 【变式1-3】（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，有理数的乘法，分数的加减．由数轴可得：，，，再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，，，，，，， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-4】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）已知两个有理数a，b，如果，且，那么（　　） A． B． C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和加法计算，根据异号相乘得负得到两数异号，再由，得到负数的绝对值大于正数的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴两数异号， ∵， ∴说明负数的绝对值大于正数的绝对值． 故选：D． 考点2 利用有理数乘法法则进行计算 【例2】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式2-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． 根据有理数乘法运算直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【变式2-4】（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 考点3 利用有理数乘法法则解决实际问题 【例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长多少米？ 【答案】108米 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算及加减运算，理解题意，作出相应的图是解题关键 【详解】解：如图所示， 根据图示得，全长为：米 答：这条小路长108米 【变式3-1】（23-24七年级下·甘肃武威·开学考试）一公路检修组乘车沿东西方向检修路线，自地出发，约定向东为正，向西为负，到收工时，行走记录为（单位：千米）：，，，，，，．请根据题意解答下列问题： (1)问收工时检修组位于何处? (2)若汽车耗油为0.3升/千米，问从地出发到收工后回到地，共耗油多少升? 【答案】(1)收工时在检修组位于出发点西5千米处 (2)从出发到收工共耗油升 【分析】本题主要考查有理数乘法和加法运算的应用，熟练掌握有理数乘法运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行列式求解； （2）把每次的行走记录的绝对值相加，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时在检修组位于出发点西5千米处； （2）解：（千米）， （升）， 答：从出发到收工共耗油升． 【变式3-2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）春节前优鲜果水果店以每箱20元购进6箱武鸣沃柑，每箱标准质量为5000克，店员晓华逐箱进行称重，超出部分记为正，不足部分记为负，分别为：50克，克，30克，30克，克，40克，春节前以每箱50元卖出4箱，春节后打六折卖出2箱． (1)这6箱武鸣沃柑总质量为多少克？ (2)这6箱武鸣沃柑共盈利多少元？ 【答案】(1)克 (2)盈利140元． 【分析】本题考查了正数和负数的应用及有理数乘法运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出记录数据的总和，再加即得答案； （2）每箱的利润乘以总质量，即得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：（克）； （2）根据题意得（元）， 答：盈利140元． 【变式3-3】（23-24七年级上·四川达州·期中）某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：，，，，，，，，，，，求： (1)问收工时检修小组在A，地的哪一边，距A地多远？ (2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？ 【答案】(1)收工时在地的正东方向，距地． (2)故到收工时中途需要加油，加油量为升． 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）求出这几个数的和，根据结果的符号确定方向，绝对值确定距离； （2）计算行驶的总路程和耗油量，比较得出答案． 【详解】（1）根据题意可得：向东走为“”，向西走为“”； 则收工时距离等于． 故收工时在地的正东方向，距地． （2）从地出发到收工时， 汽车共走了； 从地出发到收工时耗油量为（升． 故到收工时中途需要加油，加油量为升． 【变式3-4】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）：182，178，177，182.5，183，184，181，185，178.5，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量； (2)这10袋玉米总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克？ 【答案】(1)，，，，，，，，，； (2)这10袋玉米总计超过11千克； (3)这10袋玉米的总质量是1811千克． 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算的应用，解题的关键是正确列式并计算． （1）把180千克作为基准数，计算出这10袋玉米的质量与180千克的差值即可； （2）把（1）中求得的数据相加即可； （3）把（2）中求得的数据再加上即可． 【详解】（1）∵以180作为基准数， ∴，，，，， ，，，，， ∴这10袋玉米的质量分别为：，，，，，，，，，； （2）（千克） ∴这10袋玉米总计超过11千克； （3）（千克） ∴这10袋玉米的总质量是1811千克． 考点4 倒数、相反数、绝对值的综合 【例4】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，互为相反数，且，，互为倒数，的绝对值为1，求的值． 【答案】2或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．依据相反数、倒数、绝对值的性质得到，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得：，，，，即， 当时，原式； 当时，原式， 故原式的值为2或． 【变式4-1】（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，互为倒数，是最大的负整数，且，互为相反数． (1)则______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，0 (2)0 【分析】本题考查相反数与倒数的定义与运用，代数式求值，准确计算是本题的解题关键． （1）根据相反数与倒数的定义即可得到答案； （2）根据要求计算即可，注意的部分可以提公因数． 【详解】（1），互为倒数，且，互为相反数， ，； （2）∵是最大的负整数， ∴ ∴ ． 