1.2.1 直线的点斜式方程（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.2.1 直线的点斜式方程 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 学 习 目 标 1 2 3 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 2、直线斜率的定义 3、直线倾斜角和斜率的取值范围 1、直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。 注意：(1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。 知识回顾 4、直线的倾斜方向和直线斜率之间的关系 直线从左下方向右上方倾斜 直线从左上方向右下方倾斜 直线与x轴平行或重合 直线垂直于x轴 知识回顾 直线 l 经过点 A(－1，3)，斜率为 －2 . 如果点 P(x，y) 在直线 l 上运动，那么， ● x，y 满足什么关系? 新知探究     新知探究 因此，以方程 2x＋y－1＝0 的解为坐标的点 (x，y) 也都在直线 l 上. 综上，当点 P 在直线 l 上时，其坐标 (x，y) 满足方程 2x＋y－1＝0，并且以方程 2x＋y－1＝0 的解 x，y 为坐标的点(x，y) 都在直线 l 上.这时，我们将方程 2x＋y－1＝0 称为直线 l 的方程，也称直线 l 为方程 2x＋y－1＝0 的直线. 一般地，当点P在曲线C上时，其坐标(x，y)满足方程F(x，y)＝0，并且以方程 F(x，y)＝0的解为坐标的点(x，y)都在曲线C上.这时，我们将方程 F(x，y)＝0 称为曲线C的方程，也称曲线 C 为方程 F(x，y) ＝0 的曲线. 新知探究 一般地，如果直线 l 经过点 P(x1，y1)，斜率为k，那么，如何建立直线 l 的方程呢?   新知探究 因为点 P(x1，y1) 的坐标也满足方程(*)， 所以直线 l 上的每个点的坐标都是这个方程的解； 反过来，可以验证，以方程 (*) 的解为坐标的点都在直线 l 上. 因此，方程 (*) 就是过点 P，斜率为 k 的直线 l 的方程. 新知探究 方程由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 新知探究 x轴所在直线的倾斜角为0°，其斜率k = tan 0° = 0， 故x轴所在直线方程为： 问题：坐标轴或与坐标轴平行的直线方程怎么表示？ （1）x轴所在直线的方程是什么？ 与x轴平行的直线倾斜角为0°， 其斜率 k = tan 0° = 0， 故与x轴平行的直线方程为: （2）与x轴平行经过点的直线的方程是什么？ 即： 新知探究 故y轴所在直线方程为： （3）y轴所在直线的方程是什么？ y轴所在直线的倾斜角为90°其斜率不存在，不能用点斜式方程表示， 与y轴平行的直线倾斜角为90°，其斜率不存在，不能用点斜式方程表示， （4）与y轴平行经过点的直线的方程是什么？ 故y轴所在直线方程为： 新知探究 问题：直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线吗？ 当直线的斜率不存在（即与y轴重合或平行）时，直线的方程不可以用点斜式来表示。 概念归纳 我们把方程 称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程. 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的 . 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 点斜式方程 y－y1＝k(x－x1) 典例分析 方法技巧 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1). (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外. 例1.已知一直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程． 解　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0. 例2直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 解：由直线的点斜式方程，得直线1的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 教材P11-12 例题 方程y=kx+b由直线的斜率与它在y轴上的截距确定，把这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 新知探究 问题：截距是距离吗？两者有什么区别？如何定义直线在x轴上的截距？ 截距是直线与坐标轴交点的坐标，它可正、可负、可为零，而距离是恒大于等于0的。 当直线与x轴相交时，我们把直线与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距，简称横截距。 问题：观察方程y=kx+b，它的形式有什么特点？此方程能表示平面内所有直线吗？ 我们发现：方程左端的系数恒为1，方程右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义。 k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。 新知探究 问题：斜截式与点斜式存在什么关系？ 斜截式是点斜式的特殊情况，有时比点斜式更方便 问题：斜截式y=kx+b在形式上与一次函数的表达式一样， 它们之间有什么差别？ 只有当k≠0时，斜截式方程才是一次函数的表达式 概念归纳 1.直线l与y轴的交点(0，b)的 称为直线l在y轴上的截距. 2.方程 叫作直线的斜截式方程. 纵坐标b y＝kx＋b 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别： 当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数. 故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程. 在同一直角坐标系中作出直线 y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2， y＝3x－2，y＝－3x＋2， 根据图(1)，你能推测直线 y＝kx＋2 有什么特点吗? 新知探究 直线y=kx+2 都过点(0,2),但y= kx+2 不能表示与y轴重合的直线,因此直线y-kx+2表示除与y轴重合的直线之外经过点(0,2)的任一直线. 在同一直角坐标系中作出直线直线 y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1， y＝2x－4，y＝2x－4， 根据图(2)，你能推测直线 y＝2x+b 有什么特点吗? 