专题04 绝对值及有理数的大小比较-【知识大通关】2024-2025学年七年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题04 绝对值及有理数的大小比较 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 绝对值 1、定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作，读作“的绝对值”. 2、性质 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0； 即：（1）如果，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么. 知识点2 绝对值的非负性 1、 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数； 2、 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0是绝对值最小的数，即：若，则；若，则. 3、 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：，则或. 【注意】 （1）当时，;当时，； （2）当时，；当时，. 知识点3 比较有理数的大小 1、用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即：左边的数小于右边的数. 2、用数的性质比较有理数大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 【考点精讲】 考点1 绝对值的意义 【例1】（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．负数 B．负数和 C．正数和 D．正数 【变式1-1】（2024七年级·全国·竞赛）下列说法中正确的是（    ）． A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数 【变式1-2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有四种说法：①表示负数；②若，则；③绝对值最小的有理数是0；④正整数和负整数统称为整数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ） A．符号相反的数是互为相反数 B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 D．总是大于0 【变式1-4】（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与相等 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 考点2 求一个数的绝对值 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）的绝对值等于 ． 【变式2-1】（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）的绝对值是 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）绝对值不大于6的整数有 个． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【变式2-4】（20-21七年级上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则 等于 . 考点3 已知一个数的绝对值求这个数 【例3】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【变式3-1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 【变式3-2】（23-24七年级上·山东德州·期末）已知，且，则 ． 【变式3-3】（23-24七年级上·广西贵港·期中）已知，，且，则的值是 . 【变式3-4】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）当，且，则 ． 考点4 化简绝对值 【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知： b（用“、或”填空）； (2)结合数轴化简． 【变式4-1】（23-24七年级上·广东·单元测试）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空： ______0， ______0， ______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【变式4-2】（23-24七年级上·云南红河·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示： (1)判断 ___0， ____0， ____0， ____0，（填“>”或“˂”或“=”） (2)化简： ， ， 【变式4-3】（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试），，三个数在数轴上的位置如图所示， 且 (1)比较，， 的大小； (用连接) (2)化简 【变式4-4】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是　　，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为　　． (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则　　． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是　　； 当时，x的值为 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 考点5 利用绝对值的非负性求值 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）已知和互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D．0 【变式5-1】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则m一定（   ） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 【变式5-2】（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则 ． 【变式5-3】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，则的值为 ． 【变式5-4】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 考点6 解绝对值方程 【例6】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【变式6-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【变式6-2】（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1：解方程． 解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2：解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______； (2)解不等式； (3)若，则x的取值范围是_______； 考点7 绝对值的应用 【例7】（22-23七年级上·河南新乡·阶段练习）某农贸商店购进6筐白菜，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如表． 白菜 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差值 1.5 1 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜重______千克； (2)与标准质量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【变式7-1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【变式7-2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）若点A、B、C在数轴上表示数分别为a、b、c，满足，则称点B为点A、C的倍距点．例如：若，因为，，则；所以点B是点A、C的倍距点． (1)若，请说明点B是点A、C的倍距点； (2)若，点B是点A、C的倍距点，且，试求出b的值； (3)若、，点B为点A、C的倍距点，请求出c的值． 