专题02 有理数和数轴-【知识大通关】2024-2025学年七年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题02 有理数与数轴 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数及其分类 1、有理数的相关概念 （1）整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3、-2、1、2，…. （2）分数：正分数、负分数统称为分数，如，0.2，-1.23，，…. 特别说明：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数. （3）有理数：整数和分数统称为有理数. 2、有理数的分类 （1）按有理数的定义分类 （2）按有理数的性质分类 （正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数，例如 ） 知识点2 数轴 1、 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 2、 画数轴的步骤 【注意】 （1）数轴是一条直线，可以向两方无限延伸.； （2）原点、正方向、单位长度为数轴的三要素，缺一不可.； （3）规定的意思是“三要素”的确定是根据实际情况规定的，但是同一数轴上的单位长度必须统一； （4）原点左边的部分称为数轴的负半轴，原点右边的部分称为数轴的正半轴. 知识点4 数轴上的点与有理数的关系 【注意】 有理数可以用数轴上的点表示的数的对应关系： （1）正有理数可以用数轴上原点右边（或上边）的点表示； （2）负有理数可以用数轴上原点左边（或下边）的点表示； （3）0用原点表示； 【考点精讲】 考点1 有理数相关概念辨析 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正整数、负整数、正分数和负分数统称为有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正数和负数统称有理数 D．正整数和负整数统称整数 【变式1-1】（22-23七年级上·河南商丘·期中）下列说法中正确的是（    ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 【变式1-2】（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③非负数就是正数； ④是无限不循环小数 ，所以不是有理数； ⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（      ） A．5 个 B．4个 C．3 个 D．2个 【变式1-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）对于有理数，有下列说法： （1）正整数和负整数的总和就是整数；（2）分数包括了正分数和负分数和0；（3）有理数是整数和分数的统称；（4）0是整数；（5）分数包含有限小数、循环小数，其中说法全正确的有（    ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5） 【变式1-4】（2024七年级上·全国·专题练习）下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点2 有理数的分类 【例2】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）把下列各数分别填在相应集合中． ． 负数集合：______ 整数集合：______ 正分数集合：______ 负整数集合：______ 【变式2-1】（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中： 3，，，，0，，  15， ， 正数集合：｛                                  … ｝ 负数集合：｛                                  … ｝ 整数集合：｛                                  … ｝ 分数集合：｛                                  … ｝ 有理数集合：｛                                … ｝ 【变式2-2】（23-24七年级下·福建福州·期末）把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，． 正数：{                         }； 负数：{                                }； 非负整数：{                         }； 整数：{                              }； 分数：{                            }； 负分数：{                              }． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，，， 【变式2-4】（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 整数集合｛______________．．．｝； 分数集合｛______________．．．｝； 非负数集合｛______________．．．｝． 考点3 识别数轴 【例3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23六年级上·山东烟台·期中）如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3-4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 考点4 确定数轴上的点所表示的有理数 【例4】（23-24七年级下·云南红河·期末）点A在数轴上的位置如图所示，且到原点的距离为3个单位长度，则点A所表示的数为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式4-1】（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）在图中，点M表示的数约是（    ）．    A． B． C． 【变式4-2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-3】（2024七年级上·江苏·专题练习）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【变式4-4】（2024七年级上·江苏·专题练习）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 考点5 在数轴上表示有理数 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024七年级上·全国·专题练习）将下面各有理数在数轴上表示出来：，，，． 【变式5-2】（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）画一条数轴，并画出表示下列各数的点： ，，，，． 【变式5-3】（2024七年级上·江苏·专题练习）请画出数轴，把下列有理数在数轴上表示出来． 2，，0，，． 