清单02 一元二次函数、方程与不等式（考点清单，知识导图+13个考点清单+题型解读）高一数学上学期湘教版2019

清单02 一元二次函数、方程与不等式 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【清单02】基本不等式 （1）一般地，，有，当且仅当时，等号成立. （2）,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 【注意】基本不等式应用的三个条件：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱. （3）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 【清单03】集合间的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【清单04】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单05】不等式的解法 （1）：一元二次不等式的解法 （Ⅰ）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （Ⅱ）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （Ⅲ）根据不等式，写出解集. （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】不等关系的判断 注意：这类问题主要考察不等式的性质，在判断过程中要注意不等式的性质成立的条件，并灵活运用特殊化思想进行验证排除。 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合不等式性质，即可判断A；结合不等式性质利用反例当时，可得选项B错误；利用作差法比大小来判断C、D的正误，即得结果. 【详解】选项A，因为，则，所以，故A正确； 选项B，当时，由，则，故B错误； 选项C，若，则，所以，故C错误； 选项D，若，则，故，故D错误. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·湖北·期中）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD举反例即可判断；对于C，由不等式的性质直接判断即可. 【详解】对于A，若，则，但、（因为无意义）、不成立，故ABD错误； 由易得C项正确. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一下·四川泸州·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确.故选：C 【考点题型二】比较大小 注意：作差法、作商法是比较大小的常用方法. 【例2】（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作差法即可比大小. 【详解】， 故， 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 【变式2-2】（23-24高一上·安徽·月考）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】（1）因为， 作差得， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 【考点题型三】利用不等式的性质求范围 【例3】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 点睛：注意待定系数法的应用，其本质仍是整体思想. 【变式3-1】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 【变式3-2】（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 【变式3-3】（23-24高一上·四川绵阳·月考）（多选）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【解析】设， 则，解得， ， ， ，即，故选：ABC. 【考点题型四】基本不等式求最值 【例4】（23-24高二下·湖北荆州·月考）（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【解析】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误．故选：BC． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【变式4-1】（23-24高一上·江西上饶·月考）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】5 【解析】，则函数， 当且仅当时即时取等号， 故函数的最小值为5. 【变式4-2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 【变式4-4】已知实数，满足，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为12． 故选：C． 【变式4-5】已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由，可得，因为，可得， ， 当时，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 【变式4-6】若，且，的最小值为（   ） A．15 B． C．17 D． 【答案】C 【详解】∵， ∴，其中， ∴， 又∵，∴， 则 ， 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为17. 故选：C 【考点题型五】基本不等式与恒成立问题 【例5】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 【变式5-1】（23-24高一上·山东枣庄·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】，，， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 即（当且仅当，时取等号）， 因为恒成立，，解得， 即实数的取值范围为. 【变式5-2】若存在，使成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 【考点题型六】不含参一元二次不等式的解法 注意：解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽． 【例6】（2024高一上·山东淄博·阶段练习）下列不等式的解集是空集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法逐项分析即得. 【详解】对于A，，所以不等式的解集是，故A错误； 对于B，由，可得不等式解集为，故B错误； 对于C，不等式变形为，开口向上，，所以解集是空集，故C正确； 对于D，由，可得不等式的解集为或，故D错误. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过配方即可得解； （2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解； （3）先判断判别式，然后即可得解. 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. 【变式6-2】（2024高一上·全国·专题练习）解关于的不等式. (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，然后可得解集； （2）将二次系数化为正数，再由十字相乘法因式分解，然后可得解集. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）不等式，即， 解得或，所以不等式的解集为或. 【考点题型七】分式不等式的解法 【例7】（23-24高一上·江苏盐城·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 【变式7-1】（23-24高一上·吉林·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 【考点题型八】含参一元二次不等式的解法 注意：解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论． 【例8】（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）将不等式因式分解，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式8-1】（23-24高一上·广西桂林·月考）解关于x的不等式． 【解析】不等式化为：， 当时，， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【变式8-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）解关于x的不等式. 【详解】， 若，则原不等式化为，解得； 若，则原不等式的解集为或； 若，则原不等式的解集为或. 【考点题型九】已知不等式的解集求参数 【例9】（2024高一上·湖北·阶段练习）（多选）若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】先求得的关系式，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不等式的解集是， 则对应的方程的两根为和， ，且， 故，且， 故，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，， 即的解集是，故D正确. 故选：ACD 【变式9-1】（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用解集的区间端点值，代入方程中，解出，再将其代入中，直接解一元二次方程即可. 【详解】由题意可知，和是关于的方程的解，将其代入方程得解得, 所以即，化简得，解得. 即不等式的解集是. 故选：C 【变式9-2】（2024高一上·山西朔州·阶段练习）若的解集是，则等于（    ） A．-14 B．-6 C．6 D．14 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求参数a、b，即可得. 【详解】∵的解集为， ∴-5和2为方程的两根， ∴有，解得， ∴. 故选：A. 【考点题型十】一元二次不等式恒成立问题 【例10】（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解. 