专题15 等比数列性质归类（14题型提分练）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题15 等比数列性质归类 目录 题型一：等比数列定义 1 题型二：等比数列通项公式 2 题型三：等比数列an与sn的关系 3 题型四：构造等比数列求通项公式 4 题型五：等差等比“纠缠数列” 5 题型六：等比数列“指数型中点”特性 6 题型七：等比数列单调性 7 题型八：不定方程型计算 8 题型九：等比数列不等关系“平衡点” 9 题型十：前n项和的“等距”性 10 题型十一：等比数列最值型 11 题型十二：性质求范围型 12 题型十三：数列与导数 13 题型十四：等比数列综合 14 题型一：等比数列定义 等比数列判定方法 (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 1．（23-24高三上·山东·阶段练习）记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 2．（22-23高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列的前n项和，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列 C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．54 B．93 C．153 D．162 5．（21-22高三下·北京·开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：等比数列通项公式 等比数列公式 (1) 通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝ 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，前n项和为，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列满足，则其公比为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·全国·模拟）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和．若，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 题型三：等比数列an与sn的关系 涉及到an与sn组合型递推，一般情况下，可以借助通项an与前n项和Sn的关系再写一个做差，消去sn再递推求解。 通项an与前n项和Sn的关系是： an＝ 等比数列前n项和 (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 1．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，则“为等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（21-22高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列的前项和为，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（22-23高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．（21-22高三河南·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：构造等比数列求通项公式 等比数列求通项公式： 1. 如果sn有，则Sn为型线性指数函数。 2.（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列. 3.倒数变换法，适用于（为常数）可以取倒数，构造新的递推公式 即型，解法回归到构造等比数列技巧中 4. 如果是前n项积 可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积： （1）.n=1，得a1 （2）.n时，所以 1．（21-22高三·浙江台州·模拟）已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（    ） A．一定为无穷数列 B．不可能为常数列 C．若，则可能小于1 D．若，则 2．（24-25高三全国·模拟）已知数列满足递推公式，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·云南大理·阶段练习）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（    ） A．存在，使得数列为等差数列 B．当时， C．当时， D．当时，数列是等比数列 4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高三·海南海口·阶段练习）已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五：等差等比“纠缠数列” 等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。 1．（2023·四川南充·模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟）是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（14-15高三·广东东莞·模拟）已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ） A． B． C． D． 4．（10-11高三·福建三明·阶段练习）△中，角成等差，边成等比，则△一定是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（21-22高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（ ） A． B． C． D． 题型六：等比数列“指数型中点”特性 等比数列“指数型中点”性质： （1)“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．（23-24高三·北京·模拟）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（22-23高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·全国·模拟）已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（20-21高按·浙江·模拟）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型七：等比数列单调性 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．（23-24高三山西晋城模拟）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 2．（23-24高三·北京顺义模拟）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 3．（23-24高三湖北·开学考试）已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型八：不定方程型计算 设首项与公比，作为变量列方程，构造比例转化关系。 求解时，涉及到前n项和时，要注意讨论公比是否为1特殊情况 1．（23-24高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·吉林松原·模拟）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（    ） A．