【变式5-4】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 考点6 利用数轴比较有理数大小 【例6】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，，1的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏常州·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（21-22七年级上·浙江台州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（21-22七年级上·河南平顶山·期中），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ）    A． B． C． D． 考点7 数轴上两点间的距离 【例7】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）数轴上表示与这两个数对应的点之间的距离是（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式7-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（　　） A． B． C．1或 D．7或 【变式7-2】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【变式7-3】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【变式7-4】（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，观察数轴，请回答：    (1)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ； (2)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ；发现：在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为 （用，表示） 考点8 数轴上动点问题 【例8】（2024七年级上·江苏·专题练习）数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【变式8-2】（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【变式8-4】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 考点9 利用数轴解决实际问题 【例9】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）一辆出租车从A站出发，先向东行驶，接着向西行驶，然后又向东行驶． (1)画一条数轴，以原点表示A站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置． (2)求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？ 【变式9-1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【变式9-2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）临近春节，小龙一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了3千米到超市买东西，然后继续向东走了6千米到爷爷家．下午从爷爷家出发向西走了21千米到达外公家，傍晚返回，在返程中点处有一加油站，给车加油后，返回家中． (1)若以小龙家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示3千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家、加油站的位置在数轴上分别用表示出来； (2)求加油站与超市间的距离； (3)若轿车每100千米耗油8升，求小龙一家从早上出发到傍晚返回家中轿车的耗油量． 【变式9-3】（2024·河北沧州·模拟预测）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达A村，继续向东骑行到达B村，然后向西骑行到C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在图中数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； (2)若摩托车每耗油0.04升，这趟路共耗油多少升？ 【变式9-4】（22-23七年级上·云南文山·期末）某快递员骑摩托车从快递公司点出发，在一条东西向的街道上来回送包裹．先向东骑行到达点，继续向东骑行到达点，然后向西骑行到达点，最后回到点． (1)以点为原点，规定向东为正方向，请在数轴上表示出、、点的位置（用一个单位长度表示）； (2)点在出发点的什么位置？ (3)如果摩托车每千米耗油0.04升，出发前摩托车油箱有1升汽油，快递员能否回到出发点？ 考点10 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例10】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式10-2】（2024·贵州黔东南·一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数，的和满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【专题训练】 1．（22-23七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若数轴上表示和5的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离（　　） A． B． C．7 D．3 2．（2022·四川达州·模拟预测）如图，点，，，在数轴上，点，点表示的数分别是和，且满足，则线段的中点所表示的数是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广西柳州·期末）若有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上+5表示的点位于原点 边距原点 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示 ，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是 ． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是 ． 6．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）点A、B在数轴上，若数轴上点A表示，且，则点B表示的数是 ． 7．（23-24七年级下·四川眉山·开学考试）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知，则代数式的值是 ． 8．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：,，并比较它们的大小． 9．（21-22七年级上·广东汕头·期中）、分别是数轴上两个不同点A、B所表示的有理数，且，，A、B两点在数轴上的位置如图所示：    (1)数_______；________； (2)A、B两点相距多少个单位长度？ 