专题06 有理数的减法-【知识大通关】2024-2025学年七年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题06 有理数的减法 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数减法法则 1、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数.（） 【特别提醒】有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“-”变成“+”，减数变成它的相反数;“一不变”是指被减数不变. 2、两数相减差的符号 （1）较大的数-较小的数 = 正数，即若a>b，则a-b>0. （2）较小的数-较大的数= 负数，即若a<b，则a-b<0. （3）相等的两个数的差为0，即若a=b，则a-b=0. 知识点2 加减法统一成加法 1、 在一个含有有理数加减混合运算的式子中，我们可以将减法转化为加法后，再按照有理数的加法法则来进行运算. 2、统一成加法运算后,通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“+”省略不写,写成省略加号的形式. 3、算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“-9-12-3+7”)通常有两种读法，一种是按代数和所表示的意义读，读作“负9，负12,负3与正7的和”,另一种是按运算意义读，读作“负9减12减3加7”. 【考点精讲】 考点1 有理数的减法法则辨析 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 【变式1-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个数之差一定小于被减数 B．减去一个负数，差一定大于被减数 C．减去一个正数，差不一定大于被减数 D．0减去任何数，差都是负数 【变式1-2】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．被减数减数差，差一定小于被减数 B．绝对值相等的两个数差为0 C．减去一个数等于加上这个数的相反数 D．0减去一个数，仍得这个数 【变式1-3】（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数 B．零减去一个数仍得这个数 C．两个相反数相减得零 D．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数或差大 【变式1-4】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（    ） A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数 B．两个负数的差一定是负数 C．正数减去负数的差一定是正数 D．0减去正数的差为正数 考点2 有理数减法运算 【例2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【变式2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【变式2-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2-3】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【变式2-4】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 考点3 利用有理数减法法则解决实际问题 【例3】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）陆上最高处是珠穆朗玛峰，海拔约为8844米，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，海拔约为米，两处的海拔相差 米． 【变式3-1】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图是某一矿井的示意图：以地面为准，点A的高度是米，B、C两点的高度分别是米与米．则点A比点B高 米． 【变式3-2】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）死海：西亚著名大盐湖，湖面海拔高度，我国最大的咸水湖是位于我国西部的青海湖，湖面海拔高度为，这两个咸水湖的湖面高度相差 【变式3-3】（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）身体健康是人生最大的财富开学伊始，“重外教师跑团”正式成立，蔡蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼他每天以米为标准，超过记为正数，不足记为负数下表记录了蔡蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)蔡蔡老师星期三跑了多少米？ (2)上周，蔡蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米？ 【变式3-4】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）全班名学生排成一行，从左边数，小红是第位；从右边数，小刚是第位，小红与小刚中间隔着多少名同学？ 考点4 有理数加减混合运算 【例4】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式4-2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）利用简便方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 考点5 有理数加减中的简便计算 【例5】（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4)． 【变式5-1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【变式5-2】（2024七年级上·广西·专题练习）计算： 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式5-4】（2024七年级上·广西·专题练习）计算． (1) (2) 考点6 有理数加减混合运算应用 【例6】（2024七年级下·四川成都·专题练习）（还原法）三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元、给乙70元，这样三人各有 240 元，三人原来各有存款多少元？ 【变式6-1】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过分．以分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：，，，，，． (1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？ (2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少？ 【变式6-2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）甲1分钟能洗3个盘子或9个碗，乙1分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙两人合作，20分钟洗了134个盘子和碗．问：甲、乙共洗了几个盘子几个碗？ 【变式6-3】（2024七年级上·江苏·专题练习）一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【变式6-4】（2024·河北邢台·一模）某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图10，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． (1)通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； (2)在1~7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化情况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 考点7 有理数的加减与绝对值综合 【例7】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算的结果为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式7-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【变式7-2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【变式7-3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【变式7-4】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）若，，且的绝对值与它的相反数相等，求的值． 