1.2：直线的方程【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2：直线的方程 【考点归纳】 考点一：直线点斜式方程有关的问题 考点二：直线的两点式方程有关问题 考点三：直线和坐标轴围成的面积问题 考点四：直线的一般式方程问题 考点五：直线的一般式方程判断直线平行或者垂直问题 考点六：直线过定点问题 考点七：直线方程的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点二：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点三：直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. 考点四：直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 考点五：直线各种形式方程的互化 【题型探究】 题型一：直线点斜式方程有关的问题 1．（23-24高二上·江苏淮安）经过点，倾斜角为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B．. C． D． 3．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）的三个顶点、、，则边上的中线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：直线的两点式方程有关问题 4．（21-22高二·全国）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 5．（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（　　） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 6．（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 题型三：直线和坐标轴围成的面积问题 7．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 9．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 题型四：直线的一般式方程问题 10．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：直线的一般式方程判断直线平行或者垂直问题 13．（22-23高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 14．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 15．（21-22高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 题型六：直线过定点问题 16．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 18．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：直线方程的综合性问题 19．（2024高二上·全国）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 20．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 21．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高二上·全国）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 24．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 25．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 28．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 29．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 31．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知直线，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率不存在 D．直线的斜率为 32．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 33．（23-24高二上·广西南宁·期末）下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 三、填空题 34．（24-25高二上·江苏）直线恒过定点 35．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 36．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 37．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 四、解答题 38．（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 39．（24-25高二上·全国·课堂例题）直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 40．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 41．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 42．（23-24高二下·上海静安）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2：直线的方程 【考点归纳】 考点一：直线点斜式方程有关的问题 考点二：直线的两点式方程有关问题 考点三：直线和坐标轴围成的面积问题 考点四：直线的一般式方程问题 考点五：直线的一般式方程判断直线平行或者垂直问题 考点六：直线过定点问题 考点七：直线方程的综合性问题 【知识梳理】 知识点一：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点二：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点三：直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0. 考点四：直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 考点五：直线各种形式方程的互化 【题型探究】 题型一：直线点斜式方程有关的问题 1．（23-24高二上·江苏淮安）经过点，倾斜角为的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角求出斜率，然后由点斜式可得. 【详解】因为倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，所以由点斜式可得直线的方程为：，即. 故选：D 2．（22-23高二下·安徽芜湖·期末）经过点，倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由直线得点斜式方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为倾斜角为，则斜率，且过点， 则，即. 故选：A 3．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）的三个顶点、、，则边上的中线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出线段的中点的坐标，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】因为的三个顶点、、，则线段的中点为， 所以，， 所以，边上的中线所在直线方程为，即. 故选：A. 题型二：直线的两点式方程有关问题 4．（21-22高二·全国）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 5．（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（　　） A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0 【答案】B 【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解. 【详解】解：因为A（1，2），B（3，1）， 所以线段AB的中点坐标为， 所以过点M和线段AB的中点的直线方程为， 即. 故选：B. 6．（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 题型三：直线和坐标轴围成的面积问题 7．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 8．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 9．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【分析】根据题意，设直线的方程为，分别表示出坐标，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式即可得到结果. 【详解】     由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 题型四：直线的一般式方程问题 10．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出斜率即可得倾斜角. 【详解】直线的方程为，即， 方程斜率为，所以倾斜角为. 故选：D. 11．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l：的倾斜角为，可得，从而利用两角和的正切公式求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，即可得答案. 【详解】设直线l：的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：C 12．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程. 【详解】设直线的倾斜角为，则，解得， 因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半， 所以直线倾斜角为，从而， 即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：A. 题型五：直线的一般式方程判断直线平行或者垂直问题 13．（22-23高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 14．