10．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，设点A、B、C所对应的数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，求p的值； (2)若原点O在图中数轴上点B的左侧，且点B到原点O的距离为1，求p的值； (3)若原点O在图中数轴上点B的右侧，且点C到点O的距离为，求p的值（用含a的式子表示）． 11．（19-20七年级上·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足等式我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母一起标记．比如点A与点B之间的距离记作． (1)_______，______； (2)若数轴上有一个动点P满足条件．求点P表示的数； (3)甲、乙两动点在B点分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度同时向左运动，此时动点丙在A点也以3个单位/秒的速度向右运动．假设它们共同出发的时间为t秒，是否存在t，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数与数轴 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 有理数及其分类 1、有理数的相关概念 （1）整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3、-2、1、2，…. （2）分数：正分数、负分数统称为分数，如，0.2，-1.23，，…. 特别说明：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数. （3）有理数：整数和分数统称为有理数. 2、有理数的分类 （1）按有理数的定义分类 （2）按有理数的性质分类 （正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数，例如 ） 知识点2 数轴 1、 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 2、 画数轴的步骤 【注意】 （1）数轴是一条直线，可以向两方无限延伸.； （2）原点、正方向、单位长度为数轴的三要素，缺一不可.； （3）规定的意思是“三要素”的确定是根据实际情况规定的，但是同一数轴上的单位长度必须统一； （4）原点左边的部分称为数轴的负半轴，原点右边的部分称为数轴的正半轴. 知识点4 数轴上的点与有理数的关系 【注意】 有理数可以用数轴上的点表示的数的对应关系： （1）正有理数可以用数轴上原点右边（或上边）的点表示； （2）负有理数可以用数轴上原点左边（或下边）的点表示； （3）0用原点表示； 【考点精讲】 考点1 有理数相关概念辨析 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正整数、负整数、正分数和负分数统称为有理数 B．整数和分数统称有理数 C．正数和负数统称有理数 D．正整数和负整数统称整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的概念，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数相关概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、正整数、0、负整数、正分数和负分数统称为有理数，故本选项错误； B、整数和分数统称有理数，故本选项正确； C、正有理数、0、负有理数统称有理数，故本选项错误； D、正整数、0、负整数统称整数，故本选项错误． 故选：B 【变式1-1】（22-23七年级上·河南商丘·期中）下列说法中正确的是（    ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数、负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的分类，解答本题的关键是注意的特殊性，是整数，但既不是正数，也不是负数. 【详解】解：A. 正分数和负分数统称为分数，说法正确； B. 正整数、负整数和统称为整数，原说法错误； C. 零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误； D. 不是正数，也不是负数，原说法错误； 故选A. 【变式1-2】（22-23七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）下列说法中： ①0是最小的整数； ②有理数不是正数就是负数； ③非负数就是正数； ④是无限不循环小数 ，所以不是有理数； ⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（      ） A．5 个 B．4个 C．3 个 D．2个 【答案】B 【分析】此题考查了有理数，根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：没有最小的整数，故①错误， 0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误， 非负数是正数和0，故③错误， 是无限循环小数，是有理数，故④错误， 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确， 综上可知，错误的说法为①②③④， 故选：B． 【变式1-3】（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）对于有理数，有下列说法： （1）正整数和负整数的总和就是整数；（2）分数包括了正分数和负分数和0；（3）有理数是整数和分数的统称；（4）0是整数；（5）分数包含有限小数、循环小数，其中说法全正确的有（    ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5） 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 根据有理数的分类方法逐一判断即可． 【详解】解：（1）正整数，负整数和0的总和就是整数，故原说法错误，不符合题意； （2）分数包括了正分数和负分数，故原说法错误，不符合题意； （3）有理数是整数和分数的统称，说法正确，符合题意； （4）0是整数，说法正确，符合题意； （5）分数包含有限小数、循环小数，说法正确，符合题意． ∴正确的个数是3个． 故选：C． 【变式1-4】（2024七年级上·全国·专题练习）下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案． 【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 考点2 有理数的分类 【例2】（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）把下列各数分别填在相应集合中． ． 负数集合：______ 整数集合：______ 正分数集合：______ 负整数集合：______ 【答案】见解析 【分析】本题考查的是有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：负数集合：{，，，，，…}； 整数集合：{，  0，，，，，…}． 