【变式7-3】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式7-4】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）有两点，在数轴上分别表示实数，若的绝对值是的绝对值的4倍，且A、B两点的距离是15，求的值． (1)若两点在原点的同侧：两点都在原点的左侧时，__________，__________，A、B两点都在原点的右侧时，__________，__________． (2)若两点在原点的两侧：A在原点的左侧、B在原点的右侧时，__________，__________，A在原点的右侧、B在原点的左侧时，__________，__________． 考点8 有理数的大小比较 【例8】（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）在数轴上表示下列各数：1，0，，2.5，，4并用“”把它们连接起来． 【变式8-1】（22-23七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）比较下列各组数的大小 (1) 与 (2)与 (3)0与 (4)与 【变式8-2】（24-25七年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小． (1)与 (2)，，， ． 【变式8-3】（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【变式8-4】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【专题训练】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）化简（    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 3．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 4．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ） A． B． C．0 D．1 5．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图所示，化简 ． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）比较大小： （填“”或“”或“”）． 7．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）已知，且，且的值等于 ． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)有最 值 ； (2)有最 值 ； (3)当a的值为 时，有最 值 ； (4)若，求ab的值． 10．（21-22七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 11．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 绝对值及有理数的大小比较 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 绝对值 1、定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作，读作“的绝对值”. 2、性质 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0； 即：（1）如果，那么； （2）如果，那么； （3）如果，那么. 知识点2 绝对值的非负性 1、 任何一个数的绝对值，都是唯一的非负数； 2、 绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它的相反数的数是非正数，0是绝对值最小的数，即：若，则；若，则. 3、 绝对值相等的两个数相等，或互为相反数，即：，则或. 【注意】 （1）当时，;当时，； （2）当时，；当时，. 知识点3 比较有理数的大小 1、用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即：左边的数小于右边的数. 2、用数的性质比较有理数大小的法则 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 【考点精讲】 考点1 绝对值的意义 【例1】（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（    ） A．负数 B．负数和 C．正数和 D．正数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．根据绝对值的性质解答． 【详解】解：如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数和． 故选：C． 【变式1-1】（2024七年级·全国·竞赛）下列说法中正确的是（    ）． A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值，根据整数的定义，可判断A；根据绝对值的意义，可判断B、C、D；依此即可求解． 【详解】A. 当时，是0，故A错误； B. 两个数相等或互为相反数时它们的绝对值相等，故B错误； C. 若则与相等或互为相反数，故C错误； D. 若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数，故D正确． 故选：D． 【变式1-2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）现有四种说法：①表示负数；②若，则；③绝对值最小的有理数是0；④正整数和负整数统称为整数．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，绝对值，正负数，根据相反数的定义即可判断①，根据绝对值的性质即可判断②，根据绝对值的意义即可判断③，考虑0即可判断④，掌握相反数，绝对值，正负数是解题的关键． 【详解】解：①表示正数，负数或0，故①错误； ②若，则，故②错误； ③绝对值最小的有理数是0，故③正确； ④0是整数，但0既不是正整数也不是负整数，故④错误； 综上，③正确，正确的个数是1个， 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ） A．符号相反的数是互为相反数 B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 D．总是大于0 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，根据相反数的定义，绝对值的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项符号相反的数互为相反数，则应该是只有符号相反的数互为相反数，故A选项不符合题意； B选项一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右，则应该是一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故B选项不符合题意， C选项一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，结论正确，故C选项符合题意， D选项当时，，则应该是，故D选项不符合题意， 故选：C． 【变式1-4】（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与相等 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，不是负数，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、若，则与相等或互为相反数，则此项错误，不符合题意； D、因为正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，此项正确，符合题意； 故选：D． 考点2 求一个数的绝对值 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）的绝对值等于 ． 【答案】100 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可． 【详解】解：，即的绝对值等于100， 故答案为：100． 【变式2-1】（22-23七年级上·河北唐山·单元测试）的绝对值是 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键． 利用绝对值的定义解题即可． 【详解】， 3的绝对值是3． 故答案为：3． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）绝对值不大于6的整数有 个． 【答案】13 【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键． 依次列出绝对值不大于6的整数即可解答． 