【变式4-2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知：有理数所表示的点与表示的点距离个单位，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数．求：的值． 【答案】的值为或． 【分析】本题考查了绝对值，数轴，相反数，倒数等知识点的应用，直接利用相反数以及互为倒数的性质得出，，进而分类讨论得出答案解此题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】由有理数所表示的点与表示的点距离个单位，则或， 根据互为相反数且都不为零，可知， 由互为倒数可知， 当时，原式； 当时，原式； 故的值为或． 【变式4-3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：a与b是互为相反数，c与d互为倒数，m是绝对值最小的数，n是最大的负整数，则： (1) ， ， , ． (2)求：． 【答案】(1)0，1，0， (2)0 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把求出各式的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是绝对值最小的数，n是最大的负整数， ∴，，，， 故答案为：0，1，0，； （2）结合（1），可得： 【变式4-4】（22-23七年级上·广西贺州·期中）已知互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 【答案】或7 【分析】本题主要考查整式加减的代入求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．由题意可得：，，，把相应的值代入运算即可． 【详解】解：因为互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2， 所以 当时， ． 当时， ． 综上，所求代数式的值为3或7． 考点5 运用乘法运算律进行巧算 【例5】（23-24七年级上·河南许昌·开学考试）简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算和运算律： （1）先把小括号内的式子变形为，再计算去小括号和中括号，最后计算乘法即可； （2）把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）认真计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法结合律进行计算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算除法，最后计算乘法即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【变式5-2】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）用合适的方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先把除法运算转化为乘法运算，相乘后再相加即可求解； （）把分解成，再利用乘法交换律和结合律计算即可求解； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ， ． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式5-4】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）；         （2）； （3）；      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的乘法法则及乘法运算律，掌握有理数的乘法法则是解题的关键。 （1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把和，和利用乘法交换、结合律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （4）把与交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 考点6 有理数的混合运算 【例6】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】（）根据有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （）根据有理数乘除法则计算即可； （）根据乘法分配律计算即可； （）根据乘法分配律计算即可； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（）解：原式 ； （）解：原式 ； （）解：原式 ； （）解：原式 ． 【变式6-1】（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合计算法则求解即可； （3）根据有理数乘法分配律求解即可； （4）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式6-2】（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式6-3】（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）选择适当的方法计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的四则运算及运算律的应用． （1）先将百分数和小数统一化为分数，再根据有理数运算法则计算即可； （2）先计算括号内乘法，再计算括号内加减法，左后计算括号外乘除法即可； （3）先将除法转化为乘法，分数统一化为小数，再逆用乘法分配律计算即可； （4）将原式转化为即可计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式6-4】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 考点7 有理数的混合运算的实际应用 【例7】（23-24七年级上·广西百色·期末）某校七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学体育课使用，共买了2个篮球和3个排球，花360元，并且每个排球比篮球便宜30元． (1)求篮球和排球的单价； (2)商店里搞活动，有两种套餐， ①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折； ②满减活动：999减100，1999减200； 两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？ 【答案】(1)篮球的单价是90元，排球的单价是60元 (2)按照套装①购买更划算，且可多得2个排球 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据买了2个篮球和3个排球花360元，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两种套装需要的花费，然后再进行比较即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，则排球的单价为元，根据题意得： ， 解得：， （元）， 答：篮球的单价是90元，排球的单价是60元； （2）解：按照套装①打折，买15个篮球和15个排球需付款： （元） 单买15个篮球和13个排球需付款： （元）， 按照套装②，买15个篮球和13个排球实际付款： （元）， ∵， ∴按照套装①购买更划算，且可多得2个排球． 