1.1直线的斜率与倾斜角【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

1.1直线的斜率与倾斜角 【考点归纳】 · 考点一：直线的倾斜角 · 考点二：直线的斜率 · 考点三：倾斜角和斜率的变化关系 · 考点四：已知斜率求参数问题 · 考点五：斜率公式的应用 · 考点六：直线和线段相交问题求斜率范围 · 考点七：斜率与倾斜角的综合 【知识梳理】 知识点一：直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二：直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 知识点三：过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角 1．（22-23高二·江苏）如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 2．（22-23高二上·四川广安·期中）已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·安徽六安）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 题型二：直线的斜率 4．（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·江苏泰州·阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 题型三：倾斜角和斜率的变化关系 7．（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：已知斜率求参数问题 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 12．（21-22高二上·吉林四平·期末）已知直线l：的倾斜角为，则（    ） A． B．1 C． D．－1 题型五：斜率公式的应用 13．（22-23高二上·安徽滁州·期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ． 15．（21-22高二上·山东·阶段练习）已知点A（2，-1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为__________． 题型六：直线和线段相交问题求斜率范围 16．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·山东枣庄）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：斜率与倾斜角的综合 19．（23-24高二上·全国）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 20．（22-23高二上·广东汕尾·阶段练习）已知，，. (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 21．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 22．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 23．（22-23高一下·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 24．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 29．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2021高二·江苏·专题练习）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 31．（21-22高二上·安徽合肥·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角 D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 32．（22-23高二上·河南·期中）如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（21-22高二·全国·课后作业）下列说法中，表述正确的是(    ) A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 三、填空题 35．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 36．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 37．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 38．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 四、解答题 39．（23-24高二上·四川巴中）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 40．（20-21高二·全国）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 41．（22-23高二上·河南）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1直线的斜率与倾斜角 【考点归纳】 · 考点一：直线的倾斜角 · 考点二：直线的斜率 · 考点三：倾斜角和斜率的变化关系 · 考点四：已知斜率求参数问题 · 考点五：斜率公式的应用 · 考点六：直线和线段相交问题求斜率范围 · 考点七：斜率与倾斜角的综合 【知识梳理】 知识点一：直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 知识点二：直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 知识点三：过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【题型归纳】 题型一：直线的倾斜角 1．（22-23高二·江苏）如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果. 【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°． 故选：D 2．（22-23高二上·四川广安·期中）已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据两条垂直直线与倾斜角的关系求解即可，注意讨论直线的倾斜角是否为. 【解答】1.当直线，的倾斜角分别为，或，时，； 2.当直线，的斜率都存在时，则或，因此； 综上可得：. 故选：C. 3．（22-23高二上·安徽六安）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】将绕原点逆时针或顺时针旋转得到直线，求得其倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是， 若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 故选：D 题型二：直线的斜率 4．（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义及其关系逐一判断各个命题作答. 【详解】直线倾斜角的范围是，①正确； 直线倾斜角为，当时，值域为，当时， 值域为，因此，②正确； 因为倾斜角为的直线没有斜率，因此任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，③不正确，④正确， 所以给定命题正确的有①②④. 故选：C 5．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由斜率的定义可得，即，解得. 故选：D. 6．（22-23高二下·江苏泰州·阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. 题型三：倾斜角和斜率的变化关系 7．（23-24高二上·江苏·单元测试）若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围. 【详解】由于，所以， 又，所以. 故选：D 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 题型四：已知斜率求参数问题 10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知直线过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再求出倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率，所以直线的倾斜角为. 故选：C 11．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 12．（21-22高二上·吉林四平·期末）已知直线l：的倾斜角为，则（    ） A． B．1 C． D．－1 【答案】A 【分析】由倾斜角求出斜率，列方程即可求出m. 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以斜率. 所以，解得：. 故选：A 题型五：斜率公式的应用 13．（22-23高二上·安徽滁州·期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可. 【详解】由斜率公式可得，得， 由图像可知， 当介于之间时，直线斜率的取值范围为， 当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ， 所以直线的斜率的取值范围为， 故选：D． 14．（22-23高二·全国·课堂例题）已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合斜率公式运算求解. 