正分数集合：，，， 负整数集合：，， ， 【变式2-1】（22-23七年级上·广东深圳·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中： 3，，，，0，，  15， ， 正数集合：｛                                  … ｝ 负数集合：｛                                  … ｝ 整数集合：｛                                  … ｝ 分数集合：｛                                  … ｝ 有理数集合：｛                                … ｝ 【答案】正数集合；负数集合；整数集合；分数集合；有理数集合 【分析】认真掌握正数、负数、整数、分数、有理数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 按照有理数的分类填写，有理数． 【详解】解：正数集合； 负数集合； 整数集合； 分数集合； 有理数集合． 【变式2-2】（23-24七年级下·福建福州·期末）把下列各数填在相应的大括号里：，，，，，，，，． 正数：{                         }； 负数：{                                }； 非负整数：{                         }； 整数：{                              }； 分数：{                            }； 负分数：{                              }． 【答案】，，，；，，，；，，；，，，，，；，，；． 【分析】本题考查了正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是正确理解正数、负数、非负整数、整数、分数、负分数的定义． 【详解】正数：{，，，}； 负数：{，，，}； 非负整数：{，，}； 整数：{，，，，，}； 分数：{，，}； 负分数：{}； 故答案为：，，，；，，，；，，；，，，，，；，，；． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可求出答案，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】解：把数填入相应集合的圈内如图所示： 【变式2-4】（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 整数集合｛______________．．．｝； 分数集合｛______________．．．｝； 非负数集合｛______________．．．｝． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的有关知识，在解题时要能灵活应用有关定义得出答案是本题的关键．根据整数、分数、非负数的定义即可把各数填入相应的集合中． 【详解】整数集合｛0，，．．．｝； 分数集合｛，，0.618，，．．．｝； 非负数集合｛，0.618，0，．．．｝． 考点3 识别数轴 【例3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答本题的关键． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；（4）符合数轴的特点，正确． 故选：A． 【变式3-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【详解】解：A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列各图中，所画出的数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A、没有单位长度，故错误； B、没有正方向，故错误； C、有原点，正方向，单位长度，正确； D、没有原点，故错误． 故本题选：C． 【变式3-3】（22-23六年级上·山东烟台·期中）如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了数轴的三要素：原点，正方向，单位长度．熟记数轴的三要素是解题的关键．数轴利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误． 【详解】解：A、单位长度不均匀，故错误； B、正确； C、数据顺序不对，故错误； D、没有正方向，故错误． 故选：B． 【变式3-4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 考点4 确定数轴上的点所表示的有理数 【例4】（23-24七年级下·云南红河·期末）点A在数轴上的位置如图所示，且到原点的距离为3个单位长度，则点A所表示的数为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上点对应的数，根据点A在原点的左边，且到原点的距离为3个单位长度即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵点A在原点的左边，且到原点的距离为3个单位长度， ∴点A代表的数字是：， 故选A 【变式4-1】（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）在图中，点M表示的数约是（    ）．    A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据点在数轴上的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点M表示的数在之间，且靠近的位置， 故点M表示的数约是； 故选A． 【变式4-2】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 根据题意得出每4个数为一循环，分别为0、3、2、1，得出数轴上表示的点与第506组第3个数重合，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：每4个数为一循环，分别为0、3、2、1， ， ∴数轴上表示的点与第506组第3个数重合，即为2， 故选：C． 【变式4-3】（2024七年级上·江苏·专题练习）将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和，则的值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴得出刻度尺上1对应的是，数轴的原点在处，刻度尺7对应数轴是． 【详解】解：刻度尺上的“”和对应数轴上的， 数轴上的原点对应刻度尺上的， 刻度尺上的“”对应数轴上的． 故本题选：D． 【变式4-4】（2024七年级上·江苏·专题练习）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键． 根据数轴上有理数的表示可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨迹盖住的整数有，，，，，，，，，0，1，2，3共13个； 故选：B． 考点5 在数轴上表示有理数 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系求解即可得． 【详解】解：A、由数轴可知，，则此项不符合题意； B、由数轴可知，，则此项不符合题意； C、由数轴可知，，则此项不符合题意； D、由数轴可知，，则此项符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（2024七年级上·全国·专题练习）将下面各有理数在数轴上表示出来：，，，． 