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 15．（21-22高二上·福建福州·阶段练习）已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【详解】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 题型六：直线过定点问题 16．（23-24高二上·北京西城·期中）任意的，直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点. 【详解】因为，即， 所以直线恒过定点. 故选：C. 17．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 18．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解. 【详解】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，    则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 题型七：直线方程的综合性问题 19．（2024高二上·全国）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求斜截式方程，再化为一般式； （3）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （4）先求直线的截距式方程，再化为一般式. 【详解】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 20．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的两点式即可求解； （2）利用两点的斜率公式及直线垂直的条件，结合直线的点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示 因为，所以BC的中点为， 因为在BC边上的中线上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的中线所在直线的方程为. （2）由题意可知，作出图形如图所示 因为， 所以直线BC的斜率为， 因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 因为在BC边上的高上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的高所在直线的方程为. 21．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或或 (2)最小值为24，直线 【分析】（1）求出直线过的定点，分，和两种情况，当，时，设的方程为，根据点在直线上求出直线方程，若，求出直线方程，若，求出直线方程，当，根据直线过原点，且过点求出直线的方程； （2）求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，根据基本不等式求出的最小值时的值. 【详解】（1）直线，则直线过定点， ①当，时，设的方程为． 点在直线上，． 若，则， 直线的方程为， 若，则，， 直线的方程为； ②当时，直线过原点，且过点， 直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或或； （2）令，则；令，则， 直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，， 为坐标原点，设的面积为， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 直线． 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高二上·全国）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 23．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 24．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 【答案】D 【分析】分别求出直线在x轴和y轴上的截距，由题意列式求解，即得答案. 【详解】对于直线，令，则， 令，则，故，则， 故选：D 25．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为，即. 故选：D 26．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解. 【详解】由直线过点， 则，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线方程为，即. 故选：C. 27．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性与必要性分析即可. 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 28．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】按等腰三角形的底边和腰分类讨论求出直线的倾斜角，进而利用点斜式即可求出的方程. 【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为， 因为直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形， 当等腰三角形底边在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为， 当等腰三角形腰在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为， 所以由点斜式可得的方程为或， 整理得的方程为或， 故选：D 29．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， ， 因为直线与线段有公共点， 结合图象可得直线斜率的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 30．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 31．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知直线，下列结论正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率不存在 D．直线的斜率为 【答案】AC 【分析】利用给定的直线方程，结合截距、斜率、倾斜角的意义逐项分析判断即得. 【详解】直线，当时，，则直线在轴上的截距为，A正确； 当时，直线的斜率为，倾斜角为，B错误； 当时，直线垂直于x轴，其斜率不存在，C正确，D错误. 故选：AC 32．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（    ） A． B．边上的中线所在的直线方程为 C．过点且平行于的直线方程为 D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大 【答案】BC 【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】对于A，在直线上，，故A不正确； 对于B，的中点为，，∴斜率为， 则直线方程为，即，故B正确； 对于C，直线方程为， 整理可得，故C正确； 对于D，，， 直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确， 故选：BC． 33．（23-24高二上·广西南宁·期末）下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 【答案】ACD 【分析】由直线的点斜式方程，截距式方程，斜截式方程判断选项的正误. 【详解】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为， 将代入，即，，即得， 所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误. 故选 ：ACD. 三、填空题 34．（24-25高二上·江苏·开学考试）直线恒过定点 【答案】 【分析】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得. 【详解】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 35．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程. 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 36．（24-25高二上·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 37．（24-25高二上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 【答案】③ 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④. 【详解】直线即直线，当时，， 即直线恒过定点，①错误； 直线，即在轴上的截距为，②错误； 直线的斜率为，则倾斜角为150°，③正确； 因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，④错误. 故答案为：③. 四、解答题 38．（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 39．（24-25高二上·全国·课堂例题）直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【分析】设直线的方程为，由直线过点且的面积为6，求出，检验的周长为12即可． 【详解】设直线的方程为， 因为直线过点，所以．① 又，② 联立①②，解得或， 当，时， ，，，，符合条件（2）； 当，时， ，，，，不符合条件（2）． 所以存在这样的直线同时满足（1），（2），且直线方程为， 即． 40．（24-25高二上·上海·课后作业）若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 【答案】，． 【分析】根据直线经过点得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】由直线的一般式方程， 可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距之和为． 直线经过点，得． 因此． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 此时． 41．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最大值， 此时直线的方程为，即. 42．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$