考点8 有理数的加减与数轴综合 【例8】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024·贵州黔东南·一模）已知，b两个数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（21-22七年级下·甘肃武威·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24七年级上·安徽六安·期末）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． 考点9 有理数的加减中的新定义问题 【例9】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 【变式9-4】（23-24七年级上·全国·课后作业）如果，那么△表示的数是（    ） A． B．3 C．0 D． 【专题训练】 1．（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 2．（22-23七年级上·浙江宁波·开学考试）设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 3．（2024·江苏南京·三模）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若是有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如果，且，，则 ． 6．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）若，，且， ． 7．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中） 2023年洪涝灾害比以往较多，在某次救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从甲地出发，晚上到达乙地，规定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）：15，，7，，，，12，． (1)通过计算说明：乙地在甲地的______（填“东边”或“西边”）方向，与地相距______； (2)救灾过程中，最远处离出发点是______； (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为32升，求途中还需补充多少升油？ 11．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克． (2)这8筐白菜中最重的重 千克；最轻的重 千克． (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的减法 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数减法法则 1、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数.（） 【特别提醒】有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“-”变成“+”，减数变成它的相反数;“一不变”是指被减数不变. 2、两数相减差的符号 （1）较大的数-较小的数 = 正数，即若a>b，则a-b>0. （2）较小的数-较大的数= 负数，即若a<b，则a-b<0. （3）相等的两个数的差为0，即若a=b，则a-b=0. 知识点2 加减法统一成加法 1、 在一个含有有理数加减混合运算的式子中，我们可以将减法转化为加法后，再按照有理数的加法法则来进行运算. 2、统一成加法运算后,通常把各个加数的括号及其前面的运算符号“+”省略不写,写成省略加号的形式. 3、算式的读法 省略加号和括号的求和算式(如“-9-12-3+7”)通常有两种读法，一种是按代数和所表示的意义读，读作“负9，负12,负3与正7的和”,另一种是按运算意义读，读作“负9减12减3加7”. 【考点精讲】 考点1 有理数的减法法则辨析 【例1】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数 B．两个有理数的差一定小于它们的和 C．减去一个负数，差小于被减数 D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法以及正数和负数，是基础题，熟记运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则对各小题分析判断即可得解．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：． 【详解】解：A．若两个数的差是正数，则这两个数都是正数，说法错误，如，故本选项不合题意； B．两个有理数的差一定小于它们的和，说法错误，如，，故本选项不合题意； C．减去一个负数，差大于被减数，故本选项不合题意； D．较小的数减去较大的数所得的差必定为负数，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个数之差一定小于被减数 B．减去一个负数，差一定大于被减数 C．减去一个正数，差不一定大于被减数 D．0减去任何数，差都是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键．根据有理数的减法进行讨论即可． 【详解】解：A．两数之差不一定小于被减数，例如，，故选项说法错误，不符合题意； B．减去一个负数，等于加上这个数的相反数，即差大于被减数，故选项说法正确，符合题意； C．减去一个正数，等于加上这个数的相反数，故差一定小于被减数，故选项说法错误，不符合题意； D．若减数是负数，则0减去负数等于正数，故选项故说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．被减数减数差，差一定小于被减数 B．绝对值相等的两个数差为0 C．减去一个数等于加上这个数的相反数 D．0减去一个数，仍得这个数 【答案】C 【分析】此题考查了有理数减法结果大小的确定能力，关键是能正确理解并运用该法则．运用有理数减法运算对各选项进行辨别． 【详解】解：∵减数是正数时，差一定小于被减数， 减数是0时，差一定等于被减数， 减数是负数时，差一定大于被减数， ∴选项A不符合题意； ∵绝对值相等的两个数相等时差为0，绝对值相等的两个数互为相反数时差不一定为0， ∴选项B不符合题意； ∵减去一个数等于加上这个数的相反数， ∴选项C符合题意； ∵0减去一个数，得这个数的相反数， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数 B．零减去一个数仍得这个数 C．两个相反数相减得零 D．在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数或差大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，相反数 ，有理数的加法，根据有理数的加减运算法则、相反数的定义逐项判断即可求解，掌握有理数的加减运算法则、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：、减去一个数等于加上这个数的相反数，故该选项错误； 、零减去一个数等于这个数的相反数，故该选项错误； 、互为两个相反数的两数相加得零，相减不得零，故该选项错误； 、在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数或差大，该选项正确； 故选：． 【变式1-4】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（    ） A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数 B．两个负数的差一定是负数 C．