专题05 有理数的加法-【知识大通关】2024-2025学年七年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题05 有理数的加法 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数加法法则 1、有理数加法法则 （1）同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加. （2） 异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （3）一个数与0相加，仍得这个数. 2、有理数加法的运算步骤 （1）一看：看符合哪一条加法法则 （2）二定：定和的符号是正还是负 （3）三计算：利用绝对值相加或相减计算结果 3、有理数加法运算的各种情况 知识点2 有理数的加法运算律 1、 有理数的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 2、常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧 （1）相反数结合法：把互为相反数的数相加 （2）同号结合法：把符号相同的数相加 （3）同形结合法：把整数与整数、小数与小数、分母相同或容易通分的分数分别相加 （4）凑整法：把和为整数的数相加 （5）拆项结合法：把带分数拆为整数和真分数 【考点精讲】 考点1 有理数的加法法则辨析 【例1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．一个正数与一个负数的和一定是0 B．正数的绝对值大于负数的绝对值 C．两数相加，同号得正 D．相加得零的两个数一定互为相反数 【变式1-1】（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【变式1-2】（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．与任何数相加都得 C．若两数互为相反数，则这两数的和为 D．两数相加，取较大一个加数的符号 【变式1-3】（23-24九年级上·重庆北碚·期中）将五个互不相同的正整数，，，，沿圆周排成一圈，下列说法： ①不存在这样的五个数，使得任意三个相邻数的和相等； ②不存在这样的五个数，使得任意两个相邻数的和为奇数； ③若任意三个相邻数的和为的倍数，则任意两个相邻数的差是的倍数． 其中正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-4】（23-24七年级上·北京通州·期中）若a是有理数，那么下列说法一定正确的是（    ） A．当a是正有理数时，有成立 B．当a是负有理数时，有成立 C．当a是0时，有成立 D．当a是非负数时，有成立 考点2 有理数加法中的符号问题 【例2】（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【变式2-1】（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【变式2-2】（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）如果两个数的和为负数，那么这两个数（    ） A．一个为正数，一个为负数 B．同为负数 C．一个为零，一个为负数 D．至少一个为负数 【变式2-3】（2023七年级上·全国·专题练习）如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【变式2-4】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 考点3 有理数加法运算 【例3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【变式3-1】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【变式3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【变式3-4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点4 利用有理数的加法法则解决实际问题 【例4】（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）某校足球队守门员小明练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） ，，，，，，． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 【变式4-1】（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 【变式4-2】（2024七年级上·浙江·专题练习）快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东骑行到达C小区最后回到物流公司． (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用表示，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程． 【变式4-3】（23-24七年级上·海南儋州·期末）某公司上半年每个月的盈亏情况如下表（盈余为正，单位：万元）： 月份 月 月 月 月 月 月 盈亏（万元） (1)该公司收入最高的月份比最低的月份多多少万元？ (2)该公司上半年是盈还是亏？盈亏了多少？ 【变式4-4】（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 考点5 有理数运算律相反数结合法 【例5】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： ． 【变式5-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： 【变式5-2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【变式5-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【变式5-4】（23-24七年级上·湖北·周测）简便计算 (1) ； 考点6 有理数运算律同号结合法 【例6】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【变式6-1】（22-23七年级上·河南濮阳·阶段练习）利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【变式6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用适当的方法计算： (1)； (2)． 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式6-4】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）计算：． 考点7 有理数运算律同形结合法 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式7-2】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【变式7-3】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【变式7-4】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： 考点8 有理数运算律凑整法 【例8】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式8-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式8-2】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）计算题： (1)． (2)． 【变式8-3】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【变式8-4】（23-24七年级上·重庆开州·期中）计算： (1)； (2)． 考点9 有理数运算律拆项结合法 【例9】（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【变式9-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【变式9-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法计算： 【变式9-4】（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下面材料： 对于，可以如下计算： 原式 ． 仿照上面的方法，计算： (1)； (2)． 【专题训练】 1．（2024·吉林·模拟预测）与2027的和是（    ）． A．2024 B． C． D．2030 2．