【详解】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0． 绝对值不大于6的整数有13个． 故答案为：13． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）化简： ； ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则． 【详解】解：，，， 故答案为：，，2． 【变式2-4】（20-21七年级上·江苏南京·阶段练习）若与互为相反数，则 等于 . 【答案】 【详解】此题考查了相反数，绝对值问题，根据相反数的定义可得，再整体代入算式计算即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 考点3 已知一个数的绝对值求这个数 【例3】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值，解题关键是熟记绝对值的定义．利用绝对值的定义求出a再代入即可求解． 【详解】解： 解得：或 或 故答案为∶或． 【变式3-2】（23-24七年级上·山东德州·期末）已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或 【变式3-3】（23-24七年级上·广西贵港·期中）已知，，且，则的值是 . 【答案】2或/或2 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，先由，，得，结合同号相乘得正，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴或 则或 故答案为：2或 【变式3-4】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）当，且，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值先求出x，y的值，再根据得出符合条件的值，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值相关的计算，明确题意是关键． 考点4 化简绝对值 【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示． (1)结合数轴可知： b（用“、或”填空）； (2)结合数轴化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的意义，数轴的概念，关键是掌握有理数的大小比较方法，绝对值的意义，数轴的三要素． （1）由数轴可知，，，再比较大小即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，，再取绝对值符号合并即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ， 故答案为： （2）解：由数轴可知，，， ，，， ． 【变式4-1】（23-24七年级上·广东·单元测试）如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c． (1)填空： ______0， ______0， ______0．（用<或>或＝号填空） (2)化简：． 【答案】(1)<，<，< (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． （1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 由数轴得：， ∴， 故答案为：； （2）由数轴得：， ∴， ∴原式 ． 【变式4-2】（23-24七年级上·云南红河·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示： (1)判断 ___0， ____0， ____0， ____0，（填“>”或“˂”或“=”） (2)化简： ， ， 【答案】(1)；；；； (2)；； 【分析】本题主要考查数轴表示的数和化解绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．零左边的数为负数，零右边的数为正数． （1）从图中可以看出，，进而求解即可； （2）利用（1）的结论化简绝对值，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，，，，； （2）解：∵，，， ∴，；． 【变式4-3】（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试），，三个数在数轴上的位置如图所示， 且 (1)比较，， 的大小； (用连接) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察数轴，可知且，由此可知，，便可解决； （2）结合，，的大小关系分别判断出绝对值符号内各式的正负，然后去掉绝对值符号进行化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴上，，三个数的位置，可得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，，，， ∴． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，绝对值以及有理数比较大小，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【变式4-4】（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示6与两点之间的距离是　　，数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为　　． (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则　　． (3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，当时，x的取值范围是　　； 当时，x的值为 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值及对应的取值范围；如果没有，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)； (4) 【分析】（1）根据距离公式即可解答； （2）利用距离公式列方程求解即可； （3）分为，和去绝对值求解即可； （4），和，去绝对值求解即可. 本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了取绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性. 【详解】（1）数轴上表示与两点之间的距离是, 数轴上表示x与的两点之间的距离可以表示为, 故答案为: ，； （2）解：， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，，解得全部满足， 故整数为； 当时，， 解得； 当时，， 解得，不符合题意舍去； 当时，，无解， 故x的值为； 故答案为：；； （4）当时，； 当时，；； 当时，； 故最小值为． 考点5 利用绝对值的非负性求值 【例5】（2024七年级上·全国·专题练习）已知和互为相反数，则的值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、相反数的定义、代数式求值等知识点，根据绝对值的非负性和相反数的定义求出m与n的值成为解题的关键． 根据绝对值的非负性和相反数的定义求出m与n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）若，则m一定（   ） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性解决此题． 【详解】解：， ． 故选：C． 【变式5-2】（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法及绝对值，根据绝对值的非负性求出与的值，即可求出的值，正确理解绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴ 故答案为：． 【变式5-4】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质和求代数式的值，根据，得出，求得x与y的值，再代入即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 考点6 解绝对值方程 【例6】（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【答案】(1)或 (2)；； (3)无解 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用分类讨论得出是解题关键． （1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）运用分类讨论进行解答； （3）先去分母，再分别根据当，以及当分别求出即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是或； （2）解：∵， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程只有一个解； ③当时，方程有两个解； 故答案为：；；； （3）解： 去分母，得， ①当，即时， 原方程化为，， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时， 原方程化为， 解得 ，不符合题意，舍去； 所以，原方程无解． 