新知探究 y=2x+b表示斜率为2的所有直线,这些直线都互相平行     教材P12 练习1 2. 直线 y＝k(x＋1) (k＞0) 可能是( ). B 教材P13 练习2     教材P13 练习3 4. 已知直线 l1：y＝－2x＋3. 直线 l2 过点 P(1，2)，且它的斜率与直线 l1 的斜率相等. 写出直线 l2 的方程，并在同一直角坐标系中画出直线 l1 和 l2. 答案：y＝－2x＋4. 教材P13 练习4 5. 分别写出经过下列两点的直线的方程： (1) P(1，2)，Q(－1，4)； (2) P(1，0)，Q(0，2). 答案：(1) x＋y－3＝0. (2) 2x＋y－2＝0. 教材P13 练习5 6. 任一条直线都可以用点斜式方程表示吗?斜截式方程可以改写成点斜式方程吗? 解：斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示，斜截式方程可以改写成点斜式方程. 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1). (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外. 方法技巧 直线的点斜式方程 题型一 题型探究 例1　写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； 解：因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； 解：直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3). 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1). (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外. 方法技巧 直线的点斜式方程 题型一 题型探究 例1　写出下列直线的点斜式方程： (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； 解：由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1. 解：由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直. 变式训练 1　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 倾斜角的2倍； 解：与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5. (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； 变式训练 解：过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 1　求满足下列条件的直线方程： 变式训练 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 方法技巧 直线的斜截式方程 题型二 题型探究 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； 解：由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3. 解：∵倾斜角是60°， (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； 由点斜式得y－3＝－5(x＋2)， 化为斜截式为y＝－5x－7. (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3). 题型探究 直线的斜截式方程 题型二 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 方法技巧 ∵沿 逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， 变式训练 题型探究 点斜式直线方程的应用 题型三 解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0). 方法技巧 例3　(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点 A.(1,3) B.(－1，－3) C.(3,1) D.(－3，－1) √ 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). 令x＝0，y＝b；令y＝0，x＝－6b. (2)已知直线l的斜率为 ，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程. 所以b＝±1. 在求面积时，要将截距转化为距离. 方法技巧 题型探究 点斜式直线方程的应用 题型三 4.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点； 证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1). 变式训练 (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 1、直线的点斜式方程 2、直线的斜截式方程 3、直线的点斜式方程和斜截式方程之间的关系 斜截式是点斜式的特殊情况，两者均不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线。 课堂小结 感谢聆听! x ∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， kPQ＝＝＝－1. 由y＝x＋，得斜率为， 设直线y＝x＋的倾斜角为α，直线l的倾斜角为β，斜率为k， 则tan α＝，k＝tan β＝tan 2α＝＝. 又直线l过点P(2,1)，所以直线l的点斜式方程为y－1＝(x－2). 2.已知直线l过点P(2,1)，且直线l的倾斜角为直线y＝x＋倾斜角的 2倍，则直线l的点斜式方程为_______________. y－1＝(x－2) ∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程为y＝x＋5. 斜率为k＝＝－5，  y－＝(x－1) 由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∴所求直线的斜率为. 又∵直线过点(1，)， ∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1). 3.将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是__________________. 从而所求直线l的方程为y＝x－1或y＝x＋1. 设直线l的斜截式方程为y＝x＋b， 由已知可得|b|·|－6b|＝3，即b2＝1， 即解得－≤k≤1. 需满足 所以实数k的取值范围是. $$