专题03 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题03 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ． 例2．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．(1)若，求的度数；(2)试证明：． 例3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________ ；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2023·重庆·八年级统考期中）如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于(　　) A． B． C． D． 例2．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °． 例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（     ） A． B． C． D． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知），∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知），∴________（等量代换）． 例2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 例3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（___________）， ∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（  ）. A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2 3．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，、是等边的高，则 ．    5．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 6．（2023春·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．    7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数；(2)试说明：．    8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，． (1)求的度数；(2)求的度数． 解：（1）（已知），______° ， （______）， ______° ______°（等量代换）， （2）（______）， _____（等式的性质）， （已知），______ ______°（等量代换）． 9．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系．    10．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． (1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题： (1)如图（1），以为底，为高，可得三角形的面积为______；也可以以（提示：长为）为底，为高，可得三角形的面积为______． (2)根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中的长（提示：长为）． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，为边上的高．(1)求斜边的长；(2)求的长． 13．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点．(1)若，，求的度数．(2)猜想与、的数量关系． 14．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明． 15．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，．(1)求的度数；(2)求的度数． 16．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O． (1)当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC＋∠BAC＝180°．(2)当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明． 17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分． (1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．    18．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，平分，交边于点．（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数； （2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数； （3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示） （4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ． 【答案】 /40度 /10度 【分析】本题考查了三角形高线和角平分线的定义，三角形内角和，直角三角形的特征，三角形外角性质；由三角形内角和定理得，由三角形高线的定义及直角三角形的特征得 ，由角的和差可求，由三角形外角性质得 ，再由直角三角形的特征即可求解；理解定义，掌握三角形外角性质和直角三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：，，， 是高线，，， ， 是角平分线，，， ；故答案：，． 例2．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．(1)若，求的度数；(2)试证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高的定义： （1）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义和三角形高的定义得到，，求出，则可推出，据此代值计算即可；（2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵分别是的高和角平分线，∴，， ∴， ∴ ， ∵，∴． （2）证明：∵，∴， ∵分别是的高和角平分线，∴，， ∴， ∴ ． 例3．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________ ；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)(4) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和为180度，角平分线平分角，是解题的关键：（1）三角形的内角和定理，求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可；（2）同法（1）即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果； （4）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴； （2）解：在中，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∴； （3）解：过点作，∵，∴，∴， 由（2）可知：，∴；故答案为：； （4）解：过点作， ∵，∴，∴，由（2）可知：， ∴；故答案为：． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（2023·重庆·八年级统考期中）如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义，求得，进而根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，，， 又，，．故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 例2．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °． 【答案】140或40 【分析】①△ABC是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC＝∠A，从而得解． 【详解】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， 在△ABD中，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝50°+90°＝140°； ②如图2，△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD，∠A＝40°，∴∠BHC＝∠A＝40°． 综上所述，∠BHC的度数是140°或40°．故答案为：140或40． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论是解题的关键． 例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： 解得故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知），∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知），∴________（等量代换）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查三角形的外角：（1）根据垂直的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵（已知），∴， ∴（三角形外角的性质） ∴（等量代换）． （2）∵， ∴（等式的性质）， ∴（已知）， ∴（等量代换）． 例2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的有关概念，利用等面积法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是斜边上的高，∴，， ∴，∴，∴，故选：． 例3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（___________）， ∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明；（3）①利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，然后根据即可求解；②连接，设，然后用含x的式子分别表示出、和，再根据列式求出x即可． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，那么，然后利用分别表示，，，最后利用三角形内角和定理建立方程解决问题． 【详解】解：∵中，，∴设，那么，∴， ∵平分，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴．故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角形内角和定理． 2．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（  ）. A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2 【答案】A 【分析】根据等面积法可以求得CH的长． 【详解】解：，解得CH=2.4，故选A. 【点睛】本题考查了三角形的面积，用两种方法表示出三角形的面积是解题的关键． 3．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在 中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面结论： 的面积＝ 的面积；；；．其中结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积  故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 又 故正确；   故正确； 故错误；故选：C 【点睛】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键． 4．