【变式6-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)6 (2)7或 (3)或或0或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． （1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）解：令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ， 符合条件的整数为：或或0或1． 【变式6-2】（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5， 【分析】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）分两种情况，将绝对值方程转化为两个方程求解，即得答案； （3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）数轴上x和两点之间的距离表示为； 故答案为：． （2）   或， 或；   故答案为：1或． （3）式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值5； 当时，有最小值．   故答案为：5；． 【变式6-4】（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1：解方程． 解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2：解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______； (2)解不等式； (3)若，则x的取值范围是_______； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，不等式，利用绝对值的性质，借助数轴表示其实际意义进行求解，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）将表示在数轴上与5的距离为3的点对应的数，借助数轴求解即可； （2）首先找的解，即到距离为4的点对应的数为和2，再根据表示到的距离小于4的点对应的所有数，借助数轴求解即可； （3），表示到1的点与到的点距离和为3，借助数轴求解即可． 【详解】（1）解：， 在数轴上与5的距离为3的点对应的数是2或8， 则该方程的解为：或． 故答案为：或． （2） ， 首先找的解，即到距离为4的点对应的数为和2， 表示到的距离小于4的点对应的所有数， 不等式解集为； （3）， 表示到1的点与到的点距离和为3， 与1之间的距离为3， ； 故答案为：． 考点7 绝对值的应用 【例7】（22-23七年级上·河南新乡·阶段练习）某农贸商店购进6筐白菜，以每筐30千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的记录如表． 白菜 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差值 1.5 1 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜重______千克； (2)与标准质量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)29.5 (2)与标准质量比较，这6筐白菜总计不足，不足4.5千克． 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算． （1）绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数； （2）根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解：， 这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜重千克； 故答案为：； （2）解：由题意可得： （千克）， 与标准质量比较，这6筐白菜总计不足，不足4.5千克． 【变式7-1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）（1）计算：； （2）； （3）已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 【答案】（1）（2）；（3）当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解 【分析】本题考查了解绝对值方程，绝对值的性质以及绝对值的运用，灵活运用分类讨论是解决本题的关键． （1）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； （2）先化简最外面的，得或，再化简里面的绝对值，得或，进行计算即可； （3）把进行分类讨论，分为、，，然后分别化简绝对值，进行计算即可； 【详解】解：（1）①当时， ∴ ∴， ∴， 解得； 此时方程的解为：x=1； ②当时， ∴ ∴， 此时方程的解为：； ③当时， ∴ ∴|， ∴， 解得：， 此时方程的解为：； 综上所述：此时方程的解为：； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， 由解得：； 由解得：； 由解得：； 由解得：， 综上所述：方程的解为：； （3）①当时，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∵， ∴ 解得：， 即当时，方程的解为：； ②当时， ∴， ∴， ∴， 即当时，方程的解为：； ③当时， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即当时，方程|x-2|+|x-3|=a的解为：； 综上所述：当时，方程的解为：；当时，方程的解为：；当时，方程无解． 【变式7-2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）若点A、B、C在数轴上表示数分别为a、b、c，满足，则称点B为点A、C的倍距点．例如：若，因为，，则；所以点B是点A、C的倍距点． (1)若，请说明点B是点A、C的倍距点； (2)若，点B是点A、C的倍距点，且，试求出b的值； (3)若、，点B为点A、C的倍距点，请求出c的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)c的值为或或0或6 【分析】本题考查了绝对值的应用问题． （1）分别求出和，证明相等即可； （2）根据点B是点A、C的倍距点，得到关于a，b，c的等式，结合，分两种情况求解即可； （3）根据点B为点A、C的倍距点得到，把a代入后去掉绝对值可得到两个等式，，也可得到两个等式，可组成四个方程组，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ，， ∴， ∴点B是点A、C的倍距点； （2）解：∵点B是点A、C的倍距点， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴，， ∴； （3）解：∵点B为点A、C的倍距点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 化简得：或， ∵， ∴或， ∴或或或， 解得：或或或， 综上：或或或0． 【变式7-3】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【变式7-4】（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）有两点，在数轴上分别表示实数，若的绝对值是的绝对值的4倍，且A、B两点的距离是15，求的值． (1)若两点在原点的同侧：两点都在原点的左侧时，__________，__________，A、B两点都在原点的右侧时，__________，__________． (2)若两点在原点的两侧：A在原点的左侧、B在原点的右侧时，__________，__________，A在原点的右侧、B在原点的左侧时，__________，__________． 【答案】(1)；；20；5 (2)；3；12， 【分析】本题主要考查的是数轴和绝对值、解二元一次方程组，根据题意列出关于、的方程组是解题的关键． （1）根据绝对值的性质列方程求解即可； （2）根据题意列方程组求解即可． 【详解】（1）解：当A、B两点都在原点的左侧时，根据题意得：，， 解得，． ∴，； A、B两点都在原点的右侧时，根据题意得：，， 解得：，． ∴，． 