【详解】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在， 设直线AB，BC的斜率分别为，． 由斜率公式可得，． 因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即， 整理得，解得或． 故答案为：. 15．（21-22高二上·山东·阶段练习）已知点A（2，-1），B（3，m），若，则直线AB的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【分析】设直线AB的倾斜角为α，由点A，B的坐标求出直线AB的斜率k，结合m的范围可得k的斜率，即tanα的范围，再利用正切函数的性质即可求出α的取值范围． 【详解】设直线AB的倾斜角为α， ∵点A（2，-1），B（3，m）， ∴直线AB的斜率， 又∵， ∴， 即k的取值范围为， 即， 又∵α∈[0，π）， ∴， 故答案为：． 题型六：直线和线段相交问题求斜率范围 16．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图像，数形结合，根据倾斜角变化得到斜率的取值范围. 【详解】如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷， 此时斜率，所以此时； 从旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大， 此时斜率，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A 17．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 18．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 因为直线l与连接点，的线段总有公共点， 所以，即， 所以. 故选：A.    题型七：斜率与倾斜角的综合 19．（23-24高二上·全国）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 20．（22-23高二上·广东汕尾·阶段练习）已知，，. (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用斜率的坐标公式可求两条直线的斜率. （2）求出线段的两个端点与点构成直线的斜率，根据图形的变化可求直线的斜率的变化范围. 【详解】（1）由斜率公式可得直线的斜率， 直线的斜率. （2）如图所示，当点在AB上运动时，，，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是. 21．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为 (2) 【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可． 【详解】（1）由斜率公式得：， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， ∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为； （2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到， ∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为． 【高分演练】 一、单选题 22．（23-24高二上·天津南开·期中）若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 23．（22-23高一下·上海宝山·期末）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【分析】利用直线倾斜角和斜率的定义，逐项判断作答. 【详解】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确. 故选：D 24．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：D. 25．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 26．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 27．（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 28．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线和的斜率，结合图形判断直线l与线段AB相交时斜率k的取值范围. 【详解】因为， . 由图可知，直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是. 故选：D 29．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知点，，若直线：与线段有公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线：过定点，求出，再根据直线：与线段有公共点，利用数形结合法求解. 【详解】解：如图所示：    直线：过定点，， 因为直线：与线段有公共点， 所以， 故选：D 30．（2021高二·江苏·专题练习）设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可. 【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率，且， ，即，又，， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C. 二、多选题 31．（21-22高二上·安徽合肥·阶段练习）下列命题中，是假命题的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若斜率的取值范围是，则直线倾斜角 D．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 【答案】ABCD 【分析】 根据倾斜角和斜率的定义，即可判断选项. 【详解】A. 若直线的倾斜角是锐角，则斜率大于零，若直线的倾斜角是钝角，则斜率小于零，所以该选项错误； B.若直线的倾斜角为直角，则直线没有斜率，所以该选项错误； C.若斜率的取值范围是，则直线倾斜角，所以该选项错误； D.若直线的斜率为，但是直线的倾斜角为不是，而是，所以该选项错误. 故选：ABCD 32．（22-23高二上·河南·期中）如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案. 【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角， 所以 又直线m最陡峭，则， 所以，，．故选项BCD正确. 故选：BCD 33．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出图形，数形结合求解即可. 【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， 当直线与线段相交时，，， 所以，斜率取值范围是或. 故选：AB 34．（21-22高二·全国·课后作业）下列说法中，表述正确的是(    ) A．向量在直线l上，则直线l的倾斜角为 B．若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 C．若实数、满足，，则代数式的取值范围为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则是的充要条件 【答案】AC 【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当＜时，＜0，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：可看作(x，y)与(－2，－3)连线斜率，数形结合即可判断；D：两直线垂直，则，据此即可判断． 【详解】①向量在直线l上，则直线l的斜率为，故直线倾斜角为，故A正确； ②若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则≤θ＜π时，直线的倾斜角为；当0≤＜时，直线的倾斜角为π＋()＝；故B错误； ③若实数、满足，，设A(－1，4)，B(1，2)， 则代数式表示线段AB上任意一点(x，y)和点C(－2，－3)连线的斜率， 由图可知，，故C正确； ④若直线、的倾斜角分别为、，则，，， ∴，则； 当时，；故是充分不必要条件，故D错误﹒ 故选：AC﹒ 三、填空题 35．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 36．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，经过两点，的直线倾斜角为45°，则实数m的值为 ． 【答案】4 【分析】由直线斜率的定义及由两点坐标求斜率公式即可得到. 【详解】设直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又，解得. 故答案为：4. 37．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 38．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 四、解答题 39．（23-24高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【详解】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 40．（20-21高二·全国·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 41．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$