【变式7-1】（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）重庆某商场计划用12万元购买60台洗衣机，现有3种型号洗衣机可供选择：A种型号每台1600元，B种型号每台2200元，C种型号每台2600元． (1)如果只购买其中两种型号的洗衣机，12万元全部用完，请写出购买方案． (2)若A种型号可盈利200元，B种型号可盈利250元，C种型号可盈利300元，在题（1）的方案中，请问选择哪种方案盈利最高？盈利多少？ 【答案】(1)有购买A种型号20台和B种型号40台与购买A种型号36台和C种型号24台两种购买方案 (2)购买A种型号36台和C种型号24台的方案盈利多．盈利14400元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）分三种情况：方案，方案，方案，分别列出方程，求出结果即可； （2）分别求出两种方案获得的利润，然后再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：①方案：设购买A种型号台，则购买B种型号台． ， ， 所以A：20台，B：（台）． ②方案：设购买A种型号台，则购买C种型号台． ， 所以A：36台，C：（台）． ③方案：设购买B种型号台，则购买C种型号台． ， ， ，不符题意，舍去． 答：有购买A种型号20台和B种型号40台与购买A种型号36台和C种型号24台两种购买方案． （2）解：①方案：（元）， ②方案：（元）， ， 答：购买A种型号36台和C种型号24台的方案盈利多．盈利14400元． 【变式7-2】（23-24七年级下·重庆·开学考试）为增强市民节水意识，依据重庆市物价局《关于建立主城区居民用电阶梯价格制度的通知》，自2016年1月1日起，我市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 360以上 例如，某户家庭年使用自来水，应缴纳：元； 某户家庭年使用自来水，应缴纳：元． (1)小刚家2021年使用自来水，应缴纳______元；小刚家2022年共使用自来水，应缴纳______元． (2)小强家2022年使用自来水的平均水费为3.62元/，求小强家2022年共使用了多少自来水？ 【答案】(1)700，1332 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合阶梯水费收费标列式求解即可； （2）设小强家2022年使用自来水，分别假设和，列出对应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：小刚家2021年使用自来水，应缴纳水费：（元）； 小刚家2022年共使用自来水，应缴纳水费：（元）； 故答案为：700，1332． （2）设小强家2022年使用自来水， 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 综上，小强家2022年使用自来水． 【变式7-3】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元 (2)2月份用水立方米 (3)该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则运算，找清楚题目数量间的关系，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据价目表进行计算即可； （2）先根据2月份缴水费40元判断出2月份用水量再那个阶段，再根据价目表进行计算即可； （3）设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米，然后分类讨论，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元． （2）解：， ， 2月份用水量超过了10立方米， （元）， （立方米） （立方米） 答：2月份用水立方米； （3）解：设3月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米， 当时，， 由题意得， 解得，符合题意； 当时，， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 答：该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米． 【变式7-4】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)这30筐白菜总计超过6千克． (2)出售这30筐白菜可卖约元． 【分析】此题考查了正、负数的应用，以及有理数混合运算的应用． （1）分别用与标准质量的差值乘以筐数，然后求和即可； （2）根据总价=单价×数量即可． 【详解】（1）解： （千克）， ∴这30筐白菜总计超过6千克． （2）解：（元） 答：出售这30筐白菜可卖约元． 考点8 解新定义有关问题 【例8】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，直线相交交点个数的探究，化简绝对值，新定义运算的含义，由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴异号，且，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 【变式8-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【变式8-2】（23-24七年级上·四川泸州·期末）定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用题干中的新定义进行计算即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：9． 【变式8-3】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式8-4】（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)2 (2)24 (3)不具有，见解析 【分析】本题主要考查的是新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接根据新定义的进行计算即可； （2）直接根据新定义的含义列式，再进行计算即可； （3）根据新定义可得和，然后比较结果即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解:不具有，探究如下： 由，， ∵不一定是相同的有理数， ∴不一定等于， ∴和不一定相等， ∴新运算“⊕”不具有交换律． 【专题训练】 1．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，掌握相反数和倒数的定义是解答本题的关键． 根据题意利用相反数和倒数的定义计算即可． 【详解】解：， 的倒数为， 故选：D． 2．