1或 B．1或3 C．或 D．或3 3．（23-24高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（    ） A．1或 B．1或 C．2或 D．或 题型九：等比数列不等关系“平衡点” 等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an. 1．（21-22高三·湖北·阶段练习）设等比数列{}的公比为q，其前n项和为，前 n项积为，并满足条件，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．是数列{}中的最大值 D．数列{}无最小值 2．（22-23高三·广东深圳·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 3．（22-23高三·辽宁·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 4．（20-21高三河南郑州·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A．   B．     C．的最大值为       D．的最大值为 5．（2021高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 题型十：前n项和的“等距”性 “等距”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．（20-21高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．4 D．5 2．（21-22高三·河北唐山·模拟）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．324 B．420 C．480 D．768 4．（21-22高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D．10 题型十一：等比数列最值型 判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法： （1）作差比较法：当时，递增；当时，递减. （2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减. （3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性 1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 2．（21-22高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（    ） A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10 3．（2023高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 4．（23-24高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（22-23高三江西萍乡·阶段练习）已知数列为等比数列，函数的导函数为，，若，的公比，则当的前项乘积最小时，的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型十二：性质求范围型 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三·河南南阳·模拟）已知正项数列是公比为的等比数列，数列的通项公式为．若满足的正整数n恰有3个，则的取值范围为 ． 4．（2023上海嘉定·三模）已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是 . 5.（21-22·河南·模拟）已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型十三：数列与导数 1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若存在等差数列，，，，且，使得数列为等比数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（    ） A．为单调递增的等差数列 B． C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的n的最大值为6 3．（23-24高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为：是曲线在点处的切线在轴上的截距，其中. （1）若，并取，则的通项公式为 ； （2）若取，且为单调递减的等比数列，则可能为 . 4．（2025·全国·模拟预测）若，的解从小到大排成，那么若．则的整数部分是 ． 5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是 ． 题型十四：等比数列综合 1．（2024·河北·一模）已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则 ；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为 ． 2．（23-24高三下·山东·开学考试）抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则 ． 3．（20-21高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 . 4．（2024高三·全国·专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 等比数列性质归类 目录 题型一：等比数列定义 1 题型二：等比数列通项公式 3 题型三：等比数列an与sn的关系 5 题型四：构造等比数列求通项公式 8 题型五：等差等比“纠缠数列” 12 题型六：等比数列“指数型中点”特性 14 题型七：等比数列单调性 17 题型八：不定方程型计算 19 题型九：等比数列不等关系“平衡点” 21 题型十：前n项和的“等距”性 23 题型十一：等比数列最值型 25 题型十二：性质求范围型 27 题型十三：数列与导数 29 题型十四：等比数列综合 33 题型一：等比数列定义 等比数列判定方法 (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 1．（23-24高三上·山东·阶段练习）记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立，当乙成立时利用数列前n项和与通项之间关系可知甲成立，从而可得结果. 【详解】若，则（）， ∴，，． ∵，1， ∴，∴数列是以为公比的等比数列． 若数列为等比数列，且，则． 又，∴，∴， 此时，1，，所以甲是乙的充要条件． 故选：A． 2．（22-23高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列的前n项和，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列 C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 【答案】D 【分析】根据数列通项与前项和的关系，解得通项公式，根据等差数列与等比数列的定义，可得答案. 【详解】当时，； 当时，， 检验：将代入上式，则， 则数列的通项公式， 由，，即，则数列不是等比数列； 由，，即，则数列不是等差数列. 