【答案】见解析； 【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，掌握数轴上表示数的方法是解题的关键． 根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数即可． 【详解】解：如图： 【变式5-2】（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）画一条数轴，并画出表示下列各数的点： ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解题关键，注意数轴的三要素．先画一条数轴，把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】解：各数的点在数轴上表示如下： 【变式5-3】（2024七年级上·江苏·专题练习）请画出数轴，把下列有理数在数轴上表示出来． 2，，0，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，画出数轴，描出各个点即可． 【详解】解：如图所示： 【变式5-4】（23-24七年级上·吉林·阶段练习）补全数轴，并在数轴上表示下列各数．1.5，0.4，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴的定义，先补全数轴，再表示出各个数即可． 【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示： ． 考点6 利用数轴比较有理数大小 【例6】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，，1的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，首先由数轴上点A的位置，可以确定a是负数，且a的绝对值大于1，所以是正数，且绝对值大于1； 【详解】解：由数轴可知∶， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（23-24七年级上·江苏常州·期末）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，在数轴上表示出然后根据数轴特点即可比较大小，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将数在数轴上表示出来，如图： 按照从小到大的顺序排列为， 故选：． 【变式6-2】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 【变式6-3】（21-22七年级上·浙江台州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，整式的加减运算，绝对值的性质．根据数轴上点的位置得到，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选A． 【变式6-4】（21-22七年级上·河南平顶山·期中），是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，解题的关键是数形结合，根据数轴得出和，即可求解． 【详解】解：由数轴知，，， ，， ， 故选：C． 考点7 数轴上两点间的距离 【例7】（22-23七年级上·海南省直辖县级单位·期中）数轴上表示与这两个数对应的点之间的距离是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离，利用较大的数减去较小的数即可得到答案. 【详解】解：， 即数轴上表示与这两个数对应的点之间的距离是， 故选：A 【变式7-1】（2024七年级上·浙江·专题练习）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（　　） A． B． C．1或 D．7或 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，先由已知条件得的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可． 【详解】解：∵B表示数2， ∴， ∵将点A向右平移3个单位长度，得到点C． ∴， ∴， ∴或， ∵点A、B在原点O的两侧， ∴， 故选：B． 【变式7-2】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可． 【详解】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有 ∵当点P位于点A、B之间时，， ∴将x从向左移动1.5个单位或从3向右移动1.5个单位，则有 此时，或 \故选：C． 【变式7-3】（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______； (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)； (2)符合条件的整数为或或或； (3)有最小值，最小值为，理由见解析． 【分析】（）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值即可； （）要找出的整数值可以进行分段计算，令或时，分为段进行计算，最后确定的值； （）根据绝对值的意义，同（）理即可解答； 本题考查了绝对值的意义，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 故答案为：； （2）令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，， ∴符合条件的整数为或或或； （3）有最小值，最小值为，理由如下： 令或时，或， 当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，的值最小，最小值为． 【变式7-4】（22-23七年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，观察数轴，请回答：    (1)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ； (2)点与点的距离为 ，点与点的距离为 ；发现：在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为 （用，表示） 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离进行计算即可． （2）根据数轴上两点间的距离进行计算，再进行规律总结，即可得到答案． 【详解】（1）解：点与点的距离为， 点与点的距离为， 故答案为：，； （2）解：点与点的距离为，点与点的距离为， 在数轴上，如果点与点分别表示数，，则他们之间的距离可表示为， 故答案为：4，7，． 考点8 数轴上动点问题 【例8】（2024七年级上·江苏·专题练习）数轴上点A表示a，将点A沿数轴向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度得到点B，设点B所表示的数为x，则x可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，点在数轴上移动的时候，对应的数的大小变化规律是：左减右加．根据题意列出算式，计算即可求出终点表示的数． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【变式8-1】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【分析】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故选：B． 【变式8-2】（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， 故正确的是C选项， 故选C． 【变式8-3】（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【答案】(1)， (2)， (3)；向右， 【分析】本题属于数轴上的动点问题，主要考查了数轴上两点之间的距离，中点的含义，解一元一次方程等知识点，弄清题意，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及中点的含义即可求解； （2）根据题意列方程即可求解； （3）秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为，于是得到方程，解方程即可求解；根据在这一运动过程中起始时刻和终了时刻点的位置，即可求出点的运动方向和运动速度． 【详解】（1）解：根据题意可知，运动开始前，、两点的距离， 线段的中点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， ， 相遇点所表示的数是， 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为， 依据题意可得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 当时，中点表示的数为， 当时，中点表示的数为， 中点的运动方向向右，运动速度为， 答：当时，线段的中点表示的数为；在这一运动过程中，点的运动方向向右，运动速度为． 【变式8-4】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P为的中点，则点P对应的数是 ． (2)数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值． (3)现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数． 【答案】(1)1 (2)x的值是5 (3)点P对应的数是或 【分析】本题考查数轴上点表示的数及两点间距离，解题的关键是掌握点运动后表示的数与运动前表示的数的关系． （1）根据点P为的中点列方程即可解得答案； （2）分两种情况，当P在线段上时，由，知这种情况不存在；当P在B右侧时，，求解即可； （3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：，解出t的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A，B对应的数分别为，3，点P为的中点， ∴， 解得， ∴点P对应的数是1； （2）解：当P在线段上时，， ∴这种情况不存在； 当P在B右侧时，， 解得， 答：x的值是5； （3）解：设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是，B表示的数是，P表示的数是， 根据题意得：， 解得或， 当时，P表示的数是， 当时，P表示的数是， 答：点P对应的数是或． 考点9 利用数轴解决实际问题 【例9】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）一辆出租车从A站出发，先向东行驶，接着向西行驶，然后又向东行驶． (1)画一条数轴，以原点表示A站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置． (2)求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？ 【答案】(1)见解析 (2)出租车行驶的总路程为 【分析】本题考查的是数轴、绝对值及有理数混合运算的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． （1）数轴三要素：原点，单位长度，正方向．画数轴可表示出租车最终在A站东边处； （2）根据绝对值的意义求解即可． 【详解】（1）如图所示，    （2）， 这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为． 【变式9-1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 【变式9-2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）临近春节，小龙一家三口乘轿车去看望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了3千米到超市买东西，然后继续向东走了6千米到爷爷家．下午从爷爷家出发向西走了21千米到达外公家，傍晚返回，在返程中点处有一加油站，给车加油后，返回家中． (1)若以小龙家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示3千米，请画出数轴，并将超市、爷爷家、外公家、加油站的位置在数轴上分别用表示出来； (2)求加油站与超市间的距离； (3)若轿车每100千米耗油8升，求小龙一家从早上出发到傍晚返回家中轿车的耗油量． 【答案】(1)作图见解析 (2)9千米 (3)3.36升 【分析】本题考查画数轴表示位置、正负数意义及有理数混合运算的应用，读懂题意，准确画出数轴，并灵活掌握有理数加减乘法运算是解决问题的关键． （1）根据题意，画出数轴，由题中描述即可在数轴上标出超市、爷爷家、外公家、加油站的位； （2）由（1）中数轴上加油站与超市的位置得到距离的单位长度，再由1个单位长度表示3千米，计算即可得到答案； （3）由题意，利用有理数加法运算法则得到小龙一家走的路程，再由乘法运算即可得到答案． 【详解】（1）解：画数轴，将超市、爷爷家、外公家、加油站的位置在数轴上分别用表示出来，如图所示： （2）解：由（1）中数轴可知加油站与超市间的单位长度为， 用1个单位长度表示3千米， （千米）， 答：加油站与超市间的距离为9千米； （3）解：小龙一家走的路程：（千米）， 共耗油：（升）， 答：小龙一家从早上出发到傍晚返回家中轿车的耗油量为3.36升． 【变式9-3】（2024·河北沧州·模拟预测）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达A村，继续向东骑行到达B村，然后向西骑行到C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在图中数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置； (2)若摩托车每耗油0.04升，这趟路共耗油多少升？ 【答案】(1)见解析 (2)这趟路共耗油升 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，绝对值的意义，解题的关键在于读懂题意弄清正方向． （1）根据题意在数轴上分别表示出A，B，C三个村庄的位置即可； （2）根据题意计算出邮递员行驶的总路程，再用总路程乘以每千米的耗油量，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意， ()， ()， 故A，B，C三个村庄的位置如图所示： （2）解：根据题意可得：（升）， 答：这趟路共耗油升． 【变式9-4】（22-23七年级上·云南文山·期末）某快递员骑摩托车从快递公司点出发，在一条东西向的街道上来回送包裹．