（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）某日从中午到傍晚温度下降了，记作；从傍晚到深夜又下降了，记作．这一日从中午到深夜一共下降了．请你根据温度的变化情况，计算： ； 5．（2024七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算*，其规则为，如：，那么的值是 ． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 7．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 8．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的加法 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数加法法则 1、有理数加法法则 （1）同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加. （2） 异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （3）一个数与0相加，仍得这个数. 2、有理数加法的运算步骤 （1）一看：看符合哪一条加法法则 （2）二定：定和的符号是正还是负 （3）三计算：利用绝对值相加或相减计算结果 3、有理数加法运算的各种情况 知识点2 有理数的加法运算律 1、 有理数的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 2、常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧 （1）相反数结合法：把互为相反数的数相加 （2）同号结合法：把符号相同的数相加 （3）同形结合法：把整数与整数、小数与小数、分母相同或容易通分的分数分别相加 （4）凑整法：把和为整数的数相加 （5）拆项结合法：把带分数拆为整数和真分数 【考点精讲】 考点1 有理数的加法法则辨析 【例1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．一个正数与一个负数的和一定是0 B．正数的绝对值大于负数的绝对值 C．两数相加，同号得正 D．相加得零的两个数一定互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法、相反数、绝对值等知识点，理解加法法则是解决本题的关键． 可通过举反例的办法判断对错． 【详解】解：例如与的和是不等于0，故选项A错误； ，故选项B错误； 两个负数相加，其和为负，故选项C错误； 互为相反数的两数的和是0，故选项D正确． 故选：D． 【变式1-1】（23-24六年级下·全国·假期作业）下列语句叙述正确的是（    ） A．对于任意有理数，若，则 B．对于任意有理数，若，则 C．对于任意有理数，若，则 D．两个有理数的和为正数，这两个数一定为正数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法法则，解题关键是熟记法则，逐项判断即可． 【详解】解：A. 对于任意有理数，若，则，符合题意； B. 对于任意有理数，若，则或，不符合题意； C. 对于任意有理数，若，若，则，不符合题意； D. 两个有理数的和为正数，这两个数可能都为正数也可能一正一负，且正数的绝对值较大，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．与任何数相加都得 C．若两数互为相反数，则这两数的和为 D．两数相加，取较大一个加数的符号 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法、相反数的定义，根据有理数的加法法则、相反数的定义逐项判断即可求解，掌握有理数的加法法则和相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：、一个正数加上一个负数，等于正数减去这个负数的相反数，得到的和小于原来的正数，故错误； 、任何数与相加仍得原数，故错误； 、根据相反数的定义可知，正确； 、两数相加取绝对值大的数的符号，故错误； 故选：． 【变式1-3】（23-24九年级上·重庆北碚·期中）将五个互不相同的正整数，，，，沿圆周排成一圈，下列说法： ①不存在这样的五个数，使得任意三个相邻数的和相等； ②不存在这样的五个数，使得任意两个相邻数的和为奇数； ③若任意三个相邻数的和为的倍数，则任意两个相邻数的差是的倍数． 其中正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则，减法法则以及有理数的特征，根据有理数的特征，有理数的加法减法法则，通过举例分析讨论即可． 【详解】解：①任意三个相邻数的和相等，则这个和是的倍数，但五个互不相同的正整数的和不可能是的倍数，故①正确； ②取这五个数，若任意两个相邻数的和为奇数则奇数的个数为偶数，而五个互不相同的正整数中奇数的个数为奇数，矛盾，故②正确； ③若任意三个相邻数的和为的倍数，则任意两个相邻数的和或差为的倍数，故③不正确． 故选：C． 【变式1-4】（23-24七年级上·北京通州·期中）若a是有理数，那么下列说法一定正确的是（    ） A．当a是正有理数时，有成立 B．当a是负有理数时，有成立 C．当a是0时，有成立 D．当a是非负数时，有成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的计算，解题的关键是熟练掌握有理数运算法则． 【详解】解：A．当a是正有理数时，有成立，故A错误； B．当a是负有理数时，有成立，故B正确； C．当a是0时，有成立，故C错误； D．当a是非负数时，有成立，故D错误． 故选：B． 考点2 有理数加法中的符号问题 【例2】（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【变式2-1】（21-22七年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【答案】D 【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案． 【详解】解：∵两数和为正数， ∴绝对值大的数的符号为正， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解题的关键． 【变式2-2】（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）如果两个数的和为负数，那么这两个数（    ） A．一个为正数，一个为负数 B．同为负数 C．一个为零，一个为负数 D．至少一个为负数 【答案】D 【分析】两数和为负数，则可能两数都为负数，或者一个负数一个非负数且负数的绝对值大于非负数的绝对值． 【详解】解：根据分析可得两数之和为负数，则必有一个数为负数 ． 故选：D． 【点睛】本题考查正数和负数的知识，比较基础，注意掌握有理数的加法的特点． 【变式2-3】（2023七年级上·全国·专题练习）如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（    ） A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a，b异号，且正数的绝对值较大 D．a，b异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数一正一负，且负数的绝对值大． 【详解】解：∵a+b＜0， ∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大， ∵a，b异号， ∴a、b异号，且负数的绝对值较大． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟知有理数加法运算法则是解本题的关键． 【变式2-4】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 考点3 有理数加法运算 【例3】（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）15（2）（3） 【分析】本题考查有理数的加法运算： （1）利用有理数的加法运算法则计算即可． （2）利用有理数的加法运算法则计算即可． （2）利用有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）原式 （3）原式． 【变式3-1】（22-23七年级上·贵州铜仁·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法，减法运算． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3-2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【分析】（）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）将分数化为带分数，进行计算即可得； （）直接进行计算即可得； （）将化为，进行计算即可得； （）通分进行计算即可得； （）先直接计算，再去绝对值即可得； （）将化为，进行计算即可得； （）先去绝对值，再进行计算即可得； 本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ； （11）解：原式 ， ； （12）解：原式 ． 