正数减去负数的差一定是正数 D．0减去正数的差为正数 【答案】C 【分析】本题考查有理数加减运算法则及性质，熟练掌握有理数加减运算法则逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：A、在有理数的减法中，被减数与减数的大小关系没有大小要求，选项说法错误，不符合题意； B、被减数和减数如果是负数，且被减数的绝对值小于减数的绝对值时，两个负数的差为正数，选项说法错误，不符合题意； C、由减法性质，正数减去负数等于正数加上负数的相反数，差一定是正数，选项说法正确，符合题意； D、0减去正数的差为负数，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 考点2 有理数减法运算 【例2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【分析】本题考查有理数的减法运算： （1）利用有理数的减法法则计算即可； （2）利用有理数的减法法则计算即可； （3）利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【变式2-1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键．． （1）根据有理数减法运算法则求解即可得到答案． （2）根据有理数减法运算法则求解即可得到答案． （3）根据有理数减法运算法则求解即可得到答案． （4）根据有理数减法运算法则求解即可得到答案． （5）根据有理数减法运算法则求解即可得到答案． （6）根据有理数减法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式2-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式2-3】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可； （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式2-4】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． （1）利用减法法则进行计算即可； （2）利用减法法则进行计算即可； （3）利用减法法则进行计算即可； （4）利用减法法则进行计算即可； （5）利用减法法则进行计算即可； （6）利用减法法则进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 考点3 利用有理数减法法则解决实际问题 【例3】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）陆上最高处是珠穆朗玛峰，海拔约为8844米，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，海拔约为米，两处的海拔相差 米． 【答案】9259 【分析】本题考查了有理数的减法是实际应用，将两处海拔相减即可． 【详解】解：（米）， 故答案为：9259． 【变式3-1】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图是某一矿井的示意图：以地面为准，点A的高度是米，B、C两点的高度分别是米与米．则点A比点B高 米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法在实际问题的应用，根据题意列出算式，即可得到结果． 【详解】解：A点比B点高：（米）， 故答案为： 【变式3-2】（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）死海：西亚著名大盐湖，湖面海拔高度，我国最大的咸水湖是位于我国西部的青海湖，湖面海拔高度为，这两个咸水湖的湖面高度相差 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，掌握有理数减法运算法则是解题关键．用青海湖的海拔高度减去四海的海拔高度求解即可． 【详解】解：， 即这两个咸水湖的湖面高度相差， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）身体健康是人生最大的财富开学伊始，“重外教师跑团”正式成立，蔡蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼他每天以米为标准，超过记为正数，不足记为负数下表记录了蔡蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)蔡蔡老师星期三跑了多少米？ (2)上周，蔡蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米？ 【答案】(1)2750米； (2)890米 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的减法的实际应用，理解表中数据的含义是关键． （1）利用3000米减去250米就是所求； （2）最大值与最小值的差就是跑得最多的一天比最少的一天多跑的距离． 【详解】（1）解：； 答：蔡蔡老师星期三跑了2750米； （2）解：； 答：跑得最多的一天比最少的一天多跑了890米． 【变式3-4】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）全班名学生排成一行，从左边数，小红是第位；从右边数，小刚是第位，小红与小刚中间隔着多少名同学？ 【答案】名 【分析】本题考查了有理数加减运算的应用，由从左边数，小红是第位，可得小红的右边有位同学，从右边数小红是第位，再根据从右边数，小刚是第位即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵（人）， ∴小红的右边有位同学，从右边数小红是第位， ∵， ∴小红与小刚间隔名同学． 考点4 有理数加减混合运算 【例4】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）利用简便方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键： （1）运用有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用加法运算律进行计算即可； （3）利用加法运算律进行计算即可； （4）原式选化简绝对值，再进行加减运算即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点5 有理数加减中的简便计算 【例5】（21-22七年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3)168 (4) 【分析】（1）先去括号，将加减法转化为加法运算，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）先去括号，将加减法转化为加法运算，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）先去括号，将加减法转化为加法运算，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （4）先去括号，将加减法转化为加法运算，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法变为加法；二是减数变为其相反数．易出错的是：部分学生忘记减数变为其相反数而导致出错． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式5-1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】解： ． 【变式5-2】（2024七年级上·广西·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键． 从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】解： ． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算．先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式5-4】（2024七年级上·广西·专题练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1015 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，找到各加数的规律是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点6 有理数加减混合运算应用 【例6】（2024七年级下·四川成都·专题练习）（还原法）三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元、给乙70元，这样三人各有 240 元，三人原来各有存款多少元？ 