第2章 整式及其加减易错训练与压轴训练（5类易错+5类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记 巧练（沪科版2024）

第二章 整式及其加减易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　列代数式时审题不清 7 易错题型二　确定多项式各项及各项系数时，漏掉前面的符号 13 易错题型三　去括号时，漏乘或符号错误 15 易错题型四　多项式重新排列时未将各项符号一起移动 15 易错题型五　两个多项式相减时，忽视括号的作用 15 压轴题型一　整式及其相关概念 17 压轴题型二　字母在表示排列规律中的应用 19 压轴题型三　整式化简求值 19 压轴题型四　整式加减的应用 19 压轴题型五　整式规律的探究 19 02 易错题型 易错题型一　列代数式时审题不清 例1． （22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某村去年种植大豆亩产160千克，含油率为40%，今年改种新培育的大豆后，亩产提高20千克，含油率提高了10个百分点，则今年每亩大豆的含油量是（     ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）某书定价为25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，若购买x本，那么应付款金额为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）商场搞促销活动，某件商品的原售价为m元，现7折出售，仍获利，则该商品的进价为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）驴肉火烧为河北省名小吃，驴肉醇香，火烧酥脆．某店销售两种口味的火烧，驴肉火烧7元一个，焖子火烧5元一个．为增加销量，该店推出优惠活动，买一个驴肉火烧赠送一个焖子火烧．若嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧（），则每个火烧的平均价格可表示为（   ） A． B． C． D． 易错题型二　确定多项式各项及各项系数时，漏掉前面的符号 例2．（24-25七年级上·全国·假期作业）多项式的次数和常数项分别是（    ） A．3，1 B．3， C．5，1 D．5， 巩固训练 1．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．二次项系数是5 B．最高次项是 C．常数项是 D．是三次四项式 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）多项式的次数是 次，常数项是 ． 易错题型三　去括号时，漏乘或符号错误 例3. （23-24七年级上·河北保定·期末）下列式子中去括号错误的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·二模）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东潮州·期中），在括号里填上适当的项应该是（　　） A． B． C． D． 易错题型四　多项式重新排列时未将各项符号一起移动 例4．（23-24七年级上·上海·阶段练习）把多项式按字母的降幂排列： ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）多项式是 次 项式，按的升幂排列为 ． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）将多项式按字母x降幂排列为 ． 3．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）把多项式按的升幂排列为 ． 易错题型五　两个多项式相减时，忽视括号的作用 例5. （23-24七年级上·四川南充·期中）计算与的差，结果是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一个多项式加上，再减去等于，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·假期作业）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 03 压轴题型 压轴题型一　整式及其相关概念 例1. （23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知，求的值． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南南阳·期中）（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 2．（22-23六年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值： (1)求的值，其中，． (2)关于，的多项式不含二次项，求的值． 3．（23-24七年级上·广东茂名·期中）某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 +5 +13 +16 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ (2)根据记录可知本周共生产电动车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得a元，若超额完成，则超额部分每辆再奖b元（），少生产一辆扣b元，求该厂工人这一周的工资总额． 压轴题型二　字母在表示排列规律中的应用 例2. （23-24七年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示） 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数 (1)图2中点的个数是______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有81个点，那它是第______个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为______．(用含n的代数式表示) 2．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列算式，回答下列问题： ，，，________， ，________，，…． (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 3．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 压轴题型三　整式化简求值 例3. （23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简．再求值：，其中，． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知多项式，其中，小马在计算时，由于粗心把看成了，求得结果为，请你帮小马解决下面问题． (1)化简； (2)求出当时，的值． 