故选：D. 3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为，再利用和与项的关系可得，从而确定数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 因为数列的各项都是正项，即， 所以，即， 所以当时，， 所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列. 所以. 故选：C 4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．54 B．93 C．153 D．162 【答案】D 【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，再利用通项公式求. 【详解】当时，则. 当时，． 又因为是等比数列，所以， 所以，解得：， 所以，所以． 故选：D. 5．（21-22高三下·北京·开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论． 【详解】解：“，，”，取，则， 为等比数列． 反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足． 数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件． 故选：A． 题型二：等比数列通项公式 等比数列公式 (1) 通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝ 1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，前n项和为，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用等比数列前n项和公式计算即得. 【详解】数列中，，由，得，，则有， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：D 2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 3．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列满足，则其公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列满足，得到，两式相比得，再求得验证即可. 【详解】因为， 所以等比数列的公比， 又， 所以， 所以， 即等比数列的公比为. 故选：C. 4．（24-25高三·全国·模拟）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和．若，，则下列说法不正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】D 【分析】依题意利用等比数列项的性质联立方程组求出首项和公比，即得数列通项，利用等比数列的定义可判断B项，代值检验C项；利用等差数列的定义判断D项. 【详解】因为数列为等比数列，由可得，又， 则可看成方程的两根，解得或， 因公比q为整数，故，即，解得，故得. 对于A，由上分析知，即A正确； 对于B，依题意，， 则， 由可知数列是等比数列，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由， 可知数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：D. 5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，然后令，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式，从而得到结果. 【详解】因为，，则， 且数列是公比为2的等比数列， 则，两边同除可得， 令，则，即， 即，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，则， 即，所以. 故选：C 题型三：等比数列an与sn的关系 涉及到an与sn组合型递推，一般情况下，可以借助通项an与前n项和Sn的关系再写一个做差，消去sn再递推求解。 通项an与前n项和Sn的关系是： an＝ 等比数列前n项和 (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 1．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，则“为等比数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先考查充分性：利用，验证即可，再考查必要性，当时，满足条件，但不是等比数列，即可判断. 【详解】若是等比数列， 则， ， 所以， 即． 若， 令满足条件，但不是等比数列． 所以是充分不必要条件． 故选：A． 2．（21-22高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列的前项和为，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据作差求出，即可得到，再分为奇数、偶数两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可求出、的取值范围，即可得解. 【详解】因为，所以当时， 当时，所以，即， 因为为等比数列，所以，所以， 则， 当为奇数时，则， 当为偶数时，则， 所以，因为不等式对任意的恒成立， 所以，，所以，则，即的最小值为. 故选：B 3．（22-23高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式确定正确答案. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， A选项，时，，图象符合. B选项，时，，图象符合. C选项，时，，图象符合. D选项，由图可知，都是负数，所以， 但图象显示时，或为正数，矛盾，所以D选项图象不符合. 故选：D 4．（21-22高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质由“数列是等比数列”可以得到“”；利用数列通项与前n项和的关系由“”可以得到当时， “数列是等比数列”，故“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件 【详解】由，可得 两式相减得，，即从第3项起，每一项是前一项的q倍. 又由，可得 则数列从第2项起，每一项是前一项的q倍. 综上，当时，数列是等比数列. 由数列是等比数列，可得 则，即成立. 则“数列是等比数列”为“”的充分不必要条件 故选：A 5．（21-22高三河南·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可 【详解】当时，，解得. 当时，， 所，即， 所以，即， 所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则， 从而，故. 故选：C 题型四：构造等比数列求通项公式 等比数列求通项公式： 1. 如果sn有，则Sn为型线性指数函数。 2.（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列. 3.倒数变换法，适用于（为常数）可以取倒数，构造新的递推公式 即型，解法回归到构造等比数列技巧中 4. 如果是前n项积 可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积： （1）.n=1，得a1 （2）.n时，所以 1．（21-22高三·浙江台州·模拟）已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（    ） A．一定为无穷数列 B．不可能为常数列 C．若，则可能小于1 D．