【答案】甲、乙、丙三人原有存款分别是260元、160元、300元 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，根据丙给甲20元，甲给乙40元，后有240元，则用240加上40再减去20，即可求出甲之前的钱数；同理甲给乙40元，乙给丙30元，丙再给乙70元，用240减去40加上30再减去70，即可求出乙之前的钱数；再根据乙给丙30元，丙给甲20元、给乙70元，，则用240减去30加上20再加上70，即可求出丙之前的钱数． 【详解】解：根据题意得： 甲：（元） 乙：（元） 丙：（元） 答：甲、乙、丙三人原有存款分别是260元、160元、300元． 【变式6-1】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过分．以分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：，，，，，． (1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？ (2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少？ 【答案】(1)小明最高分比最低分高分； (2)他这六次数学测验的平均成绩是分． 【分析】（）根据小明记录了六次测验的成绩最大值减最小值即可； （）根据小明记录了六次测验的成绩之和除以，再加上即可求出他这六次数学测验的平均成绩； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的除法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据小明记录了六次测验的成绩最大值为，最小值为， ∴小明最高分比最低分高； （2）解： ， 答：他这六次数学测验的平均成绩是分． 【变式6-2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）甲1分钟能洗3个盘子或9个碗，乙1分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙两人合作，20分钟洗了134个盘子和碗．问：甲、乙共洗了几个盘子几个碗？ 【答案】84的盘子，50个碗 【分析】用假设法：假设甲乙洗的都是盘子，则洗了（个），少了（个）； 用置换法：（个）甲少用一分钟洗盘，就会多洗6个碗，（个）乙少用一分钟洗盘，就会多洗5个碗，因为，则甲用了4分钟洗碗，乙用了2分钟洗碗正好多洗出34个．所以（个）盘子，（个）碗．本题考查了有理数的加减混合运算的应用，有一定的难度，比较复杂，解答此题用了假设法和置换法． 【详解】解：假设20分钟都洗盘子， 则可洗（个），共少洗了（个）， 甲如果洗1分钟碗，数量就要多（个）， 乙如果洗1分钟碗，数量就要多（个）， ∵， ∴洗碗的个数是（个）， 洗盘子的个数是（个）； 答：洗了84的盘子，50个碗． 【变式6-3】（2024七年级上·江苏·专题练习）一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【答案】(1)2.73，1.78 (2)蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 【变式6-4】（2024·河北邢台·一模）某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图10，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． (1)通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； (2)在1~7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化情况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【答案】(1)前6天，仓库粮食减少7袋 (2)7号粮食减少2袋 【分析】本题考查了正数负数在实际生活中的应用，解题的关键是明确“正”和“负”所代表的实际意义． （1）根据有理数的加法即可解答； （2）设7号粮食变化x袋，依题意列方程即可． 【详解】（1）解： ， 前6天，仓库粮食减少7袋； （2）设7号粮食变化x袋，依题意得， ， 解这个方程，得，， ∴7号粮食减少2袋． 考点7 有理数的加减与绝对值综合 【例7】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算的结果为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，有理数加减混合运算．熟练掌握绝对值意义和有理数加减运算法则是解题的关键． 先去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 【变式7-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法，有理数的减法． 先根据绝对值的意义得出或，，再根据有理数的除法法则得出x和y异号，最后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∵， ∴，即x和y异号， ∴当时，当时，， ①当，时，， ②当，时，， ∴的值是或9， 故选：D． 【变式7-2】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的非负性即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【变式7-3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘法，正确分类讨论是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案； （2）直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：，， ，， （1）若，所以，异号， 当，时，， 当，时，， 综上，； （2）若，则， 当，时，， 当，时，， 综上，． 【变式7-4】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）若，，且的绝对值与它的相反数相等，求的值． 【答案】的值为或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据，得出，，根据的绝对值与它的相反数相等得出，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， ∵的绝对值与它的相反数相等， ， ∴， ∴，或，， 或， 的值为或． 考点8 有理数的加减与数轴综合 【例8】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，由数轴判断出有理数的符号和绝对值的大小是解题的关键． 观察数轴可知，，且，利用加法法则依次对选项进行判断即可得出结果． 【详解】解：由在数轴上的位置可知，，且， A、， ，故选项不符合题意； B、，且， ，故选项不符合题意； C、，且， ，故选项不符合题意； D、， ， ，故选项不符合题意； 故选：D． 【变式8-1】（2024·贵州黔东南·一模）已知，b两个数在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和有理数大小的应用，根据数轴得出，，再判断即可． 【详解】解：：，， A、由，，知,故本选项错误； B、从数轴可知，，故本选项正确； C、由，，知，故本选项错误； D、从数轴可知，，故本选项错误； 故选：B． 【变式8-2】（21-22七年级下·甘肃武威·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴．由图可知，，且，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，，且， A.，此项不符合题意； B.，此项符合题意； C.，此项不符合题意； D.，此项不符合题意． 故选：B． 【变式8-3】（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数轴可以得到，且，再利用实数的运算法则即可判断．