（2023·云南临沧·一模）计算的结果是（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则来计算，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【详解】 ． 故选：B． 3．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）由若干名同学站成一个中空的三层方阵，已知最外层的每边上有人，这个方阵中一共有（    ）名同学． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数四则混合运算的应用，根据公式“空心方阵的总人数（最外层每边人数空心方阵层数）空心方阵的层数”，代入数据进行解答即可. 【详解】解：根据题意可得， （人）， 即这个方阵中一共有名同学． 故选：B 4．（22-23七年级上·江苏南通·单元测试）下列计算：；；；．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，根据有理数的加减乘除法法则逐个判断即可，熟练掌握有理数的加减乘除运算法则是解题关键． 【详解】解：，则错误； ，则正确； ，则正确； ，则正确； 综上，正确的个数是个， 故选：． 5．（2024八年级·全国·竞赛）乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案． 【详解】计算的末两位数字是05， 的末两位数字是55， 的末两位数字是15， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25， 所以乘积的末两位数字是25． 故选A． 6．（24-25七年级上·河南平顶山·开学考试）如果，互为倒数，则的比值是 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的性质，熟练掌握倒数的性质是解题的关键．根据计算即可． 【详解】解：，互为倒数， ， ， ． 故答案为：；． 7．（22-23七年级下·浙江宁波·开学考试）〔x〕表示取x的整数部分，比如，若，则( ) 【答案】 【分析】本题考查小数的运算，先将三个数分别求出结果，然后再进行计算，即可求得这三个数的和是多少，依此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：. 8．（23-24七年级上·河南·开学考试）一个小数，如果把它的小数部分扩大了5倍，它就变成17.92；如果把它的小数部分扩大了8 倍，它就变成20.38，则这个小数是 ． 【答案】13.82 【分析】本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 先利用计算出原数的小数部分为0.82，则原数为，然后进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：， ， 所以原小数为13.82． 故答案为：13.82． 9．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∵， ∴的最大值为0． 故答案为：0 10．（22-23七年级下·广西柳州·开学考试）脱式计算，能简算的就简算，并写出过程： (1) (2) (3)17.63×37+17.63×82-176.3×1.9 (4) 【答案】(1) (2)1 (3)1763 (4) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，混合运算的关键是抓住运算顺序，正确按运算顺序计算，灵活运用运算定律简算． （1）括号里面利用减法的性质简算，再算除法； （2）利用乘法分配律简算； （3）利用乘法分配律简算； （4）括号里面的利用减法的性质简算，再算乘法． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 11．（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（1）根据题意，第一种解法是错误，除法运算没有这样的运算律，不能自己杜撰乱用致错． （2）选择适当且正确的方法解答即可． 本题考查了除法的运算，乘法分配律，熟练掌握运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第一种解法是错误的， 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ， 故原式． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，得出规律及熟练掌握有理数的混合运算法则及顺序是解题的关键． （1）根据题意得到，原式变形为，即可求解； （2）根据题意得到，原式变形为，即可求解； （3）把原式变形为，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解： ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义． （1）根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可， （2）首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可； 【详解】（1） （2），， ， ． 15．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）若与互为相反数，与互为倒数，的平方与它本身相等，请你求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，由与互为相反数，与互为倒数，的平方与它本身相等，得到，，或，代入到代数式进行计算即可求解，解题的关键是掌握相反数、倒数的性质． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数，的平方与它本身相等， ，，或， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 由上可得，的值是或． 56．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如表记录的是泗河今年某一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示高于标准水位，负号表示低于标准水位） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？最高水位和最低水位分别是多少？ (2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？ (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.6米时，请你计算下，再经过几个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【答案】(1)周五水位最高是，周一水位最低是； (2)上升了； (3)24个小时． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减法的实际应用，利用有理数的运算是解题关键． （1）根据有理数的加法，有理数的大小比较，可得答案； （2）根据有理数的减法，可得答案； （3）根据水位差除以上升的速度，可得答案． 