若，则 【答案】D 【分析】对两边取倒数得，再利用构造数列法得，可知是以为首项，公比为的等比数列，利用等比数列通项公式可以求得，再依次对选项判断，得到正确答案. 【详解】对两边取倒数得， ，又， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， ， ， 对于A，，由于n未知，不能确定是有限数列还是无限数列，故A错误； 对于B，当时，，此时为常数列，故B错误； 对于C，当时，， ，，即，所以一定小于1，故C错误； 对于D，当时，， ，，即， 又，，；，即，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的方法： （1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法. 2．（24-25高三全国·模拟）已知数列满足递推公式，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对两边取对数得，令，则可得是以为首项，2为公比的等比数列，求出，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】由题意可得，则由，得， 所以， 令，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 3．（23-24高三·云南大理·阶段练习）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（    ） A．存在，使得数列为等差数列 B．当时， C．当时， D．当时，数列是等比数列 【答案】C 【分析】通过倒数法可推导得到A正确；利用递推关系式可推导得到，知数列周期为，由此可得B正确；利用递推关系式可得，可知C错误；通过构造法可推导得到符合等比数列定义式的形式，知D正确. 【详解】对于A，当时，，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 对于B，当时，，， ，数列是周期为的周期数列， 又，，，B正确； 对于C，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； 由得：，， 若，则，与矛盾，C错误； 对于D，当时，， 若，则，又，对于任意的，都有； ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造法求数列通项、数列周期性的应用等知识；解题关键是能够利用数列的递推关系，通过构造的方式配凑出符合等差、等比数列定义的形式. 4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：变形得到，是以6为首项，9为公比的等比数列，分组求和,结合等比数列求和公式求出答案； 方法二：推出是首项为2，公比为3的等比数列，故，分为奇数和偶数两种情况，利用累加法得到数列的通项公式，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】方法一：因为，所以． 因为，所以， 所以． 因为，所以是以6为首项，9为公比的等比数列． 所以 ； 方法二：因为当时，，即， 又，所以是首项为2，公比为3的等比数列，故． 由，得，两式相减得． 当为偶数且时，， 以上式子相加得，又，所以． 又满足上式，所以． 当为奇数且时，， 以上式子相加得，又，所以， 又满足上式，所以． 综上，， 所以． 故选：D 【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要对分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项相消法求和. 5．（20-21高三·海南海口·阶段练习）已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，令，即有，结合递推式有，即在上单调增，进而求且，利用构造法确定为等差数列并写出通项公式，即可求. 【详解】当时，，在上任取两数，且，令，则． ，即在上是单调增函数． 令，则，解得．而数列满足， ， ，则， ∴数列是公比为，首项为的等比数列，得：， ∴，故. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：首先应用已知条件判断函数的单调性，求；再由，应用构造法求数列通项，进而求项. 题型五：等差等比“纠缠数列” 等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。 1．（2023·四川南充·模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得 ，，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果. 【详解】依题意可得 ，， 且， 所以，即，解得 又因为，所以， 所以故选:A 2．（21-22高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟）是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是和的等差中项，可得，又由是和的等比中项，同时令，得，由此即可得到本题答案. 【详解】设的公比为，由于， 所以，，，又是和的等差中项，所以， 即，化简得， 由于，所以，，所以，， ，因为是和的等比中项，所以， 即， 所以，令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题. 3．（14-15高三·广东东莞·模拟）已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，A是a、b的等差中项，正数G是a、b的等比中项， ∴， ∴， 故选D． 4．（10-11高三·福建三明·阶段练习）△中，角成等差，边成等比，则△一定是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】∵△ABC中,角A. B. C成等差,∴2B=A+C,又A+B+C=,∴B=. ∵边a、b、c成等比数列,∴b2=ac.再由余弦定理可得b2=a2+c2−2ac cos， ∴ac=a2+c2−ac,(a−c)2=0，∴a=b=c，故△ABC一定是等边三角形． 本题选择A选项. 5．（21-22高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据数列的性质，列式，结合基本不等式，即可比较大小. 【详解】由条件可知，，，，， 当时，， 当时，， 所以. 故选：B 题型六：等比数列“指数型中点”特性 等比数列“指数型中点”性质： （1)“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．（23-24高三·北京·模拟）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（22-23高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()， 若，则，得，解得，不符合题意； 所以，得，又， 令，得，即①， 设，则且， 所以①式变为， 由题意，知和是方程的两个解， 令，且， 则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图， 当函数与单调递增或递减时，才会有2个解， 且无论哪种情况，都有时，； 时，；时，； 所以，，，， 即，，，. 故选：C. 3．（21-22高三·全国·模拟）已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再由，即可得结果. 【详解】由题设，，则且q＝2，则， 而. 故选：B 4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，，， 由可得出，从而分析出时，，时，． 把方程变形为，引入函数，利用两个函数的图象可得结论． 