精品解析：2024年湖北省武汉市新观察中考模拟数学试卷（三）

2024武汉市新观察中考数学模拟试卷（三） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 3. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线l1l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 7. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有详解九章算法，对数的运算进行了深入研究与总结，类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题已知，为实数，且，，计算可得：，，，由此求得（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为__． 12. 已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，写一个满足条件的点A的坐标可以是______． 13. 计算______． 14. 如图，小军在时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为______．（结果精确到，参考数据：，） 15. 二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am＋b）＞a＋b成立；④若，在该函数图象上，则；⑤方程（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论是________． 16. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组的正整数解． 18. 如图，点在一条直线上，． （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图． 某校抽查的学生阅读篇数统计表： 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数/人 8 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空______，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是______篇，众数是______篇； （2）求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； （3）学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”予以表扬.若全校学生以1500人计算，估计受表扬的学生人数． 20. 如图，已知的内接中，为直径，于E点，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为5，求的长． 21. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，按要求作图并保留作图痕迹． （1）在图1中作出边上的高；再在边上找点E，使得； （2）在图2的边上作点F，使得，再过作的平行线． 22. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA=75m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=120m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数关系，其函数表达式为． （1）求，的值； （2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆． ①求关于的函数表达式； ②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？ 23. 【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 24. 已知抛物线． （1）如图1，抛物线与直线交于、两点点在左侧）． ①求、的坐标； ②点在直线上，且在第四象限，过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，过点作交于，求的长． （2）如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得抛物线，直线与抛物线交于、两点，在抛物线上是否存在定点，使得对于任意实数都有？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024武汉市新观察中考数学模拟试卷（三） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 【答案】A 【解析】 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】A. “水中捞月”是不可能事件，符合题意； B. “守株待兔”是随机事件，不合题意； C. “百步穿杨”，是随机事件，不合题意； D. “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 4. 某物体如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．根据主视图的定义和画法进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，该几何体的主视图是： ． 故选：D． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方和幂的乘方，合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 6. 如图，直线l1l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可． 【详解】解：∵BC⊥l3交l1于点B， ∴∠ACB＝90°， ∵∠2＝30°， ∴∠CAB＝180°−90°−30°＝60°， ∵l1l2， ∴∠1＝∠CAB＝60°． 故选：D． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 7. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和不小于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如图所示： 共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和不小于5的有种结果， 两次摸出的小球的标号之和不小于5的概率为； 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：C． 9. 如图，为的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知，，，则的半径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，根据切线长定理可得，、，，可得四边形为正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】连接、、， 根据切线长定理可得，、，， 又∵， ∴四边形为正方形，即， 在中，， ∵，， ∴，，， ∴ 解得，（舍去） ∴的半径为1， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键． 10. 我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有详解九章算法，对数的运算进行了深入研究与总结，类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题已知，为实数，且，，计算可得：，，，由此求得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求出，进而推出，由此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，多项式乘多项式，正确推出是解题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 根据科学记数法表示较大的数的方法求解即可； 【详解】解：依题意，数据350000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 已知一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，写一个满足条件的点A的坐标可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题以结论开放的形式考查一次函数的图象与性质，引导学生发散思维，积极思考，培养学生的创新意识和创新能力. 先根据y随x的增大而减小确定，再任意取一个符合条件的的值，得到解析式，根据函数图像上点的坐标符合函数解析式求解即可. 【详解】解：一次函数，y随x的增大而减小， ， 令，一次函数的解析式为． 令，则，故满足条件的点A的坐标可以是 故答案为：（答案不唯一）． 13. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先通分再合并计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，小军在时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为______．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】2.6 【解析】 【分析】设树顶为点，根据题意可知，，通过三角形的外角性质可知，从而可知，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形中的即树的高度． 【详解】解：如图所示，设树顶为F点， 根据题意，有，， ， ， 是等腰三角形， ， 在直角三角形中， ， ， 树高． 故答案为：2.6． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用知识点，通过等腰三角形找出，然后再通过锐角三角函数求出树高是解题的关键． 15. 二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am＋b）＞a＋b成立；④若，在该函数图象上，则；⑤方程（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论是________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b=-2a，当x=-1时，y>0，解不等式可得结论；③错误．当m=1时，m（am+b）=a+b； ④错误．应该是；⑤错误．当有四个交点时，方程的所有根的和为4．当有3个交点时，方程的所有根的和为4，当有2个交点时，方程的所有根的和为2．