【详解】（1）解：周一为， 周二为， 周三为， 周四为， 周五为， 周六为， 周日为， 周五水位最高是， 周一水位最低是． （2）， 和上周末相比水位上升了； （3）小时， 答：再经过24个小时工作人员就需要开闸泄洪． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的乘除 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数乘法法则 1、有理数的乘法法则 （1）两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与0相乘仍得0. 2、有理数的乘法符号法则（拓展） （1）如果两个数的积为正数，那么这两个数同正或同负，反之亦然，即:ab>0↔a>0,b>0或a<0,b<0; （2）如果两个数的积为负数，那么这两个数一正一负，反之亦然，即:ab<0↔a>0,b<0或a<0,b>0; （3）如果两个数的积为0,那么这两个数中至少有一个数是0，反之亦然，即:ab=0↔a=0或b=0. 知识点2 倒数 1、 定义 如果两个有理数的乘积为1，我们成这两个有理数互为倒数. 2、求倒数的方法 3、倒数与相反数间的关系 知识点3 乘法运算律 1、乘法交换律： 2、乘法结合律： 3、分配律： 知识点4 多个有理数相乘 1、几个不为0的数相乘的法则 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决 定.当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘， 2、有因数为0的几个数相乘的法则 几个数相乘,有一个因数为0,积为0.同样,若积为0，则至少有一个因数为0. 知识点5 有理数的除法法则 1、有理数茶法法则一 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以一个不为0的数仍得0,0不能作为除法. 2、有理数除法法则二 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数. 用字母表示： 3、乘除混合运算中的注意事项 （1）除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法运算律简化运算. （2）积的符号由负因数的个数决定，口诀为“偶正奇负,见0为0”.(3)结果要化为最简分数或整数. （3）结果要化为最简分数或整数. （4）有理数的乘除运算是同级运算，若没有括号,则按照从左到右的顺序计算. 【考点精讲】 考点1 利用有理数乘法法则辨别符号 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23六年级上·山东泰安·阶段练习）若，则一定有（   ） A． B．，且 C． D．a，b异号，且 【变式1-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）已知两个有理数a，b，如果，且，那么（　　） A． B． C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 考点2 利用有理数乘法法则进行计算 【例2】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-4】（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 考点3 利用有理数乘法法则解决实际问题 【例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长多少米？ 【变式3-1】（23-24七年级下·甘肃武威·开学考试）一公路检修组乘车沿东西方向检修路线，自地出发，约定向东为正，向西为负，到收工时，行走记录为（单位：千米）：，，，，，，．请根据题意解答下列问题： (1)问收工时检修组位于何处? (2)若汽车耗油为0.3升/千米，问从地出发到收工后回到地，共耗油多少升? 【变式3-2】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）春节前优鲜果水果店以每箱20元购进6箱武鸣沃柑，每箱标准质量为5000克，店员晓华逐箱进行称重，超出部分记为正，不足部分记为负，分别为：50克，克，30克，30克，克，40克，春节前以每箱50元卖出4箱，春节后打六折卖出2箱． (1)这6箱武鸣沃柑总质量为多少克？ (2)这6箱武鸣沃柑共盈利多少元？ 【变式3-3】（23-24七年级上·四川达州·期中）某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从A地出发到收工时行走记录（单位：，，，，，，，，，，，求： (1)问收工时检修小组在A，地的哪一边，距A地多远？ (2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？ 【变式3-4】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）：182，178，177，182.5，183，184，181，185，178.5，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量； (2)这10袋玉米总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克？ 考点4 倒数、相反数、绝对值的综合 【例4】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，互为相反数，且，，互为倒数，的绝对值为1，求的值． 【变式4-1】（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知，互为倒数，是最大的负整数，且，互为相反数． (1)则______，______； (2)求代数式的值． 【变式4-2】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知：有理数所表示的点与表示的点距离个单位，，互为相反数，且都不为零，，互为倒数．求：的值． 【变式4-3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：a与b是互为相反数，c与d互为倒数，m是绝对值最小的数，n是最大的负整数，则： (1) ， ， , ． (2)求：． 【变式4-4】（22-23七年级上·广西贺州·期中）已知互为相反数，互为倒数，x的绝对值是2，求的值． 考点5 运用乘法运算律进行巧算 【例5】（23-24七年级上·河南许昌·开学考试）简便计算 (1) (2) 【变式5-1】（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）认真计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) 【变式5-2】（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）用合适的方法计算． (1)； (2)． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-4】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）；         （2）； （3）；      （4）． 