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，、是等边的高，则 ．    【答案】/度 【分析】根据题意可得、是的角平分线，，则，根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵、是等边的高， ∴、是的角平分线，，∴ ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O，∴为边上的高，即， ∴，故答案为：． 6．（2023春·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．    【答案】 【分析】延长交于点F，利用直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂心定义计算即可． 【详解】延长交于点F，    ∵，，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，垂心定义，熟练掌握直角三角形的锐角互余是解题的关键． 7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数；(2)试说明：． 【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证． 【详解】（1）解：，，， 平分交于，，； （2）证明：，， ，，， 平分交于，，， ，． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，． (1)求的度数；(2)求的度数． 解：（1）（已知），______° ， （______）， ______° ______°（等量代换）， （2）（______）， _____（等式的性质）， （已知），______ ______°（等量代换）． 【答案】(1)；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125 (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；；；35 【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可； （2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可． 【详解】（1）解：已知，， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和． 等量代换． （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和， 等式的性质． 已知，等量代换． 【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键． 9．（2023·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．    (1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据，得出，求出，最后根据得出结果；（2）根据角平分线的定义得出，根据高线的定义得出，求出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，∴， ∵是的平分线，∴， ∵是边上的高，∴，∴， ∴，∴． （2）解：∵，是的平分线， ∴，∵是边上的高，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形的高线，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． 10．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． (1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】（1）由等量代换得到∠B＋∠BCD＝90°，求出∠BDC＝90°，可得CD是△ABC的高； （2）根据可求得CD的长． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B， ∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高； （2）解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线，三角形的面积计算，关键是利用了面积法求直角三角形斜边上的高． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题： (1)如图（1），以为底，为高，可得三角形的面积为______；也可以以（提示：长为）为底，为高，可得三角形的面积为______． (2)根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中的长（提示：长为）． 【答案】(1)6，6(2) 【分析】题目主要考查与三角形高的计算及直角三角形的性质，熟练掌握等面积法是解题关键． （1）根据三角形面积的计算方法进行计算即可得出答案； （2）根据（1）条件可知两次计算面积相等，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ，故答案为：6，6； （2）根据题意得：，即，解得：． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，为边上的高．(1)求斜边的长；(2)求的长． 【答案】(1)10(2)4.8 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是解本题的关键． （1）由勾股定理可求解；（2）由面积法可求解． 【详解】（1）在中，，∴； （2）∵，∴，∴． 13．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点．(1)若，，求的度数．(2)猜想与、的数量关系． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解： ，，， 平分，，，； （2）如图，设，，平分，， ，，，， ，， ，，． 14．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，进而可证明∠A=∠DBE，利用AAS可证明△ABC≌△BDE，即可证明BC=DE，AC=BE，从而可证明CE=AC+DE. 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B =90°， ∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ACD=∠B. （2）△ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B =90°， ∵∠ADE=∠B，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，即△ADE得直角三角形. （3）CE=AC+DE，证明如下：∵点C、B、E在同一直线上，AB⊥BD，∴∠DBE+∠ABC=90°， ∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，∴△ABC≌△BDE， ∴BC=DE，AC=BE，∴CE=CB+BE=DE+AC. 【点睛】此题考查直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定，根据直角三角形的性质得出两锐角互余是解题关键. 15．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，．(1)求的度数；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，即可得到的度数． 【详解】（1）解：，平分，， ，． （2）是的高，， ，，． 16．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O． (1)当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC＋∠BAC＝180°．(2)当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明． 【答案】(1)见解析(2)成立，图见解析 【分析】（1）利用三角形外角的性质得出∠BOC＝∠OCD＋，再结合图形直接计算求解即可； （2）根据题意，分别作出AB、AC边上的高，根据同角的余角相等相等及三角形内角和定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠OEB=∠BDC=90° ∵∠BOC是COD的外角，∴∠BOC＝∠OCD＋∠CDO＝∠OCD＋． ∴∠BOC＋∠BAC＝∠OCD＋＋∠BAC＝（∠OCD＋∠BAC）＋＝＋＝． （2）如图所示：（1）中结论成立，理由如下： ∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠OEB=∠BDC=90°， ∴∠BOC+∠OBE=90°，∠DAB+∠OBE=90°∴∠BOC=∠DAB，∴∠BOC+∠BAC=∠DAB+∠BAC ∵∠DAB+∠BAC=180°∴∠BOC+∠BAC=180°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，综合运用了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平角的定义． 17．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分． (1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）现根据三角形的内角和得到，然后利用角平分线得到，在用直角三角形的两锐角互余得到，计算解题即可；（2）过点作于点D，可以得到，即，再根据（1）的计算结果得到答案． 【详解】（1）解：∵，∴， 又∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∴； （2）解：过点作于点D，由（1）可得：， ∵，，∴，∴，∴．    【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 18．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，平分，交边于点．（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数； （2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数； （3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示） （4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）10°（2）70°（3）=-30°（4）= 【分析】（1）根据三角形的内角和与角平分线的性质得到∠EAC=50°，再根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC=40°，再根据角度的和差关系即可求解；（2）设=x,根据直角三角形两锐角互余，表示出∠DAC，再表示出∠BAC，根据三角形内角和得到方程即可求出x;（3）分别用含n的式子表示出，，即可得到；（4）在（3）的基础上再表示出，，即可得到． 【详解】（1）∵，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100° ∵平分，∴∠EAC==50° ∵∴∠DAC=90°-∠C =40°∴=∠EAC-∠DAC=10°； （2）设=x,∵∴∠DAC=90°-∠C =90°-x ∵平分，∴=2∠DAC=180°-2x ∵平分，∴=2=360°-4x 在△ABC中，+∠B+∠C=180°∴360°-4x+30°+x=180°解得x=70°∴=70°； （3）∵，∴∠BAC=180°-∠B-=150°- ∵平分，∴∠EAC== ∴∠AEC=180°-∠EAC -=∴∠DEF=∠AEC= ∵∴=90°-∠DEF =-15°∵∴∠BCG=180°-∠ACB=180°- ∵平分∴∠DCF== ∴=180°-∠EAC-∠ACF=180°-∠EAC-∠ACB-∠DCF =15°∴=-15°-15°=-30°； （4）=理由如下： ∵由（3）可得∠BAE =∠EAC== ∵AF1平分∠BAE∴∠F1AE=∠BAE = 由（3）同理可得+= 又∴+90°=++n∴= ∵CF1平分∴∠BCF1=∠BCF∠BCG = ∴=180°-∠F1AC-∠ACF1=180°-∠F1AE-∠EAC-∠ACB-∠BCF1=180°-()-()--()=22.5°∴=-22.5°=故=． 【点睛】此题主要考查三角形内角和的性质及角度的计算，解题的关键是熟知角平分线的性质及三角形的内角和定理的应用． 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