【详解】设等差数列公差为，正项等比数列公比为， 因为，所以，即，所以，又，所以， 由得，，， 所以时，，时，． ，，由，， 即，（*）， 令，，（*）式为，其中，且， 由已知和是方程的两个解， 记，且，是一次函数，是指数函数， 由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）． 如图，作出和的图象，它们在和时相交， 无论还是，由图象可得，，， 时，，时，， 因此，，，， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差和公比的关系，考虑到方程有两解，把此方程变形为，引入函数，通过函数图象观察得到和的关系，从而由数形结合思想得出结论． 5．（20-21高按·浙江·模拟）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 题型七：等比数列单调性 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．（23-24高三山西晋城模拟）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 2．（23-24高三·北京顺义模拟）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 3．（23-24高三湖北·开学考试）已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】取两种特殊情况说明，分和两次情况讨论，将转化为，分和两种情况与假设对比，据此即可求解. 【详解】取两种特殊情况说明充分性， 当时显然成立； 当时，理由如下： 因为是等比数列，设公比为，则， 当时，，即， 若，则， 注意到，当时，，与假设矛盾，舍去， 故，此时，则为递减数列； 若，则或， 注意到，当时，，与假设矛盾，舍去， 故，此时，则为递减数列； 综上：存在，使时，为递减数列，即充分性成立； 当为递减数列时，，即成立，即必要性成立. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于取两种特殊情况说明，分和两次情况讨论. 4．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解. 【详解】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增； 若单调递增，则，，或，，不能推出， 所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 题型八：不定方程型计算 设首项与公比，作为变量列方程，构造比例转化关系。 求解时，涉及到前n项和时，要注意讨论公比是否为1特殊情况 1．（23-24高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将成等差数列转化为等式，进而求出数列的公比，将比值用基本元表示，化简求值即可. 【详解】设等比数列的公比为q， 若成等差数列，可得：， 当时，此时恒成立， 即为，得，即，显然不成立； 当时，即为：，其中， 得，得或（舍去）， ， 故选：A. 2．（23-24高三·吉林松原·模拟）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（    ） A．1或 B．1或3 C．或 D．或3 【答案】D 【分析】运用等比数列的性质公式求解即可. 【详解】由 ，可得 ， 则 ，故 ， 解得 或 . 故选：D． 3．（23-24高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列的前项和为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列前n项和的性质求解. 【详解】由等比数列性质可知，成等比数列， 因为，所以，所以成等比数列， 所以，所以，所以. 故选：C. 4．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】借助等比数列的片段和性质得出与的关系，再借助基本不等式即可得到. 【详解】根据等比数列的片段和性质有， 由，，成等差数列，有， 即，故有，又因为数列为正项等比数列，则， 即， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（    ） A．1或 B．1或 C．2或 D．或 【答案】B 【分析】设等比数列 的公比为，根据已知列出关系式，进而化简求解即可得出 或.根据等比数列的性质，化简可得.分别代入的值，即可得出答案. 【详解】设等比数列 的公比为， 由，，成等差数列可得，， 即，化简得， 解得 或. 又， 所以，. 当时，； 当 时，． 故选：B． 题型九：等比数列不等关系“平衡点” 等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an. 1．（21-22高三·湖北·阶段练习）设等比数列{}的公比为q，其前n项和为，前 n项积为，并满足条件，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．是数列{}中的最大值 D．数列{}无最小值 【答案】B 【分析】由题分析出，可得出数列为正项递减数列，结合题意分析出正项数列前项都大于，而从第项起都小于，进而可判断出各选项的正误. 【详解】当时，则，不合乎题意； 当时，对任意的，，且有，可得， 可得，此时，与题干不符，不合乎题意； 故，对任意的，，且有，可得， 此时，数列为单调递减数列，则，由可得，故，A正确； ，故B不正确；是数列{}中的最大值，C正确； 数列{}无最小值，D正确． 故选：B. 2．（22-23高三·广东深圳·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】C 【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断. 【详解】因为等比数列满足， 又，所以，A错误； ，即,B错误； 当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确； 由题意得，，则,D错误. 故选：C. 3．（22-23高三·辽宁·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，，所以，即数列为正项等比数列， 当时，则，不满足，舍去， 所以，即数列为单调递减数列，A说法正确； 由可得，， 所以，即，B说法错误； 因为数列单调递减，且，，所以是数列中的最大项，C说法正确； 由等比中项可知，D说法正确； 故选：B 4．（20-21高三河南郑州·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A．   B．     C．的最大值为       D．的最大值为 【答案】B 【分析】根据，，分 ，，讨论确定q的范围，然后再逐项判断. 【详解】若，因为，所以，则与矛盾， 若，因为，所以，则，与矛盾， 所以，故B正确； 因为，则，所以，故A错误； 因为，，所以单调递增，故C错误； 因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误； 故选：B. 5．（2021高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 【答案】A 【分析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案. 【详解】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误； ，则B正确； ，则C正确； 因为，所以是数列中的最大项，则D正确. 故选：A. 题型十：前n项和的“等距”性 “等距”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．