即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1． ∴c=-1，， ∴， ∴abc＞0，故①正确； ∵，与y轴交于（0，﹣1），， ∴c=-1， ∴抛物线解析式为， 当x=-1时，y＞0， 即， ∴a＞，故②正确； 当m=1时，m（am＋b）=a＋b，故③错误； ∵点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， ∵点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， ∴，故④错误； ∵方程的解是函数与直线y=k的交点的横坐标， ∵，c=-1， ∴或， 当有4个交点时，设函数与直线y=k的交点的横坐标为，， ∴，， ∴，即此时方程的所有根的和为4． 当有3个交点时，设函数与直线y=k的交点的横坐标为，， ∴， 此时方程的所有根的和为4． 当有2个交点时，设函数与直线y=k的交点的横坐标为， ∴， 此时方程的所有根的和为2．故⑤错误； 故选∶A 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16. 如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键． 连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 即的最小值为． 故选：D． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 求满足不等式组的正整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得正整数解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴故正整数解为：，． 18. 如图，点在一条直线上，． （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：（1） 即 （2）证明： 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用SSS证明； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 19. 知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图． 某校抽查的学生阅读篇数统计表： 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数/人 8 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空______，本次抽查的学生阅读文章篇数的中位数是______篇，众数是______篇； （2）求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； （3）学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”予以表扬.若全校学生以1500人计算，估计受表扬的学生人数． 【答案】（1）18，5，6 （2）5.4篇 （3）120人 【解析】 【分析】（1）先利用阅读文章6篇的人数除以其所占的百分数求出样本的总人数，再利用总人数减去其他项的人数即可求出m，最后根据众数、中位数的意义求解即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）先计算阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生人数占抽查学生的百分比，再根据学校人数乘以该项所占的百分比进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：本次抽查的总人数为：（人）， （人）， 将学生的阅读篇数从小到大排列处在25、26位都是5篇，因此中位数是5篇； 学生的阅读篇数出现次数最多的是6篇，出现20次，因此众数是6篇， 故答案为：18；5；6． 【小问2详解】 解：由题意可得；（篇）， 答：本次抽查的学生这周平均每人阅读文章5.4篇． 【小问3详解】 解：本次抽查中阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生所占百分比为：， （人）， 答：受表扬的学生有120人． 【点睛】本题考查扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体，理解和应用图表是解决问题的关键． 20. 如图，已知的内接中，为直径，于E点，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意得：为直径， ， 于E点， 在与中，, 与为所对的圆周角， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，可得，同时与为所对的圆周角，，可得结论； （2）由（1）得：，可得，可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为5， ∴， 由（1）得：， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及推论、三角形相似及性质，需综合运用所学知识求解，难度不大． 21. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，按要求作图并保留作图痕迹． （1）在图1中作出边上的高；再在边上找点E，使得； （2）在图2的边上作点F，使得，再过作的平行线． 【答案】（1） 解：如图1，高、点即为所求． （2） 如图2，点，，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，与交于点，则即为所求．取格点，，连接，交于点，则，可得，即． （2）取格点，连接，交网格线于点，此时，，，即，再连接，交于点，可得．延长交网格线于点R，连接并延长交网格线于点S，则P是中点，取点T是与网格线的一个交点，连接，交网格线于点Q，即Q是中点，连接，由三角形中位线性质可知. 本题考查了格点作图、涉及了三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA=75m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB=120m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数关系，其函数表达式为． （1）求，的值； （2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆． ①求关于的函数表达式； ②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？ 【答案】（1） （2）①；②时，，有最大值米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，则，解，得的坐标，进而待定系数法求解析式； （2）①根据速度等于路程除以时间得出一次函数关系； ②待定系数法求得直线的解析式，进而根据得到关于的二次函数，进而根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，则， ∵m．m，， ∴， ∴，， ∴， 由题意得， 代入得： ， ， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，飞行时间为， ∴速度为， ∴其水平方向移动的距离与飞行时间为： ②设的解析式为， 将点， 代入得，， 解得： ∴ ∴ 即 ∵， ∴时， 即时，，有最大值米 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 【操作与思考】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为，边上的点，且，且绕点A顺时针旋转得到，画出，并证明； 【尝试与应用】 （2）如图2，正方形边长为8，点E，F分别为，边上的点，．交于M，求证； 【拓展与创新】 （3）如图3，矩形中，，，点E，F分别为，边上的点，，交于M．若，直接写出的长． 【答案】 （1）证明：∵绕点A顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到G，使得，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1），由旋转性质可知，再证明，可得，由此证明结论； （2）延长到G，使得，连接，证明，得到，，，．过点F作，交的延长线于点N，得到，． 证明，结合正切函数证明即可解题． （3）模仿（2），延长到G，使得，连接，过点F作，交的延长线于点N，构造，再证明，可得，再延长交于点K，结合，证明，列出比例式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）延长到G，使得，连接 ∴， ∵矩形ABCD中，，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴，． 过点F作，交的延长线于点N， ∴，． ∵， ∴．， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交于点K， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 整理，得， 解方程，得（不合题意舍去）， 综上所述，的长为． 【点睛】本题考查了四边形与全等三角形、相似三角形的综合，解题关键是通过旋转构造全等三角形或相似三角形，转化线段关系． 24. 已知抛物线． （1）如图1，抛物线与直线交于、两点点在左侧）． ①求、的坐标； ②点在直线上，且在第四象限，过点作轴交抛物线于点，交于点，连接，过点作交于，求的长． （2）如图2，将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度得抛物线，直线与抛物线交于、两点，在抛物线上是否存在定点，使得对于任意实数都有？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由联立解析式解方程组，即可求解；②证明，则，进而求解； （2）假设存在点，证明，得到，整理得：，则，，，由，得到，，此时，，即可求解． 【小问1详解】 解：①抛物线与直线交于、两点点在左侧）． ，解得或， ，； ②设， ，， ，， 又交于点， ， ， 如图1，过点作于点，于点， ， ， ， 过点作轴交的延长线于点， 由点、的坐标知，， ，故，， ， ； 【小问2详解】 存在，理由： 根据平移的性质，抛物线的表达式为， 设，，，，，假设存在点，则， 过点作轴，分别交过点、于轴的平行线于点、， ，， ， ， ， ， 其中，，，是的解， ， ，， ， ， ， ， 整理得：， 有无数条， 为任何实数，，，， 由，得到，， 此时，， 故存在定点，使得对于任意实数都有． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质和根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $