第十三章 轴对称（A卷提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）． A．B．C． D． 2．（本题3分）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（    ）度 A．62 B．59 C．62或59 D．62成56 3．（本题3分）某等腰三角形的两边长分别是4和9，则该三角形的周长为（    ） A．22 B．17 C．22或17 D．不确定 4．（本题3分）下列结论不正确的是（    ）． A．等腰三角形的底角必为锐角 B．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半 C．等腰三角形的底角等于顶角的一半 D．等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半 5．（本题3分）如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（本题3分）下列各点中，始终在三角形内部的有（    ）． （1）三角形两条内角平分线交点；（2）三角形两边中垂线的交点 （3）三角形两条高的交点；（4）三角形两边中线的交点 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（本题3分）已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 8．（本题3分）将长方形沿折叠得到如图，若则（    ）° A．60 B．50 C．75 D．55 9．（本题3分）下列判断正确的有（    ）． （1）轴对称图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分； （2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等； （3）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧： （4）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题3分）如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E、F，则下列四个结论：（1）； （2）上任一点到点C、点B的距离相等；（3）且；（4）；其中正确的有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知点，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． 12．（本题3分）若等腰三角形有一个角是60度，其中一条边长为a，则其周长是 ． 13．（本题3分）在一个三角形中，有两个内角分别为，那么这个三角形按边分类是 三角形． 14．（本题3分）如图，在中，是的垂直平分线，，则的度数为 ． 15．（本题3分）如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为 ． 16．（本题3分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=20，则△PMN的周长为 ．    三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．） 18．（本题4分）如图，在中，平分，点E在的延长线上，且于点F．求证：F是的中点． 19．（本题6分）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：． 20．（本题6分）如图，已知，点在轴上． (1)画关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使周长最小． 21． （本题8分）已知在等腰中，，D是边上的一点，连接，若和都是等腰三角形，求的度数． 22．（本题10分）如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数． 23．（本题10分）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 24．（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts． (1)用含t的式子表示线段AM、AN的长； (2)当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？ (3)当t为何值时，MNBC？并求出此时CN的长． 25．（本题12分）在综合实践课上，老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：在等腰三角形纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与A，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角为，斜边交于点． (1)特例感知 当时，___________°，点从向A运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）； (2)思维拓展 在点的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角的大小；若不可以，请说明理由．、 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：平面内,一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此判断即可． 【详解】解：A、沿直线折叠不能重合，故此图形不是轴对称图形，符合题意； B、沿直线折叠可以重合，故此图形是轴对称图形，不符合题意； C、沿直线折叠可以重合，故此图形是轴对称图形，不符合题意； D、沿直线折叠可以重合，故此图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的概念是解本题的关键． 2．（本题3分）如果等腰三角形的一个角等于62度，则它的底角是（    ）度 A．62 B．59 C．62或59 D．62成56 【答案】C 【分析】根据题意，分已知角是底角和不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，等腰三角形的一个角等于62度， 当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是， 当这个角为顶角时，设等腰三角形的底角为， 则， 解得：， 即该等腰三角形的底角为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是解答本题的关键． 3．（本题3分）某等腰三角形的两边长分别是4和9，则该三角形的周长为（    ） A．22 B．17 C．22或17 D．不确定 【答案】A 【分析】分为两种情况：①当等腰三角形的三边为9，9，4时，②当等腰三角形的三边为9，4，4时，看看是否符合三角形的三边关系定理，再求出即可． 【详解】解：分为两种情况：①当等腰三角形的三边为9，9，4时， 符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：9+9+4=22， ②当等腰三角形的三边为9，4，4时， ∵4+4＜9， ∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和等腰三角形的性质，注意：等腰三角形的两腰相等，三角形的任意两边之和大于第三边． 4．（本题3分）下列结论不正确的是（    ）． A．等腰三角形的底角必为锐角 B．等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半 C．等腰三角形的底角等于顶角的一半 D．等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：A. 等腰三角形的底角必为锐角，故该项说法正确； B. 等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半，故该项说法正确； C. 等腰三角形的底角不一定等于顶角的一半，故该项说法错误； D. 等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半，故该项说法正确； 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 5．（本题3分）如果等腰三角形的腰比底长3，其周长为30，则底边长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设等腰三角形的底边长为： 则腰长为： 再根据三角形的周长列方程，解方程可得答案. 【详解】解：设等腰三角形的底边长为： 则腰长为： 故选： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键. 6．（本题3分）下列各点中，始终在三角形内部的有（    ）． （1）三角形两条内角平分线交点；（2）三角形两边中垂线的交点 （3）三角形两条高的交点；（4）三角形两边中线的交点 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质解答． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点在三角形的内部，故（1）符合题意； 三角形三边中垂线的交点有可能在三角形的边上，内部或外部，故（2）不符合题意； 三角形三条高线的交点可能在三角形的内部，边上或外部，故（3）不符合题意； 三角形三条边中线的交点一定在三角形的内部，故（4）符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查三角形的高线、中线、角平分线的性质，熟记各性质是解题的关键． 7．（本题3分）已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF． 【详解】解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF， ∴一共有4个点满足题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义． 8．（本题3分）将长方形沿折叠得到如图，若则（    ）° A．60 B．50 C．75 D．55 【答案】A 【分析】先根据平角的定义得到∠DEF，再根据折叠的性质即可得答案． 【详解】解：∵∠DEC=180°，∠CEF=60°， ∴∠DEF=120° ∵△AEF是由△AED折叠得到， ∴∠AED=∠AEF=∠DEF=60°． 又∵AB//CD ∴ 故选择：A 【点睛】本题主要考查了平角的定义以及折叠问题，这些是基础知识要熟练掌握． 9．（本题3分）下列判断正确的有（    ）． （1）轴对称图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分； （2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等； （3）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧： （4）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质对各个小题分析判断即可得解； 【详解】解：（1）轴对称图形的对应点的连线段被对称轴垂直平分；此判断正确； （2）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；此判断正确； （3）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：此判断错误，应改为成轴对称的两个图形不一定在对称轴的异侧； （4）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．此判断正确； 共有3个正确； 故选择：C 【点睛】本题主要考查轴对称和轴对称图形的性质，熟练理解并掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 10．（本题3分）如图，在中，是的平分线，，垂足分别是E、F，则下列四个结论：（1）； （2）上任一点到点C、点B的距离相等；（3）且；（4）；其中正确的有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，判断出（1）正确； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等判断出（2）正确； 根据等腰三角形三线合一的性质判断出（3）正确； 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，判断出（4）正确． 【详解】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足， ∴DE=DF，（1）正确； ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴线段AD上任一点到点C、点B的距离相等， ∴（2），（3）正确； ∵AB=AC， ∴∠B=∠C； ∵∠BED=∠DFC=90°， ∴∠BDE=∠CDF，（4）正确． ∴正确的结论为：（1）（2）（3）（4）．故答案为4. 故选D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知点，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点M关于x轴的对称点在第三象限，可知点M在第二象限，让根据第二象限点的特征列不等式计算即可． 【详解】解：∵点M关于x轴的对称点在第三象限， ∴点M在第二象限， 则， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，解不等式组等知识点，熟知平面直角坐标系中各个象限中点的坐标特征是解本题的关键． 12．（本题3分）若等腰三角形有一个角是60度，其中一条边长为a，则其周长是 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的判定定理证得该三角形是等边三角形，即可求出周长． 【详解】解：∵等腰三角形有一个角是60度， ∴该三角形是等边三角形， ∴该三角形的周长是3a， 故答案为：． 【点睛】此题考查等边三角形的判定定理及性质定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键． 13．（本题3分）在一个三角形中，有两个内角分别为，那么这个三角形按边分类是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据三角形的内角和等于180°和三角形的分类，解答此题即可． 【详解】解：由三角形的内角和求另一个角的度数：180°-120°-30°=60°-30°=30°， 这个三角形的三个内角为： 所以这个三角形按边分是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【点睛】本题主要考查三角形的分类及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的分类标准，是解答此题的关键． 14．（本题3分）如图，在中，是的垂直平分线，，则的度数为 ． 【答案】15° 【分析】由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B=∠BAE，结合∠CAE：∠EAB=4：1，与直角三角形两锐角互余，可以得到答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，， ∵DE是AB的垂直平分线 ∴∠B=∠BAE ∵∠CAE：∠EAB=4：1 ∴6∠B=90° ∴∠B=15° 故答案为:15°． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得,6∠B=90°是正确解答本题的关键． 15．（本题3分）如图，的两边的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC．则有∠B+∠C+2∠DAE=150°，即 180°-∠BAC+2∠DAE=150°，再与∠BAC+∠DAE=150°联立解方程组即可． 【详解】解：∵△ABC的两边AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC． ∵∠BAC+∠DAE=150°，① ∴∠B+∠C+2∠DAE=150°． ∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴180°-∠BAC+2∠DAE=150°， 即∠BAC-2∠DAE=30°．② 由①②组成的方程组， 解得∠BAC=110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是得到∠BAC和∠DAE的数量关系． 16．（本题3分）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=20，则△PMN的周长为 ．    【答案】20 【分析】根据垂直平分线性质定理，得到，，即可得到△PMN的周长. 【详解】解：根据题意，OA垂直平分，OB垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴△PMN的周长为：20. 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线性质. 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）如图，某市有两个粮食市场C、D，附近有两条交叉的公路．现计划修建一座大型粮仓P，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路的距离相等，且到两个粮食市场C、D的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．） 【答案】答案见解析 【分析】到OA和OB的距离相等，则点P在∠AOB的角平分线上；到点C、D的距离也相等，则点P还应该在CD的中垂线上，那么P点就是∠AOB的角平分线和 CD中垂线的交点． 【详解】 【点睛】本题考查角平分线和线段中垂线的实际应用，理解它们的概念才能正确解题． 18．（本题4分）如图，在中，平分，点E在的延长线上，且于点F．求证：F是的中点． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件证明，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据已知求证是解本题的关键． 19．（本题6分）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠FAC＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC＋∠FAC和∠ADF＝∠B＋∠BAC推出即可． 【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠ADF， ∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB＝∠CAD， ∴∠FAC＝∠B， ∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC， 即∠BAF＝∠ACF． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． 20．（本题6分）如图，已知，点在轴上．    (1)画关于轴对称的； (2)在轴上画出点，使周长最小． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查对称性作图，根据点的对称性，在平面直角坐标系中作出相关点的对称点即可得到答案，熟练掌握点的对称性作图是解决问题的关键． （1）根据点的对称性，作出三个顶点关于轴的对称点，连线即可得到； （2）根据点的对称性，作出顶点关于轴的对称点，连接交轴于点 ，由动点最值问题-将军饮马模型即可得到此时周长最小． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解：如图所示：   点即为所求． 21．（本题8分）已知在等腰中，，D是边上的一点，连接，若和都是等腰三角形，求的度数． 【答案】或 【分析】设，分；，；，三种情况，利用等腰三角形的性质、外角性质及三角形内角和列方程求出的值即可得答案． 【详解】①如图所示，当时符合题意， 设， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即． ②如图所示，当，时符合题意． 设， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：，即． ③当，时符合题意， 同②可得： 综上所述，或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理及及一元一次方程，分情况讨论，正确画出图形，得到各种情况里所求的角的关系是解题关键． 22．（本题10分）如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD． （1）求△AED的周长； （2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数． 【答案】（1）7cm；（2）65° 【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长=AC+AE，即可得出答案； （2）由折叠的性质可得∠C=∠DEB=100°，∠BDE=∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE=50°，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）； （2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB， ∵∠DEB＝∠A＋∠ADE， ∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°， ∴∠BDE＝∠CDB＝＝65°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键． 23．（本题10分）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 【答案】（1）证明见解析；（2）、、、． 【分析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论； （2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、． 证明：∵，， ∴，， ∵，，即：是等腰三角形，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、即：、是等腰三角形，， ∵ ∴∠DBF=∠C=45°，， 又∵， ∴， ∴、即：是等腰三角形，． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键． 24．（本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts． (1)用含t的式子表示线段AM、AN的长； (2)当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？ (3)当t为何值时，MNBC？并求出此时CN的长． 【答案】(1)AM=10﹣2t，AN=t (2)t= (3)当t=时，MNBC，此时CN=． 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到AM=AN，列方程即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=30°， ∵AB=10cm， ∴AM=AB-BM=10-2t，AN=t； （2）解：∵△AMN是以MN为底的等腰三角形， ∴AM=AN，即10-2t=t， ∴当t=时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形； （3）解：当MN⊥AC时，MNBC． ∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=30° ∵MNBC， ∴∠NMA=30°， ∴AN=AM， ∴t=（10-2t）， 解得t=， ∴当t=时，MNBC， CN=5-×1=． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键． 25．（本题12分）在综合实践课上，老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：在等腰三角形纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与A，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角为，斜边交于点． (1)特例感知 当时，___________°，点从向A运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）； (2)思维拓展 在点的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角的大小；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，小 (2)可以是等腰三角形，当或时，是等腰三角形 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再一次运用三角形内角和定理即可求出的度数；根据三角形内角和定理即可判断点P从B向A运动时，的变化情况； （2）根据等腰三角形的判定，分三种情况讨论即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴ ， ∵三角尺的直角边始终经过点C， ∴再移动的过程中，不断变大，的度数没有变化， ∴根据三角形的内角和定理，得到逐渐变小； 故答案为：，小． （2）的形状可以是等腰三角形． 根据题意得：，， 有以下三种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，不符合题意，舍去． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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