（20-21高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【解析】根据等比数列的前项和公式，由条件，求出公比即可得到结论． 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则不成立． ， 由，得， 即， ，解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查等比数列前项和的计算，利用条件求出是解决本题的关键，要求熟练掌握等比数列的前项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 2．（21-22高三·河北唐山·模拟）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比数列的性质求解．在时，仍成等比数列． 【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得 为等比数列 又 故选：． 【点睛】结论点睛：数列是等比数列，若，则成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意是等比数列与成等比数列之间不是充要条件． 3．（23-24高三·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．324 B．420 C．480 D．768 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列，且，显然的公比不为， 所以也成等比数列. 由，解得. 故选：C. 4．（21-22高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由等比数列的性质及已知条件可得，则，然后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由正项等比数列可知，，成等比数列， 则，又，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：B. 题型十一：等比数列最值型 判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法： （1）作差比较法：当时，递增；当时，递减. （2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减. （3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性 1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为. 【详解】由可知公比，所以A错误； 又，且可得，即B错误； 由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增， 即无最大值，所以C错误； 设为数列前项积的最大值，则需满足，可得， 又可得，即的最大值为，所以D正确. 故选：D 2．（21-22高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（    ） A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10 【答案】D 【分析】首先求出首项和公比，解不等式组，代入通项公式求解出即可 【详解】（法一）∵等比数列，其前项积为，且. ∴，∴，∴.故. ∵，所以前项积有.又因为，所以为前项积的最大值. （法二）∵，.∴. 当时，有最大值，解得. ∴时，有最大值. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列前项积的最大值. 其实质是求等差数列前项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项，公比. 第二步：解不等式组.满足不等式组的的值，即为使前项积取最大值时的项数. 3．（2023高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【分析】设无穷等比数列的公比为，根据已知可得，得数列是摆动数列可判断C；由，；得数列的最小项、最大项可判断ABD． 【详解】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 4．（23-24高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 5．（22-23高三江西萍乡·阶段练习）已知数列为等比数列，函数的导函数为，，若，的公比，则当的前项乘积最小时，的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，可得出，可得出，分析数列的单调性，即可得出当的前项乘积最小时，的值. 【详解】设，则， 则， 因为数列为等比数列， 所以， 由，，可得，则， 所以， 当时，，当时，， 所以当的前项乘积最小时，的值为或， 故选：D. 题型十二：性质求范围型 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用等比数列通项公式及项的性质计算解不等式即可. 【详解】当 时， 注意到 ， 因此 ， 即 解得 ; 当 时， 则 即 解得 ， 则 的取值范围为 . 故选 ：D. 2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列性质求出，进而求出公比的取值范围并用表示出，然后根据对勾函数的性质即可求解. 【详解】由等比数列性质可知，， 因为，所以， 从而 不妨令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递减， 故对于，，， 从而，则. 故的取值范围为. 故选：D. 3．（22-23高三·河南南阳·模拟）已知正项数列是公比为的等比数列，数列的通项公式为．若满足的正整数n恰有3个，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数列，的单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题可知数列单调递减，单调递增， 故，，，， 故只需即可，即解得． 故答案为：. 4．（2023上海嘉定·三模）已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得，由此能求出的取值范围. 【详解】解：∵是递增的等比数列，且， ，且， ， ∵是递增的等比数列，， 同理，，即，即， ， 当时，有，由，得：，得：，矛盾，舍去； 当时，有，由，得：，得：符合. 故当时，单调增，取值为， ，∴的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的公式的合理运用. 5.（21-22·河南·模拟）已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到，，从而利用重要不等式即可求最大值. 【详解】因为，，，成等差数列，所以， 因为，，，成等比数列，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是. 故选：D. 题型十三：数列与导数 1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若存在等差数列，，，，且，使得数列为等比数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列性质推出，，结合函数的奇偶性可得，从而推出有正实数解，分离参数，继而构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可求得答案. 