【变式3-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)0.75 (3)0 (4) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； （2）（3）（4）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式3-4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)1.6 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数加法及绝对值，掌握其运算法则是解题关键． （1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，任何数与0相加仍得这个数，计算即可． （3）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可； （4）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可． （5）先去绝对值，再相加计算即可； （6）先去绝对值，再相加计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ； （5）解：原式， ； （6）解：原式 考点4 利用有理数的加法法则解决实际问题 【例4】（22-23七年级上·山东德州·阶段练习）某校足球队守门员小明练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） ，，，，，，． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 【答案】(1)是回到原来的位置； (2)守门员离开球门的位置最远12米； (3)守门员小明在这次练习中共跑了米 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解． （1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门的位置，从而得出答案； （2）观察记录的数据并计算，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离； （3）将所有记录数据取绝对值，再相加即可． 【详解】（1）解：因为(米)， 所以守门员是回到了原来的位置； （2）解：守门员第一次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第二次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第三次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第四次跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第五次跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第次六跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第七次跑动后离球门距离为： (米)； 所以守门员离开球门的位置最远12米； （3）解： (米)． 答：守门员小明在这次练习中共跑了米 【变式4-1】（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）某检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路，记录员规定向东行驶为正，向西行驶为负．以下是某天记录员记录的自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)收工时在A地那个方向，距A地多远? (2)若每千米耗油升，问从A地出发到收工时共耗油多少升? 【答案】(1)收工时在A地东边，距A地41千米； (2)升． 【分析】此题考查了有理数的混合运算以及正数与负数，正确列出算式并掌握有理数的相关运算法则是解本题的关键． （1）依题意列式求出和即可； （2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，然后用总路程，计算即可，与方向无关． 【详解】（1）解：(千米)； 答：收工时在A地东边，距A地41千米； （2）解：(千米)， (升)． 答：从A地出发到收工时共耗油升． 【变式4-2】（2024七年级上·浙江·专题练习）快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶到达A小区，继续向西行驶到达B小区，然后向东骑行到达C小区最后回到物流公司． (1)以物流公司为原点，向东方向为正方向，用表示，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． (2)C小区离A小区有多远？ (3)求快递员一共骑行的路程． 【答案】(1)见解析 (2)7千米 (3)16千米 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． （1）根据题意画出数轴即可； （2）将点A表示的数的绝对值加上点C表示的数的绝对值，即可求解； （3）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）解：根据题意可知：（千米）， 答：C小区离A小区7千米； （3）解：（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 【变式4-3】（23-24七年级上·海南儋州·期末）某公司上半年每个月的盈亏情况如下表（盈余为正，单位：万元）： 月份 月 月 月 月 月 月 盈亏（万元） (1)该公司收入最高的月份比最低的月份多多少万元？ (2)该公司上半年是盈还是亏？盈亏了多少？ 【答案】(1)80万元 (2)盈利45万元 【分析】考察正数负数的意义，分析表格的能力及有理数的加减法． 【详解】（1）解：由表格分析可知5月收入最高，3月收入最低 所以由题意得万元 答：该公司收入最高月份比最低月份多80万元； （2）解：万元 答：该公司上半年盈利45万元． 【变式4-4】（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可容许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥1分钟；爸爸2分钟；妈妈5分钟；爷爷10分钟．若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？ 请写出你设计的方案： 第一步：______与______过桥，______回来； 第二步：______与______过桥，______回来； 第三步：______与______过桥，共耗时______分钟． 【答案】哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17 【分析】结合实际发现用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间是解决本题的关键，根据要求一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟，可以首先让用时最少的两个人先过桥，这样他们往返送灯会节约时间，进而分别分析即可解答问题． 【详解】解：让哥哥、爸爸搭配，妈妈、爷搭配比较节省时间．他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒． 为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务． 那么就应该让哥哥、爸爸先过桥，用时2分钟，再由哥哥返回送手电筒，需要1分钟， 然后妈妈、爷爷一起过桥，用时10分钟，接下来爸爸返回送手电筒，用时2分钟，再和哥哥一起过桥，又用时2分钟∶ 所以花费的总时间为∶ (分钟)． 设计的方案∶ 第一步∶哥哥与爸爸过桥，哥哥回来； 第二步∶妈妈与爷爷过桥，爸爸回来； 第三步∶哥哥与爸爸过桥，共耗时17分钟． 故答案为：哥哥，爸爸，哥哥，妈妈，爷爷，爸爸，哥哥，爸爸，17． 考点5 有理数运算律相反数结合法 【例5】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： ． 【答案】 2 把分母相同的分数进行加减较为简便． 【详解】 解：原式 ． 【变式5-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： 【答案】 【分析】 根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） 解： 【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题的关键，运用交换律和结合律可简化计算． 【变式5-2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】0 【分析】利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． 【变式5-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算：． 【答案】1 【分析】直接利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． 【变式5-4】（23-24七年级上·湖北·周测）简便计算 (1) ； 【答案】(1) ． 【分析】（1）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了加法的交换律和结合律，根据各数的特点进行适当的结合是解题的关键． 考点6 有理数运算律同号结合法 【例6】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法运算，利用加法交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-1】（22-23七年级上·河南濮阳·阶段练习）利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用加法的运算律进行求解较简便； （2）利用加法的运算律进行求解较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用适当的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）利用结合律简便计算法计算； （2）利用结合律简便计算法计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． （2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2） ． 【变式6-4】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 考点7 有理数运算律同形结合法 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．利用有理数加法运算法则和加法运算律计算，即可求解． 【详解】解： 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则． （1）先算同分母分数，再相加即可求解； （2）先算同分母分数，再相加即可求解； （3）先算同分母分数，再相加即可求解． 【详解】（1） 解： ； （2） ； （3） ． 【变式7-2】（2024七年级上·全国·专题练习）用适当方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可； （2）首先运用加法交换律将原式整理为，然后进行有理数加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，先化简，根据有理数加法法则及结合律计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式7-4】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可 【详解】解： 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，熟记加法运算的运算法则与加法运算律是解本题的关键 考点8 有理数运算律凑整法 【例8】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】（1）根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可； （2）根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法的交换律和结合律． 【变式8-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】在加减混合运算中，通常将和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 【变式8-2】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）计算题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法运算律是解答本题的关键． 【变式8-3】（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法； 根据有理数的加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解：原式 . 【变式8-4】（23-24七年级上·重庆开州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）直接利用有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 考点9 有理数运算律拆项结合法 【例9】（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式9-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）拆项法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，将带分数拆分，再利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ． 【变式9-4】（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）阅读下面材料： 对于，可以如下计算： 原式 ． 仿照上面的方法，计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题方法，根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）仿照例题方法，根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减运算，理解题中运算方法，利用类比思想并灵活运用有理数的加减运算法则是解答的关键． 【专题训练】 1．（2024·吉林·模拟预测）与2027的和是（    ）． A．2024 B． C． D．2030 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（22-23七年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 4．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）某日从中午到傍晚温度下降了，记作；从傍晚到深夜又下降了，记作．这一日从中午到深夜一共下降了．请你根据温度的变化情况，计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法的应用．根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：； ， 故答案为：；． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）定义一种新运算*，其规则为，如：，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算、新定义运算等知识点，将新定义运用转化成有理数加法成为解题的关键． 用新运算法则将原式化成有理数加法，然后进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）（1）加法交换律： ， 例： ； （2）加法结合律：( )， 例：[ ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：；． （2）； ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 7．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）提升计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【答案】(1) (2)17升 (3)45元 【分析】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答； （2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解； （3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可． 【详解】（1）解：， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地； （2）解：（升） （3）解：第一次3公里，不超过3公里，收费为9元； 第二次10公里，超过3公里，收费为元； 第三次5公里，超过3公里，收费为元， ∴ 总共收入为：元， 答：这天下午小王前三次营运收入45元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$