本题主要考查了利用数轴来进行实数大小比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【详解】解：根据点在数轴的位置，知：，且． A、，且，，故本选项错误； B、，，故本选项正确； C、，，，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：B． 【变式8-4】（23-24七年级上·安徽六安·期末）在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴，先根据a、b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小是解答此题的关键． 先根据a、b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可知，， 则，故选项A不正确，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C不正确，不符合题意； 故选：B． 考点9 有理数的加减中的新定义问题 【例9】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示大于的最小整数，如，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的减法，根据题意表示大于的最小整数，即可得出答案． 【详解】解：∵表示大于的最小整数， ． 故选：B． 【变式9-1】（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 【变式9-2】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 【变式9-3】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据表示不超过x的最大整数得到，，再求出在数轴上的距离即可． 【详解】解：∵表示不超过x的最大整数， ∴，， ∵， ∴和所表示的点在数轴上的距离是， 故选：C 【点睛】此题考查了新定义、数轴上两点间的距离等知识，根据新定义求出，是解题的关键． 【变式9-4】（23-24七年级上·全国·课后作业）如果，那么△表示的数是（    ） A． B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据除法法则得，再根据减法法则可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数除法法则和有理数减法法则，熟练掌握有理数除法法则和有理数减法法则是解题的关键． 【专题训练】 1．（22-23七年级上·山东聊城·期中）已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·开学考试）设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数的加法运算，分为整数和不是整数两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当为整数时：，， ∴， 当不是整数时，例如：， 则：，， ∴； 综上：等于0或； 故选B． 3．（2024·江苏南京·三模）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正误，直接利用，在数轴上位置进而分别分析得出答案．正确结合数轴分析是解题关键． 【详解】根据数轴可知：，，则： 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断错误，不符合题意； 、，原选项判断正确，符合题意； 故选：． 4．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若是有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义及分类讨论的数学方法，解答本题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0，根据是正数、负数和0三种情况讨论即可得出结果． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，，即为非负数． 故选：D． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如果，且，，则 ． 【答案】< 【分析】本题考查有理数的乘法法则和加法法则，根据有理数的乘法法则可得，，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：<． 6．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）若，，且， ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加法、绝对值，先根据绝对值的意义得出a的值，再代入计算即可；熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：，且， ， ． 故答案为：． 7．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）用加法交换律将负数移到一起 ，然后利用有理数加法法则计算即可； （2）先用加法交换律将分母相同的分数移到一起，再用加法结合律将同分母分数相加，最后再将所得的结果相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】，计算过程见解析 【分析】此题考查了有理数的加法法则，利用拆分法进行计算，正确理解解题方法并正确解题是关键； 将各带分数依据已知题的拆分方法分别拆分，再将整数部分、分数部分分别相加，根据有理数的加法法则进行计算即可得到答案； 【详解】解：原式 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期中） 2023年洪涝灾害比以往较多，在某次救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从甲地出发，晚上到达乙地，规定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）：15，，7，，，，12，． (1)通过计算说明：乙地在甲地的______（填“东边”或“西边”）方向，与地相距______； (2)救灾过程中，最远处离出发点是______； (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为32升，求途中还需补充多少升油？ 【答案】(1)东边，20 (2)25 (3)8升 【分析】此题考查了有理数的正负数、混合运算的应用能力，关键是能准确理解有理数的相关知识，根据实际问题正确列出算式并计算． （1）对当天的行驶路程求和后，根据结果的符号和绝对值可确定此题的结果； （2）逐一求出每次行程后离A的距离即可； （3）用该冲锋舟每干米耗油量乘以所有行程绝对值的和的乘积，再减去该冲锋舟油箱的容量即可． 【详解】（1）， ∴乙地在甲地的东边方向，与地相距； （2）航行的各个救灾点与出发地甲地的距离分别为： 15；；；；；；；； ∴最远处是； （3）， （升），（升）， 答：还需要补充8升油； 11．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克． (2)这8筐白菜中最重的重 千克；最轻的重 千克． (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)24.5 (2)27；22 (3)出售这8筐白菜可卖389元 【分析】本题考查了有理数的加减法和乘法运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）纪录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数； （2）找到记录中最大的数和最小的数，然后根据标准求解即可； （3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案． 【详解】（1）解：最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数，因而是（千克）， 故答案为：24.5； （2）记录中最大的数为2，最小的数为 （千克），（千克） 这8筐白菜中最重的重27克；最轻的22千克， 故答案为：27；22． （3）（千克） （元， 答：出售这8筐白菜可卖389元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$