先向东骑行到达点，继续向东骑行到达点，然后向西骑行到达点，最后回到点． (1)以点为原点，规定向东为正方向，请在数轴上表示出、、点的位置（用一个单位长度表示）； (2)点在出发点的什么位置？ (3)如果摩托车每千米耗油0.04升，出发前摩托车油箱有1升汽油，快递员能否回到出发点？ 【答案】(1)见解析 (2)点在出发点的正西方向处 (3)快递员能回到出发点 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，数轴表示有理数，有理数的混合运算的应用，解题关键是理解题意，列出正确的算式． （1）根据题意，在数轴上描出点A，B，D即可； （2）规定向东行驶为正，向西行驶为负，把摩托车行驶的路程记录下来，求出到点A的总路程，然后判断即可； （3）先求出摩托车行驶的总路程，再求出行驶这些路程需要耗油多少，然后根据摩托车里的油进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，、、点即为所求； （2）， 答：点A在出发点的正西方向处； （3）， （升）， ， ∴快递员能回到出发点． 考点10 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例10】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的乘法运算法则，能根据数轴得出是解此题的关键．根据数轴得出，求出，，，，，，再根据有理数的乘法运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，，，， ∴，，，， ∴只有选项D正确，选项A、B、C都错误， 故选：D． 【变式10-1】（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中成立的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置，判定式子的正，负，根据根据数轴可知：，，，据此一一判断即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴①，不成立， ②，成立， ③，不成立， ④，成立， ⑤，不成立， 式子成立的有②④， 故选：C． 【变式10-2】（2024·贵州黔东南·一模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数，的和满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及数轴上的点，由题意得到是解题的关键．先由数轴判断出，由，推出，从而判断出结果． 【详解】解：， ，故A选项错误； ， ，故C选项正确；D选项错误；B选项无法确定． 故选：C． 【变式10-3】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，数轴上点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，实数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．依据点在数轴上的位置，不等式的性质，实数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，且， ∴，∴A选项的结论不成立； ，∴B选项的结论不成立； ，∴C选项的结论不成立； ，∴D选项的结论成立． 故选：D． 【变式10-4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 【专题训练】 1．（22-23七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若数轴上表示和5的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离（　　） A． B． C．7 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离．解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点之间的距离的计算方法．连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． 用较大的数减去较小的数即得（方法不唯一）． 【详解】根据较大的数减去较小的数得：． ∴在数轴上，表示5和的两点之间的距离是7． 故选：C． 2．（2022·四川达州·模拟预测）如图，点，，，在数轴上，点，点表示的数分别是和，且满足，则线段的中点所表示的数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，两点中点计算公式，先根据两点距离计算公式得到，再根据线段之间的关系求出，，进而得到，再分别求出点B和点C表示的数即可得到答案． 【详解】解：∵点，点表示的数分别是和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点B表示的数为，点C表示的数为， ∴线段的中点所表示的数是， 故选：A． 3．（23-24七年级上·广西柳州·期末）若有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较：正数大于，负数小于；两个负数比较大小负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了数轴． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故选D． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上+5表示的点位于原点 边距原点 个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示 ，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是 ． 【答案】 右 5 【分析】根据数轴的特点及距离的定义解答即可．本题考查了数轴的知识，比较简单，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边的数都大于0，左边的数都小于0；（2）数轴上各点到原点的距离是这个数的绝对值． 【详解】解：数轴上表示的点位于原点，右边距原点 5个单位长度，数轴上位于原点左边4个单位长度的点表示，数轴上距原点6个单位长度并在原点右边的点表示的数是． 故答案为：右；5；；． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据数轴上两点之间距离的计算进行分类讨论，方法列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意可得： 当点A在右边时：， 当点A在左边时：， 故答案为：或． 6．（22-23七年级上·福建莆田·阶段练习）点A、B在数轴上，若数轴上点A表示，且，则点B表示的数是 ． 【答案】或3/3或 【分析】分两种情况，点在点的左侧，点在点的右侧．本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的左侧， ， ， 点表示的数是：， 当点在点的右侧， ， ， 点表示的数是：3， 综上所述：点表示的数是：或3． 故答案为：或3 7．（23-24七年级下·四川眉山·开学考试）在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度，有理数a，b，c，d表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，则，，，结合，列式解答即可． 本题考查了数轴的意义，有理数的计算，熟练掌握有理数加减运算是解题的关键． 【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：. ∵每相邻两点之间的距离是1个单位长， ∴，，. ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：． 8．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：,，并比较它们的大小． 【答案】，数轴见解析 【分析】此题考查了数轴、用数轴上的点表示数、借助数轴比较有理数的大小等知识，准确表示出各数是解题的关键． 先补全数轴，再根据数在数轴上的位置标出各数，按照从小到大的顺序用小于号连接即可． 【详解】解：， 在数轴上标出各数如下： 比较大小如下； ． 9．（21-22七年级上·广东汕头·期中）、分别是数轴上两个不同点A、B所表示的有理数，且，，A、B两点在数轴上的位置如图所示：    (1)数_______；________； (2)A、B两点相距多少个单位长度？ 【答案】(1)， (2)3个单位长度 【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，解题的关键是∶ （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a、b的符号即可得； （2）根据数轴上两点间的距离公式即可得． 【详解】（1）解∶∵，， ∴，， 由数轴知∶，， ∴，， 故答案为∶，； （2）解∶ A、B两点相距个单位长度． 10．（23-24七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，设点A、B、C所对应的数的和是p． (1)若以B为原点，写出点A、C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，求p的值； (2)若原点O在图中数轴上点B的左侧，且点B到原点O的距离为1，求p的值； (3)若原点O在图中数轴上点B的右侧，且点C到点O的距离为，求p的值（用含a的式子表示）． 【答案】(1)点A表示的数为，点C表示的数为，； (2)4 (3)或 【分析】本题考查了数轴和列代数式，解题的关键是正确求出各点表示的数和分类讨论． （1）根据点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，可以写出两种情况下各点表示的数，进而列式求出p的值； （2）根据题目中点的位置关系，与数量关系依次求出点B，点A，点C表示的数，再列式计算出p的值； （3）分两种情况：点O在点C的左侧时；点O在点C的右侧时．分别根据位置与数量关系求出A、B、C三点表示的数，进而列式求得p． 【详解】（1）解：∵以B为原点，点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，数轴上从左到右有A、B、C三个点， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， 此时，； ∵以C为原点，点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，数轴上从左到右有A、B、C三个点， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， 此时，； （2）解：∵原点O在图中数轴上点B的左侧，且点B到原点O的距离为1， ∴点B表示的数是， ∵点A到点B的距离为3，点B到C的距离为4，数轴上从左到右有A、B、C三个点， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， ∴； （3）解：根据题意得， ①当原点O在点C的左侧时，则C点表示的数为a，B点表示的数为，A点表示的数为， 此时，； ②当原点O在点C的右侧时，则C点表示的数为，B点表示的数为，A点表示的数为， 此时，． 综上，或． 11．（19-20七年级上·福建三明·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上位于A左侧一点，且． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． (3)动点P从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若P，Q，R三点同时出发，当点P遇上点R后立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)； (2)5； (3)． 【分析】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． （1）根据的距离和点A表示的数即可求出结论； （2）先求出的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论； （3）先求出的长，然后求出点P遇上点的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，，点C在点A左侧 ∴点C表示的数为； （2）解：∵点表示的数为，点C表示的数为 ∴ 由题意可得 解得： 答：当时，P，R两点会相遇； （3）解：由题意可得： 点P遇上点的时间为：（秒） 此时点P与点Q的距离为 ∴P、Q的相遇时间为（秒） ∴点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度 答：点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度． 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足等式我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母一起标记．比如点A与点B之间的距离记作． (1)_______，______； (2)若数轴上有一个动点P满足条件．求点P表示的数； (3)甲、乙两动点在B点分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度同时向左运动，此时动点丙在A点也以3个单位/秒的速度向右运动．假设它们共同出发的时间为t秒，是否存在t，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)P点表示的数为或 (3)或 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可． （1）根据非负性可求出答案； （2）分三种情况：当点P在点的左侧；当点P在点之间时；当点P在点的右侧时；进行讨论可求P点表示的数； （3）用的代数式表示丙到乙的距离，丙到甲的距离，列出等式可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得， 当点P在点的左侧， ∵， ∴， ∴， ∴点P点表示的数为； 当点P在点之间时， ∵， ∴， ∴不存在点P，使； 当点P在点的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点P点表示的数为； 综上所述，P点表示的数为或； （3）解：根据题意可得： 运动秒，甲、乙、丙所在的点表示的数分别为：， 则丙到乙的距离是， 丙到甲的距离是， 则， 解得：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$