2．（22-23七年级上·山东济宁·期中）化简与求值：已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 压轴题型四　整式加减的应用 例4. （23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 巩固训练 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A和B）的面积； (2)若，，求卧室（含卧室和）比客厅大多少平方米． 3．（23-24七年级上·河南三门峡·阶段练习）图1是2022年1月份的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为． (1)直接填空： ________；（填“>”、“<”或“=”） (2) ________， ________， ________（用含a的代数式分别表示）； (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 压轴题型五　整式规律的探究 例5. （23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 2．（23-24七年级下·安徽池州·阶段练习）观察下面的式子，解答下列问题． 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：． (1)你能得到的结果吗？请写出结果． (2)求的值． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期末）观察下面算式，解答问题： …… (1)填空：_____；_____；（用形式表示） (2)若表示正整数，求的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 整式及其加减易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　列代数式时审题不清 7 易错题型二　确定多项式各项及各项系数时，漏掉前面的符号 13 易错题型三　去括号时，漏乘或符号错误 15 易错题型四　多项式重新排列时未将各项符号一起移动 15 易错题型五　两个多项式相减时，忽视括号的作用 15 压轴题型一　整式及其相关概念 17 压轴题型二　字母在表示排列规律中的应用 19 压轴题型三　整式化简求值 19 压轴题型四　整式加减的应用 19 压轴题型五　整式规律的探究 19 02 易错题型 易错题型一　列代数式时审题不清 例1． （22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某村去年种植大豆亩产160千克，含油率为40%，今年改种新培育的大豆后，亩产提高20千克，含油率提高了10个百分点，则今年每亩大豆的含油量是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列式计算，根据题意列得今年大豆每亩产量及含油量，即可列式，正确理解题意是解题的关键 【详解】解：∵去年种植大豆亩产160千克，含油率为40%，今年改种新培育的大豆后，亩产提高20千克，含油率提高了10个百分点， ∴今年种植大豆亩产千克，含油率为， ∴今年每亩大豆的含油量是 故选：D 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）某书定价为25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，若购买x本，那么应付款金额为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是熟练掌握根据题意正确列出代数式，根据题意列出代数式即可． 【详解】应付款金额为， 故选C． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）商场搞促销活动，某件商品的原售价为m元，现7折出售，仍获利，则该商品的进价为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，根据题意可列算式即可求解． 【详解】解：由题意得，该商品的进价为， 故选：C． 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）驴肉火烧为河北省名小吃，驴肉醇香，火烧酥脆．某店销售两种口味的火烧，驴肉火烧7元一个，焖子火烧5元一个．为增加销量，该店推出优惠活动，买一个驴肉火烧赠送一个焖子火烧．若嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧（），则每个火烧的平均价格可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用代数式表示式，根据嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧，可得出嘉琪买的焖子火烧需要付钱的个数为，再根据平均价格等于总价除以总个数即可求解． 【详解】解：∵嘉琪需购买a个驴肉火烧和b个焖子火烧 ∴嘉琪买的焖子火烧需要付钱的个数为：． 根据题意有：， 故选：D． 易错题型二　确定多项式各项及各项系数时，漏掉前面的符号 例2．（24-25七年级上·全国·假期作业）多项式的次数和常数项分别是（    ） A．3，1 B．3， C．5，1 D．5， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数及常数项，根据多项式的次数及常数项的定义即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：多项式中的项为，，，它们的次数分别为，，0， 多项式的次数为3，其中为常数项， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·吉林白城·阶段练习）对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．二次项系数是5 B．最高次项是 C．常数项是 D．是三次四项式 【答案】D 【分析】根据多项式的项：多项式中的每一个单项式；项数：单项式的个数；次数：最高项的次数；常数项：不含字母项；逐一进行判断即可． 【详解】解：A、二次项是，二次项系数是2，故选项错误，不符合题意； B、最高次项是，故选项错误，不符合题意； C、常数项是1，故选项错误，不符合题意； D、是三次四项式；选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24六年级下·全国·假期作业）多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ． 【答案】 7 4 【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义． 【详解】解：多项式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4． 故答案为：，7，，4． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）多项式的次数是 次，常数项是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．据此解答即可． 【详解】解：多项式的最高次项是，常数项是， ∴多项式的次数为． 故答案为：6；． 易错题型三　去括号时，漏乘或符号错误 例3. （23-24七年级上·河北保定·期末）下列式子中去括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题关键． 根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，分别判断得出答案． 【详解】解：A．，正确，故此选项不合题意； B．，正确，故此选项不合题意； C．，原计算错误，故此选项符合题意； D．，正确，故此选项不合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小．应用去括号法则逐个计算即可得到结论． 【详解】解：A．，故此选项正确，符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．（2024·甘肃武威·二模）下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 应用去括号法则逐个计算即可得到结论． 【详解】解：A．，故此选项正确； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误． 故选：A． 3．（23-24七年级上·广东潮州·期中），在括号里填上适当的项应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用添括号法则将原式变形得出答案．此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C． 易错题型四　多项式重新排列时未将各项符号一起移动 例4．（23-24七年级上·上海·阶段练习）把多项式按字母的降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，按字母x的指数由高到低排列．根据多项式中的指数从大到小，对多项式的项进行排列即可． 【详解】解：由题意知，按字母x的降幂排列为， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期中）多项式是 次 项式，按的升幂排列为 ． 【答案】 五 四 【分析】本题主要考查了多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式是五次四项式，按的升幂排列为， 故答案为：五；四； 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）将多项式按字母x降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排序，熟知降幂排序的定义是解题的关键．按字母x降幂排列即按照字母x次数从高到低进行排序，据此求解即可． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为 ； 故答案为： 3．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）把多项式按的升幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对多项式的应用，注意：排列时带着项前面的符号．按x的指数从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：把多项式按x的升幂排列为， 故答案为：． 易错题型五　两个多项式相减时，忽视括号的作用 例5. （23-24七年级上·四川南充·期中）计算与的差，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解答此题的关键．先根据题意列出式子，再运算即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一个多项式加上，再减去等于，则这个多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，用加上，再减去，即可得出结果． 【详解】解： ； 故选：B． 2．（2024六年级上·上海·专题练习）一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，解答时合并同类项即可．根据已知条件可设此多项式为M建立等式解得即可． 【详解】解： 故选：C 3．（24-25七年级上·上海·假期作业）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减运算，根据多项式与的和等于，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个多项式是： ， 故选：A． 03 压轴题型 压轴题型一　整式及其相关概念 例1. （23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知，求的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查了绝对值非负的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据绝对值非负的性质求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南南阳·期中）（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【答案】（1）的值是；（2）这个多项式的值是． 【分析】此题考查了整式的概念与非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）先运用整式的概念求得的值，再代入计算； （2）先运用整式的概念和非负数的性质求得的值，再代入求解． 【详解】解：（1）由题意得： 且， 解得，， ∴， 即的值是； （2）由题意得，， 解得或，且， ∴， ∵， ∴且， 解得，， ∴ ； ∴这个多项式的值是． 2．（22-23六年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值： (1)求的值，其中，． (2)关于，的多项式不含二次项，求的值． 【答案】(1)，7 (2)-2 【分析】（1）先去括号合并同类项，然后把，代入计算即可． （2）先合并同类项，然后令不含项的系数等于0求解即可． 【详解】（1） ， 当，时，原式． （2）原式， 由结果不含二次项，得到， 解得， 所以，． 【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． 3．（23-24七年级上·广东茂名·期中）某电动车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天计划生产300辆，由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减情况 +5 +13 +16 (1)本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车多少辆？ (2)根据记录可知本周共生产电动车多少辆？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆电动车可得a元，若超额完成，则超额部分每辆再奖b元（），少生产一辆扣b元，求该厂工人这一周的工资总额． 【答案】(1)26辆 (2)2109辆 (3)（）元 【分析】（1）判断出产量最多的一天和最少的一天，即可求解； （2）求出增减情况的和，再加上一周计划生产量，即可求解； （3）计件工资额加上超额工资额，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （辆）， 答：本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车辆． （2）解：由题意得 （辆）； 答：本周共生产电动车多2109辆； （3）解：由题意得 这一周的工资总额为（）元． 【点睛】本题考查了有理数的实际应用，列代数式，理解有理数的实际意义是解题的关键． 压轴题型二　字母在表示排列规律中的应用 例2. （23-24七年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第n个等式，用字母表示出所得的规律即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： 第5个等式：， 故答案为：； （2）通过观察前面式子可得： 第n个等式： ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数 (1)图2中点的个数是______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有81个点，那它是第______个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为______．(用含n的代数式表示) 【答案】(1)9 (2)8 (3) 【分析】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． （1）图2中点的个数为； （2）由第1个图形中点的个数为：，第2个图形中点的个数为：，第3个图形中点的个数为：，…得出第n个图形中点的个数为：，进一步得出，也就是第8个图形． （3）利用（2）中的规律得出答案即可． 【详解】（1）图2中点的个数为； 故答案为：9 （2）∵第1个图形中点的个数为：， 第2个图形中点的个数为：， 第3个图形中点的个数为：， … ∴第n个图形中点的个数为：， ∵， ∴是第8个图形． 故答案为：8 （3）第n个图形中点的个数为：． 故答案为： 2．（2024·安徽阜阳·二模）观察下列算式，回答下列问题： ，，，________， ，________，，…． (1)请完成题干中的填空； (2)的个位数字是________； (3)求的个位数字． 【答案】(1)97，793 (2)7 (3)0 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是所给的数总结出存在的规律． （1）直接进行计算即可解答； （2）从所给的算式可得：末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现，再分析所求的式子进行求解即可． （3）由原式变形为，再根据（2）发现的规律求解即可． 【详解】（1），，，， ，，，…． 故答案为：97，793； （2）、、、、、、， 其末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现， ， 的个位数字是7， 故答案为：7； （3） 这一数列的末位数字以5，3，5，7这4个数循环出现， ，且， 的末位数字为：0． 3．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案：第1个图案有1个正方形，4个等边三角形；第2个图案有2个正方形，7个等边三角形；第3个图案有3个正方形，10个等边三角形，以此类推… (1)第n个图案有________个正方形，________个等边三角形． (2)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)n； (2)674个 【分析】（1）观察发现第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个；第2个图案：正方形有2个，等边三角形有个；依次计算可解答； （2）由（1）中的规律可知：等边三角形剩余最少为1块，则，求出n的值即可． 本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【详解】（1）第1个图案：正方形有1个，等边三角形有4个， 第2个图案：正方形有2个，等边三角形有（个）， 第3个图案：正方形有3个，等边三角形有（个）， 第4个图案：正方形有4个，等边三角形有（个）， …… 第n个图案：正方形有n个，等边三角形有个． 故答案为：n；； （2）要使等边三角形剩余最少，则最少为1块， ， ， ∴按此规律镶嵌图案，等边三角形剩余最少1块，这时需要正方形674个． 压轴题型三　整式化简求值 例3. （23-24七年级上·安徽·单元测试）先化简．再求值：，其中，． 【答案】，46 【分析】题目主要考查整式的加减运算及化简求值，先去括号，然后化简合并同类项，代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知多项式，其中，小马在计算时，由于粗心把看成了，求得结果为，请你帮小马解决下面问题． (1)化简； (2)求出当时，的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查整式的加减运算及化简求值： （1）先根据结果为求出B，再计算； （2）将代入（1）中结论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，， ， ； （2）解：由（1）知 ， 将代入，得： ． 2．（22-23七年级上·山东济宁·期中）化简与求值：已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)，16 (2) 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把A与B代入中，去括号合并得到最简结果即可； （2）由（1）中的结果变形，根据的值与x无关，确定出y的值即可． 【详解】（1）解：，， ， 当时，原式； （2）由（1）可知， 的值与的取值无关， ， ． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 压轴题型四　整式加减的应用 例4. （23-24七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 【答案】(1)； (2)厘米；厘米 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长，最后将代入计算． 