【详解】由等差数列，，，，且知， 则，即，所以， 由此可得； 由于函数是定义在上的奇函数，故， 所以数列的公比，所以，即， 即方程有正实数解， 即，设，则， 设， 则，即在上单调递增，且， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 故选：B 【点睛】难点点睛：本题解答时要利用数列性质判断出，，进而利用函数性质推出有正实数解，从而参变分离，构造函数，利用导数解决问题. 2．（20-21高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（    ） A．为单调递增的等差数列 B． C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的n的最大值为6 【答案】BCD 【分析】首先求函数的导数，根据条件判断，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定义判断AC；最后数列前项积的定义判断D. 【详解】函数， 则， 因为，所以， 由等比数列的性质可得， 所以，所以， 由，可得，故B正确； 因为等比数列首项，公比为q，所以， 则，故为单调递减的等差数列，故A错误； 设 ，则为常数， 因为，所以，单调递减， 所以为单调递增的等比数列，故C正确； 因为，且，所以，， 所以使得成立的n的最大值为6，故D正确． 故选：BCD 3．（23-24高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为：是曲线在点处的切线在轴上的截距，其中. （1）若，并取，则的通项公式为 ； （2）若取，且为单调递减的等比数列，则可能为 . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）根据题意求出曲线在点处切线的方程，可得数列是等差数列，进而求得通项公式； （2）由题意，可得，结合为单调递减的等比数列，所以函数满足，且即可. 【详解】（1）根据题意，，，且， 所以曲线在点处切线的方程为， 令，得，即，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以（）. （2）根据题意，曲线在点处切线的方程为， 令，得，则， 因为为单调递减的等比数列，且，设其公比为， 则，所以，所以， 则，所以， 即函数满足，且即可. 如，则， 所以，，所以，符合题意. 故答案为：（）；（答案不唯一）. 4．（2025·全国·模拟预测）若，的解从小到大排成，那么若．则的整数部分是 ． 【答案】101 【分析】即求，结合可得，利用等比数列求和公式得到，取对数，得到，并证明出，得到答案. 【详解】因为，相当于解且， 从而可以得到，结合可得， 为，为等比数列， 从而，取对数后就是， 注意到， ， 接下来证明， 我们把左边放大， ，并证明其小于， 即证， 注意到， 而（也可以是）从而命题成立． 整数部分是101． 故答案为：101 5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知得出直线必过点，取抛物线位于轴上方部分，设上一点到直线的距离最小，由几何关系得出，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求解． 【详解】因为实数成公比为的等比数列，所以， 所以，即直线必过点，且斜率， 不妨取抛物线位于轴上方部分，则，，， 由题可知，，则， 设上一点到直线的距离最小， 则处的斜率等于直线的斜率，即，所以， 点到直线的距离， 整理得，解得，因为，所以， 根据直线和抛物线得对称性得，， 故答案为：． 题型十四：等比数列综合 1．（2024·河北·一模）已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则 ；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出数列的通项公式；设满足不等式的正整数的最小值为，推导出，设，其中且，根据可得出关于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即为所求. 【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为， 则，，， 解得，，， 所以，，， 由，整理可得， 数列的各项分别为：、、、、、、、、、， 其中前若干项中，数列有项，数列有项， 所以，是数列的第项， 所以， ， 所以，， 令，整理可得， 令，则有，解得， 因为，所以，，可得， 所以，满足不等式的正整数的最小值为， 同理可知，满足不等式的正整数的最大值为， 所以满足不等式的正整数的最小值，即， 设，其中且， 则 ， ， 由，整理可得，解得， 所以自然数的最小值为，所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数的最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解, 2．（23-24高三下·山东·开学考试）抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，根据椭圆定义得到，从而求出焦点坐标为，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到在点的切线为：，求出，结合，得到是首项16，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案. 【详解】焦点在轴上，故椭圆的焦点在轴上， 故， I是的内心，连接，则平分， 在中，由正弦定理得①， 在，由正弦定理得②， 其中，故， 又， 式子①与②相除得，故， 同理可得， ， 由椭圆定义可知，， ，即焦点坐标为， 所以抛物线方程为， ，故在处的切线方程为， 即，又，故， 所以在点的切线为：， 令，又，即， 所以是首项16，公比的等比数列， ． 故答案为：． 【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程； 当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解. 3．（20-21高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 . 【答案】 【分析】由递推关系得数列满足，得， 由条件得，将求的最大值转化为求关于的函数的最大值. 【详解】因为， 所以，将代入，得， 所以，，所以， ， 又因为，所以，，即， 因为，所以，，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以当时，最大， 所以， 即时，有最大值. 故答案为：. 【点睛】根据求的最大值时，注意分析数列中项的正负号，得，且，进而得. 4．（2024高三·全国·专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题目设定的欧拉函数的概念，结合数列前n项和的概念以及不等式恒成立的转化方法即可求得参数的范围. 【详解】在的整数中与不互质的数有，共有个，所以与互质的数有个，因此． 在的整数中，2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以． 所以，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 则恒成立等价于恒成立， 即恒成立，所以， 令，则， 所以，且， 所以， 所以，即实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：本题按照题目设定的欧拉函数的概念，关键分析出：（1）在的整数中与不互质的数的个数，从而得到互质的个数；（2）在的整数中，与互质的数的个数分别是：2的倍数共有个，5的倍数共有个，10的倍数共有个，所以与（注意：2的倍数和5的倍数中包含了10的倍数）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$