【详解】因为在上恒成立， 当时，得，显然成立； 当时，要使问题成立则，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 【变式10-2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 【考点题型十一】一元二次不等式有解问题 【例11】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】 根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】， 设， ，该二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，， 要想关于的不等式在区间内有解， 只需， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 【变式11-1】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在性问题得即可得解. 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以， 当且仅当，有，所以实数m的取值范围是. 故选：C. 【变式11-2】设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立， 即有实数解， 于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解， 当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是. 【变式11-3】已知函数． 若对，有成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1) 【详解】（1）因为， 则， 解得或， 故实数的范围为. 【考点题型十二】一元二次方程根的分布 【例12】已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的特点及判别式，结合韦达定理即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一正根和一负根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式12-1】（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】依题意，方程的判别式大于等于0，且两根之积大于0，由此列出不等式求解即可. 【详解】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 【变式12-2】（23-24高一上·山东·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根，结合韦达定理可求a,b的值； （2）由于二次函数的图象开口向上，所以可将“一根大于1，一根小于1”转化为，即a的范围可求. 【详解】（1）由题意可知，和1是方程的两个实数根， 所以， 解得. （2）当时，，因为函数的图象开口向上，且的根一根大于1，一根小于1， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 【考点题型十三】不等式与实际问题 【例13】（23-24高一上·四川达州·月考）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【解析】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【变式13-1】（23-24高一上·浙江·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)；(2)选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少 【解析】（1）设阴影部分直角三角形的高为， 阴影部分的面积， 又， 由图可知：， 海报纸的周长为. （2）由（1）知， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次函数、方程与不等式 （13个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【清单02】基本不等式 （1）一般地，，有，当且仅当时，等号成立. （2）,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 【注意】基本不等式应用的三个条件：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱. （3）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 【清单03】集合间的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【清单04】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单05】不等式的解法 （1）：一元二次不等式的解法 （Ⅰ）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （Ⅱ）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （Ⅲ）根据不等式，写出解集. （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】不等关系的判断 注意：这类问题主要考察不等式的性质，在判断过程中要注意不等式的性质成立的条件，并灵活运用特殊化思想进行验证排除。 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·湖北·期中）若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·四川泸州·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】比较大小 注意：作差法、作商法是比较大小的常用方法. 【例2】（23-24高一上·浙江·期中）设，，则有（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-2】（23-24高一上·安徽·月考）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【考点题型三】利用不等式的性质求范围 【例3】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【变式3-3】（23-24高一上·四川绵阳·月考）（多选）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型四】基本不等式求最值 【例4】（23-24高二下·湖北荆州·月考）（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【变式4-1】（23-24高一上·江西上饶·月考）已知，则函数的最小值为 ． 【变式4-2】（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知正实数满足，则的最小值是 . 【变式4-3】（23-24高一下·江西吉安·期末）函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知实数，满足，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式4-5】已知，，且，则的最小值为 . 【变式4-6】若，且，的最小值为（   ） A．15 B． C．17 D． 【考点题型五】基本不等式与恒成立问题 【例5】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式恒成立，则实数m的最小值为 . 【变式5-1】（23-24高一上·山东枣庄·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式5-2】若存在，使成立，则的取值范围是 . 【考点题型六】不含参一元二次不等式的解法 注意：解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的图象与x轴交点的横坐标是联系这三个“二次”的枢纽． 【例6】（2024高一上·山东淄博·阶段练习）下列不等式的解集是空集的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【变式6-2】（2024高一上·全国·专题练习）解关于的不等式. (1)； (2) 【考点题型七】分式不等式的解法 【例7】（23-24高一上·江苏盐城·月考）不等式的解集为 . 【变式7-1】（23-24高一上·吉林·月考）不等式的解集为 . 【考点题型八】含参一元二次不等式的解法 注意：解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论． 【例8】（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【变式8-1】（23-24高一上·广西桂林·月考）解关于x的不等式． 【变式8-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）解关于x的不等式. 【考点题型九】已知不等式的解集求参数 【例9】（2024高一上·湖北·阶段练习）（多选）若不等式的解集是，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【变式9-1】（2024高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024高一上·山西朔州·阶段练习）若的解集是，则等于（    ） A．-14 B．-6 C．6 D．14 【考点题型十】一元二次不等式恒成立问题 【例10】（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【考点题型十一】一元二次不等式有解问题 【例11】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 【变式11-1】（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围. 【变式11-3】已知函数． 若对，有成立，求实数a的取值范围； 【考点题型十二】一元二次方程根的分布 【例12】已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ． 【变式12-1】（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【变式12-2】（23-24高一上·山东·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围. 【考点题型十三】不等式与实际问题 【例13】（23-24高一上·四川达州·月考）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【变式13-1】（23-24高一上·浙江·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$