【详解】（1）解：由图可知：厘米， 厘米； （2）解：长方形的宽为：厘米， 长为：厘米， 则长方形的周长为：厘米， 当时，（厘米）． 巩固训练 1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部为半圆形，下部是边长相同的四个小正方形．已知下部小正方形的边长为．计算： (1)窗户的面积是多少？ (2)窗户的外框的总长是多少？ (3)当时，窗户的面积和外框的总长分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)窗户的面积是，窗户的外框的总长是： 【分析】（1）窗户的面积等于四个小正方形的面积与半圆的面积之和即可得； （2）大正方形的的三条边长加上圆的周长的一半即可得； （3）把代入（1）（2）中所列代数式求值即可． 本题考查了整式加法的应用及化简求值，熟练掌握正方形与圆的周长和面积公式是解题关键． 【详解】（1）窗户的面积是：； （2）窗户的外框的总长是：； （3）当时，窗户的面积是： 窗户的外框的总长是：． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图是某住宅的平面结构示意图（单位：米），图中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含x，y的代数式分别表示客厅和卧室（含卧室A和B）的面积； (2)若，，求卧室（含卧室和）比客厅大多少平方米． 【答案】(1)客厅平方米；卧室平方米 (2)卧室比客厅大33平方米 【分析】（1）用客厅面积卧室面积，再进行化简即可； （2）80元乘以总面积即可求解． 本题考查了列代数式问题，解题的关键是求出住房的各部分的长和宽，然后代入矩形的面积计算公式进行计算． 【详解】（1）解：客厅的长为，宽为， 因此面积为：平方米， 卧室是长为米，宽为：米的长方形， 因此卧室的面积为： 平方米； （2）解：卧室比客厅大的面积为： ， 当，时， 原式（平方米）， 答：卧室比客厅大33平方米． 3．（23-24七年级上·河南三门峡·阶段练习）图1是2022年1月份的日历，用图2所示的“九方格”在图1中框住9个日期，并把其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为． (1)直接填空： ________；（填“>”、“<”或“=”） (2) ________， ________， ________（用含a的代数式分别表示）； (3)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，， (3)是，定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含n的式子表示，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）根据（1）的结论，分别用含a的式子表示，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别把代入，再化简，即可解决问题． 【详解】（1）解：设（为正整数），则，，， 则：，， ∴， 故答案为：； （2）解：根据（1）得：，，； 故答案为：，，； （3）解：代数式的值为定值， ． 压轴题型五　整式规律的探究 例5. （23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的面积均为1    据此规律： (1)请写出第3个等式： (2)猜想第n个等式为： （用含n的等式表示）； (3)已知如上图所示的个草垛的最底端有2024支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行解答即可； （2）分析所给的等式，不难得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）由题意得：第3个等式为：， 故答案为：； （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ， 第个等式：， 故答案为：； （3）草垛的最底端有2024支小正方形草束， ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·四川达州·期末）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． (1)第4个图案中，三角形的个数有　　　　个，六边形的个数有　　　　个； (2)第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (3)第2024个图案中，三角形的个数与六边形的个数各有多少个？ (4)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10；4 (2)第个图案中有正三角形个．六边形有个 (3)三角形的个数为个；六边形的个数为个 (4)没有，理由见详解 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）将代入（2）中所得的一般式即可求解； （4）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第个就有正三角形个．这类题型在中考中经常出现． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； 故答案为：10；4； （2）解：由图可知： 第一个图案有正三角形4个为． 第二图案比第一个图案多2个为（个． 第三个图案比第二个多2个为（个． 那么第个图案中有正三角形个．六边形有个． （3）解：由（2）知第个图案中有正三角形个．六边形有个 ∴第2024个图案中，三角形与六边形各有：（个， ∴三角形的个数为个；六边形的个数为个 （4）解：没有，理由如下： ∵， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 2．（23-24七年级下·安徽池州·阶段练习）观察下面的式子，解答下列问题． 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：． (1)你能得到的结果吗？请写出结果． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有等式，得到，是解题的关键： （1）根据已有等式推出相应的数字规律作答即可； （2）利用（1）中的规律解题即可． 【详解】（1）解：根据式子中的规律，可得； （2）． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期末）观察下面算式，解答问题： …… (1)填空：_____；_____；（用形式表示） (2)若表示正整数，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数字变化规律，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点，也是解此类题目的关键． （1）将首尾两数相加，再除以，再将所得结果平方即可得到求解； （2）根据所得规律求解即可； 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$