故答案为：；；20；5． （2）解：A在原点的左侧、B在原点的右侧时，根据题意得：，， 解得：，． ∴，； A在原点的右侧、B在原点的左侧时，根据题意得：，， 解得：，． ∴，． 故答案为：；3；12，． 考点8 有理数的大小比较 【例8】（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）在数轴上表示下列各数：1，0，，2.5，，4并用“”把它们连接起来． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．先在数轴上表示各数，再利用右边的点表示的数比左边的大写出结果即可． 【详解】解：数轴如下： ∴． 【变式8-1】（22-23七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）比较下列各组数的大小 (1) 与 (2)与 (3)0与 (4)与 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数比较大小，通过去绝对值和负数比较方法是解题的关键 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可对（1）（4）作出比较； 对于（2）（3）直接去绝对值比较大小即可； 【详解】（1）解：， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得： （2）解：， （3）解：， （4）解：，， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得： 【变式8-2】（24-25七年级上·全国·单元测试）比较下列各组数的大小． (1)与 (2)，，， ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的比较，掌握有理数的大小比较是解本题的关键． （1）按照两个负数比较大小的方法，两个负数绝对值大的反而小即可得； （2）根据①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可得． 【详解】（1）解：，，且， ； （2），且 的大小关系为． 【变式8-3】（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较，多重符号化简，绝对值运用，小数分数的互化，根据正数大于，负数小于，正数大于负数；两个正数中绝对值大的数大；两个负数中绝对值大的反而小，解答本题即可． （1）将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （2）将带分数化为假分数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （3）化简多重符号，将分数化为小数，根据两个负数中绝对值大的反而小解答即可； （4）化简绝对值，多重符号，根据正数大于负数进行解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2），， ， ； （3），， ， ； （4），， ， ． 【变式8-4】（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【专题训练】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）化简（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，根据绝对值定义直接求绝对值即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如果，，，那么的值是（       ） A．2或0 B．或0 C．或3 D．或9 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法，有理数的减法． 先根据绝对值的意义得出或，，再根据有理数的除法法则得出x和y异号，最后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∵， ∴，即x和y异号， ∴当时，当时，， ①当，时，， ②当，时，， ∴的值是或9， 故选：D． 3．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）若，则的值是（   ） A．3 B． C．3或 D．3或11 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值后，解方程即可. 本题考查了绝对值方程，一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键. 【详解】解：， 故或， 解得或. 故选C. 4．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：，， 原式． 故选：C． 5．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）比较大小： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了有理数大小的比较．根据有理数大小比较规则，求解即可，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段练习）已知，且，且的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加减法和绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并分类讨论是解题的关键．先根据绝对值的化简法则得出x与y的值，再根据，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵ ∴或；或， 又∵， ∴当，时，， 当，时， 故答案为：或． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ； (3)若x表示一个有理数，且，则 ； (4)当 时，的最小值是 ． 【答案】(1)3；4 (2) (3)4 (4)1，5 【分析】本题主要考查了学生对绝对值的综合运用能力，解答时注意运用数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据x的取值范围，分别判断与的正负，然后根据绝对值的性质求解即可； （4）设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为，则，画出数轴，根据两点间的距离公式解答． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：3；4； （2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 故答案为：； （3）当时，， 则， 故答案为：4； （4）由题意可知表示数轴上x和1的两点之间的距离，表示数轴上x和2的两点之间的距离，表示数轴上x和的两点之间的距离， 设点表示的数为1，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为， 则， 如图，当点与点重合时，，，， 则，此时， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点左侧时，，， 则， 如图，当点在之间（可与重合，不与重合），，， 则， 如图，当点在点右侧时，，， 则， 综上所述，当时，有最小值5， 故答案为：1，5． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)有最 值 ； (2)有最 值 ； (3)当a的值为 时，有最 值 ； (4)若，求ab的值． 【答案】(1)小，1 (2)大，5 (3)1，小，2 (4)3 【分析】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据的最小值为0即可得答案； （2）根据有最大值0即可得答案； （3）根据可得，即可答案； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， 故答案为：小，1 （2）解：∵， ∴， ∴有最大值5， 故答案为：大，5 （3）解：∵， ∴， ∴，即时，有最小值2， 故答案为：1，小，2； （4）解：根据题意，， 解得， 所以，． 10．（21-22七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． （1）根据正数大于负数即可求解； （2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解； （3）先化简绝对值，再根据两个负数比较大小的方法即可求解； （4）两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以； （2）解：因为， 所以； （3）解：因为，，， 所以； （4）解：因为，，， 所以． 11．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$