考点6 有理数的混合运算 【例6】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式6-1】（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【变式6-2】（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）选择适当的方法计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 【变式6-4】（23-24七年级上·山东菏泽·开学考试）简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 考点7 有理数的混合运算的实际应用 【例7】（23-24七年级上·广西百色·期末）某校七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学体育课使用，共买了2个篮球和3个排球，花360元，并且每个排球比篮球便宜30元． (1)求篮球和排球的单价； (2)商店里搞活动，有两种套餐， ①套装打折：五个篮球和五个排球为一套装，套装打八折； ②满减活动：999减100，1999减200； 两种活动不重复参与，学校打算买15个篮球，13个排球作为奖品，请问如何安排更划算？ 【变式7-1】（22-23七年级上·广西南宁·开学考试）重庆某商场计划用12万元购买60台洗衣机，现有3种型号洗衣机可供选择：A种型号每台1600元，B种型号每台2200元，C种型号每台2600元． (1)如果只购买其中两种型号的洗衣机，12万元全部用完，请写出购买方案． (2)若A种型号可盈利200元，B种型号可盈利250元，C种型号可盈利300元，在题（1）的方案中，请问选择哪种方案盈利最高？盈利多少？ 【变式7-2】（23-24七年级下·重庆·开学考试）为增强市民节水意识，依据重庆市物价局《关于建立主城区居民用电阶梯价格制度的通知》，自2016年1月1日起，我市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 360以上 例如，某户家庭年使用自来水，应缴纳：元； 某户家庭年使用自来水，应缴纳：元． (1)小刚家2021年使用自来水，应缴纳______元；小刚家2022年共使用自来水，应缴纳______元． (2)小强家2022年使用自来水的平均水费为3.62元/，求小强家2022年共使用了多少自来水？ 【变式7-3】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 【变式7-4】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）有筐白菜，以每筐为标准，超过或不足的千克数分别用正数或负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值单位： 筐数 (1)与标准重量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)这30筐白菜总计超过6千克． (2)出售这30筐白菜可卖约元． 【分析】此题考查了正、负数的应用，以及有理数混合运算的应用． （1）分别用与标准质量的差值乘以筐数，然后求和即可； （2）根据总价=单价×数量即可． 【详解】（1）解： （千克）， ∴这30筐白菜总计超过6千克． （2）解：（元） 答：出售这30筐白菜可卖约元． 考点8 解新定义有关问题 【例8】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【变式8-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【变式8-2】（23-24七年级上·四川泸州·期末）定义一种新运算“☆”，规定：，则 ． 【变式8-3】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定，则 ． 【变式8-4】（22-23七年级上·河南洛阳·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【专题训练】 1．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南临沧·一模）计算的结果是（   ） A．2 B． C．6 D． 3．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）由若干名同学站成一个中空的三层方阵，已知最外层的每边上有人，这个方阵中一共有（    ）名同学． A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·江苏南通·单元测试）下列计算：；；；．其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2024八年级·全国·竞赛）乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 6．（24-25七年级上·河南平顶山·开学考试）如果，互为倒数，则的比值是 ， ． 7．（22-23七年级下·浙江宁波·开学考试）〔x〕表示取x的整数部分，比如，若，则( ) 8．（23-24七年级上·河南·开学考试）一个小数，如果把它的小数部分扩大了5倍，它就变成17.92；如果把它的小数部分扩大了8 倍，它就变成20.38，则这个小数是 ． 9．（23-24七年级上·重庆·期中）定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ． 10．（22-23七年级下·广西柳州·开学考试）脱式计算，能简算的就简算，并写出过程： (1) (2) (3)17.63×37+17.63×82-176.3×1.9 (4) 11．（22-23七年级上·广西贺州·期中）阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，则解法______是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 13．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 15．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）若与互为相反数，与互为倒数，的平方与它本身相等，请你求的值． 56．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如表记录的是泗河今年某一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米，（正号表示高于标准水位，负号表示低于标准水位） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） (1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？最高水位和最低水位分别是多少？ (2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？ (3)由于下周将有大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.05米的速度上升，当水位达到16.6米时，请你计算下，再经过几个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$